利用特殊函數和類比法有序化排列正負指數冪算符*

王磊 李洪奇 徐興磊 徐世民 王繼鎖

1) (菏澤學院物理與電子工程學院, 菏澤 274015)

2) (曲阜師范大學物理工程學院, 曲阜 273165)

研究算符函數的有序化排列是一項重要的數理任務.本文利用特殊函數和正規乘積排序與反正規乘積排序間的互換法則法導出了冪算符的正規與反正規乘積排序.進一步, 利用類比法得到了算符 ( XP)±n 和 ( PX)±n 的坐標-動量排序與動量-坐標排序式.最后, 對新得到的這些算符結果的應用進行一些討論.

1 引 言

在量子物理中算符是一個重要的基本概念.一般來說, 由于算符的不可對易性, 譬如玻色湮滅算符與產生算符的對易關系為使得涉及算符的計算頗為棘手.如果能夠把算符轉化為有序排列形式, 則相應的計算就方便得多.例如一個正規乘積排序的算符 : f(a,a?): , 其在相干態表象中的矩陣元[1,2]為

又如, 密度算符 ρ 的Glauber-Sudarshan P 表示可由其反正規乘積排序形式直接得到[3,4], 即

(1)式中記號::表示正規乘積排序(即所有的產生算符位于所有的湮滅算符的左側),(2)式中記號表示反正規乘積排序(即所有的湮滅算符位于所有的產生算符的左側).除了算符的這兩種有序化排列形式外, 還有一些其他的有序化排列方式, 如坐標-動量排序和動量-坐標排序[5?12].坐標-動量排序算符和動量-坐標排序算符在 x -p 相空間的矩陣元可方便地得到, 即

這里記號 Q ···Q 表示坐標-動量排序(即所有的坐標算符 X 位于所有的動量算符 P 的左側), 記號P···P 表示動量-坐標排序(即所有的動量算符P位于所有的坐標算符 X 的左側).因此, 盡可能直接地得到算符的有序化排列形式就是一項重要的數理任務.

在量子力學和量子光學中, 人們經常會遇到形如 ( XP)n和 ( XP)?n的正負指數冪算符(n=0, 1, 2,3,···).對于低次正指數冪算符, 可以利用對易關系將其轉換為有序化排列形式.而對于負指數冪算符和高次正指數冪算符, 其處理是非常棘手的.本文將利用特殊函數和算符的正規與反正規乘積排序間的互換法則[4,13]導出冪算符的正規與反正規乘排序式.進一步, 利用類比法得到算符 ( XP)±n和 ( PX)±n的坐標-動量排序與動量-坐標排序式.最后, 將對新得到的這些結果的應用進行一些討論.

2 指數算符 e λa?a 和 e λaa?的正規排序和反正規排序展開式

這一節來討論指數算符 eλa?a和 eλaa?的正規乘積排序與反正規乘積排序.將充分利用有序算符內的積分技術和正規乘積排序與反正規乘積排序間的互換法則[4,13].

首先來導出真空投影子 | 0〉〈0| 的正規乘積排序形式.令 | 0〉〈0|=:f(a,a?): , 并用相干態左矢 〈 z| 和右矢 | z〉 夾乘之, 得 f (z,z?)=〈z|0〉〈0|z〉=e?zz?.于是得到

這就是真空投影子 | 0〉〈0| 的正規乘積排序形式.利用福克空間的完備性關系式a?a|n〉=n|n〉以及真空投影子的正規乘積排序形式 , 便得到

這就是指數算符 eλa?a的正規乘積排序式.作參數變 換 eλ?1=μ , 則有

這就是脫掉正規乘積排序指數算符 : exp(μaa?): 的正規乘積排序記號 :: 的公式.

進一步利用對易關系式[a,a?]=aa??a?a=1和 (5)式可得

這就是指數算符 eλaa?的正規乘積排序式.

利用(5)式和算符的正規乘積排序與反正規乘 積排序間的互換法則

可得到指數算符 eλa?a的反正規乘積排序, 即

中指數上的函數采用了積分降次法, 也就是將湮滅算符與產生算符的“乘積”形式通過積分法降成了“和”的形式, 并且用到了積分公式

Re(ζ)>0

其收斂條件為 , 否則該積分是發散的.

如果 R e(eλ)>0 , 利用積分公式(10)式完成(9)式中的積分, 得

如果 eλ=?1 , 也就是 λ =i(2n+1)π , n=0,±1, ±2, ±3,···, 則(9)式化為

(15)式的最后一步計算中用到了同下標雙變量厄米多項式與拉蓋爾多項式的關系, 即

在 R e(eλ)>0 時, 利用對易關系式[a,a?]=aa??a?a =1和(11)式可得

3.1 冪算符的正規乘積排序和反正規乘積排序

設 t 是一個參數, 利用(7)式可得

亦即在 t =0 的鄰域上, 有

據此定義可依次得到

那么, (18)式就可以表示為

由(19)式可導出

該多項式的更多性質詳見附錄A.若對(19)式進行如下處理

式中 Tn(ξ) 是Touchard 多項式, 其定義為

它是Bell 多項式的一個特例[14,15].也就是說, Tn(ξ)的生成函數是在 t =0 的鄰域上有

Touchard 多項式 Tn(ξ) 的微分式可表示為(詳見附錄B)

另外, 比較(21)式和(23)式還可得到

這就是多項式 xn(ξ) 和 Tn(ξ) 的關系, 因此多項式xn(ξ)可視為Bell 多項式家族的又一個特例.

因為在 t =0 的鄰域上 R e(et)≈1>0 , 上述積分是收斂的, 所以有

3.2 冪算符的正規乘積排序和反正規乘積排序

鑒于[ a?,?a]=1=[a,a?] , 若與(28)式類比可得

比較(21)式和(31)式可得

這就是多項式 xn(ξ) 和Touchard 多項式 Tn(ξ) 的另一種關系.

4 ( XP)n和 ( PX)n的坐標-動量 排序和動量-坐標排序

基于上一節的結果, 利用類比法可導出冪算符(XP )n和 ( PX)n的坐標-動量排序和動量-坐標排序式.鑒于通過與(28)式類比可得

此即冪算符 ( XP)n的坐標-動量排序展開式.通過與(30)式類比, 能得到冪算符 ( XP)n的動量-坐標排序展開式, 即

以及與(29)式作類比得

進一步利用指數函數的Taylor 展開式和(32)式—(35)式可得到

這就是指數算符 eλXP和 eλPX的坐標-動量排序及動量-坐標排序的基本形式.由于在 λ =0 的鄰域上以上各級數是收斂的, 所以根據(20)式和(25)式便可得到

這是脫掉坐標-動量排序算符 Q exp(μXP)Q 的坐標-動量排序記號的公式.若令亦即則從(38)式可得到

這是脫掉動量-坐標排序算符 P exp(σXP)P 的動量-坐標排序記號的公式.

5 負指數冪算符 ( AB)?1 的有序排列展開式

這一節來導出形如 ( AB)?1的負指數冪算符的有序排列式.由于

5.1 算符的正規乘積排序和反正規乘積排序

在(41)式的計算中, 最后一步使用了雙求和重置公式

事實上, (41)式還可進一步簡化, 即

基于(43)式, 利用算符的正規乘積排序與反正規乘積排序的互換法則(8)式可進一步得到的反正規乘積排序, 即

式中 Hm,n(x,y) 是雙變量Hermite 多項式[4,16,17],其定義為

5.2 負 指數冪算符 ( XP)?1和 ( PX)?1 的坐標-動量排序及動量-坐標排序

由于 ( XP +PX) 是厄米算符, 故知其本征值必為實數.鑒于所以算符 ( XP) 的本征值不會包含零.那么算符(XP)一定是可逆的, 記其逆算符

這就是算符 ( XP)?1的坐標-動量排序展開式.同樣道理, 類比(43)式便得到算符 ( XP)?1的動量-坐標排序展開式, 即

這就是負指數冪算符 ( PX)?1的坐標-動量排序和動量-坐標排序展開式.

6 應用舉例

由(2)式可知, 一旦得到了密度算符 ρ 的反正規乘積排序就是相當于得到了其Glauber-Sudarshan P 表示[18], 而密度算符滿足的海森堡方程(算符方程)就可轉化為相應的 c 數方程, 這給某些問題的求解帶來一定的方便.同時, 有序算符方法可應用于量子統計.

作為第一個例子, 下面討論處于熱平衡的輻射場(混沌光場).按照統計物理理論, 表示該輻射光場的密度算符為

這就是混沌光場密度算符的反正規乘積排序形式,式中

基于(2)式和(49)式, 便得到

此即混沌光場的Glauber-Sudarshan P 表示.混沌光場存在 P 表示, 意味著存在相應的“經典”光場.而對于相干態 | ζ〉 , 密度算符 | ζ〉〈ζ| 的Glauber-Sudarshan P 表示則為

其中 g (ω) 為能級密度因子.因為

作為第二個例子, 下面討論互換法則(8)式的應用.考慮正規排序算符 eλa?2eva2, 利用該互換法則可得其反正規排序式為

這里再一次用到了雙變量Hermite 多項式.另一方面, 也可以采用積分降次法進行計算, 即

這是算符 eλa?2eva2反正規乘積排序的另一種形式, 是指數形式的, 它要求 R e(1 ?4λv)>0.在上面的計算中用到了如下積分公式:

另一方面, 利用互換法則(8)式可得

這要求 R e(1 ?4λv)>0.比較(57)式和(58)式, 并做替換 a?→x , a →y , 便得到這就是奇次雙變量Hermite 多項式H2m+1,2n+1(x,y)的生成函數.同樣可得到奇偶次和偶奇次雙變量Hermite 多項式的生成函數, 即

這一些關于雙變量Hermite 多項式的生成函數都將在數學物理中有著各自的應用.

7 結 論

利用特殊函數和正規乘積排序與反正規乘積排序間的一般互換法則將冪算符及化為了正規乘積排序和反正規乘積排序形式.進一步利用類比法得到了冪算符及的坐標-動量排序和動量-坐標排序式.最后, 利用冪算符的有序排列結果討論了混沌光場, 并通過正規乘積與反正規乘積排序間的一般互換法則得到了在數學物理中有著應用價值的偶次及奇次雙變量Hermite 多項式的生成函數.

附錄A 多項式xn(ξ)

從多項式 xn(ξ) 的定義(19)式可得

做參數替換 et=τ , 則于是有

易見, xn(ξ) 不同于Touchard 多項式亦不同于Laguerre 多項式從(A2)式可得

進一步可得到多項式 xn(ξ) 的遞推公式和冪級數展開式分別為

多項式 xn(ξ) 跟Touchard 多項式的關系為

在(B5)式中若取 y1=2ξ , y2=?2 , ym≥3=0 , 則有

附錄B Touchard 多項式Tm(ξ)

從Touchard 多項式 Tn(ξ) 的定義可得

做參數替換 et=τ , 則有

由(B2)式容易得到

由(B2)式還可得出其遞推公式, 即

另外, 還可得到 Tn(ξ) 的冪級數展開式, 即

其中已規定 B0=1.如果取 ym=ξ , m =1,2,3,··· , 則(B5)式約化為

比較(B6)式和(25)式可知Touchard 多項式是Bell 多項式的一個特例, 即 Tn(ξ)=Bn(ξ,ξ,··· ,ξ).