從牛頓第二定律到伯努利的F=ma

張鴦麗

(浙江省玉環中學 浙江 臺州 317600)

姚珩

(閩南師范大學物理與信息工程學院 福建 漳州 363000)

經典物理學以經典力學為基礎，經典力學則以牛頓的外力、第二定律為核心，但牛頓第二定律的數學表達式F=ma并非由牛頓本人所提出，然全世界的中學大學物理教科書都將牛頓第二定律寫成F=ma，卻都沒有指出它的來源，容易給學生或教師誤以為它就是牛頓寫下來的；并且對該式到底是有關力的定義，還是定律，也模糊不清.那么牛頓第二運動定律的原意是什么？牛頓是如何看待“力”？明白這些問題，對經典力學的理解，教材掌握與教法呈現，將有所幫助.

1 牛頓之前的力概念——力、沖力、慣性力與離心力

對運動問題的探討最早始于古希臘，他們認為物體下落是重物的本性，因任何變化皆有其目的，重物運動的目的便是朝向世界的中心——地心，此種運動稱為自然運動.違反自然運動的稱為受迫運動，如石頭的上拋，這種運動必須要有推動者給予力，才能發生.因此，從最初運動問題便與力相關，力不是用來討論物體的形變而生.

他們還認為推動者一定要靠接觸，才能將力傳遞出去，為了要解決拋出石頭后不必接觸而能繼續運動下去的困難，經過很長時間，直到中世紀晚期才有科學家提出：運動的物體可從推動者獲取讓它能維持運動下去的動力，此動力稱為“沖力”.

17世紀初，笛卡爾保留了沖力的觀點，并以“運動物體的力”來代表，提出：“每一物體，受其自身的力，將一直維持于相同的狀態；一旦它運動后，則將繼續運動下去.”運動物體的力已不是來自于推動者的作用，笛卡爾認為物體會攜帶運動力，是由于最初運動的物體借著碰撞所傳遞出來的.對他來說，力只有一種，就是運動力，也就是后人所稱的慣性力.

惠更斯支持笛卡爾所主張：運動物體總是會沿著直線方向，因此“在圓周上運動的物體總會試著離開圓心，回到原來的直線上”.這種離開圓心的趨勢，惠更斯于1659年首次稱它為“離心力”.如圖1所示，物體自A點運動至B點，則物體在B點上具有回復到C點的趨勢，BC長度可代表離心力的大小.

圖1 惠更斯提出的離心力的圖示

惠更斯在所著《論離心力》一書中，精確地指出離心力大小與速度平方成正比，與半徑成反比.雖然他沒寫下計算式，但此發現則是物理學史上首次以明確的量化形式表示出力概念，對牛頓以及后來的物理學影響很大.此外，在這特別該注意的是：離心力與速度的變化無關，它是以長度、距離或位置的變化來表示.

2 牛頓的離心力與圓周運動

牛頓年輕時依循著惠更斯的思維，將惠更斯的的結果用自己的方法，于1669年在《論圓周運動》一書中寫下非常重要的規律[1]：在時間AB中，物體B離開圓心O的離心趨勢與離開圓周的距離BC成比例，……有如在無阻力作用時，相對物體在此段時間可自由沿著切線移動，兩者所造成的變化距離(如圖1)，且

此規律是促成牛頓日后發現萬有引力的重要參考，且在此時牛頓是接受惠更斯的做法，以距離或長度來代表力.

3 牛頓的向心力與外力

胡克是首位不依循笛卡爾與惠更斯的離心趨勢觀點的人，1666年他發表的兩篇論文中提出“吸引屬性”.并于1679年邀請牛頓參與討論會，向他提到此種朝向中心的趨勢，當時牛頓還回信說從未聽過此觀點.直到1684年，在回應哈雷的拜訪與提問后，寫下《論運動》的小冊書，第一次提到向心力[1]：

定義1 物體被推動或吸引，朝向中心點的力，稱為向心力.

唯有在此概念下，萬有引力方有可能被發現.向心力的應用非常廣泛，如落體、勻速圓周與橢圓運動全部都是受到向心力的作用.

1686年牛頓在其巨著《原理》中，才首次出現除“慣性力”與“向心力”以外的“力”[2]：

定義4 外力是施加在物體上，用來改變其靜止或等速運動狀態的作用.

由此敘述可知，在牛頓心中，力不是物體的質量與加速度的乘積，不是物體的重量，不是推力、拉力或彈力，它是與運動狀態有關的概念，是一種造成物體運動有所變化的影響或效果，它更是揭開自然現象的關鍵概念.

4 牛頓第二運動定律呈現于1686年

4.1 不使用第二定律仍可得到面積律與距離平方反比律

1684年，牛頓只有向心力概念，尚無外力一詞，也沒有第二定律，但他在當年《論運動》著作里卻可得到以下重要結果[1]：

定理1：在向心力作用下，運動物體與力心連線描繪出的面積正比于時間.

此定理意謂開普勒面積定律是因行星受到向心力作用所致，它也是日后《原理》中的第一個定理，其重要性不可輕忽.牛頓此時是如何在不知道第二運動定律之下，發現出來此重要規則？他主要是利用了伽利略在平面運動上位移合成的想法與主張：

力的作用 = 在給定時間所產生的位移或速度

以此來表示力作用的效果，由此提出了重要的預備定理(圖2)[1].

預備定理1：二力(如AB,AC)合成在某段時間作用在物體上的結果為一平行四邊形的對角線(AD)，其兩邊為各分力在同一時間下的作用.

將此定理運用在受向心力作用的平面運動物體上時，最初慣性力AB作用下所造成的物體位移Bc(圖3)，與在B處同時受到向心力(或脈沖力impulse)F作用造成的效果Bb，二力的合成作用為對角線BC，此時cC//BS，故面積△SAB=△SBc=△SBC. 而證得定理1.

圖3 慣性力與向心力合成的作用結果

他接著使用相同的合成方法，而非第二運動定律，在《論運動》中證出:做橢圓運動物體所受之向心力與物體至焦點的距離平方成反比.由此可看出，牛頓在此時的力概念只有兩個：慣性力與向心力，尚無外力的觀點，且他還不清楚日后的第二運動定律，也不明白物體做平面運動的加速度是何意，又該如何描述，但他此時已快得到行星運動所受的萬有引力形式了.

4.2 第二定律的提出與使用

兩年后，牛頓做了很大的改變，他引入了第二個新概念——外力，如前第3節的定義4所述，并在《原理》中寫下他劃時代的第二運動定律[2]：

定律Ⅱ公理Ⅱ：運動量的變化與外加的動力(或外力)成比例，且運動量的變化是沿著外力的直線方向上.

其中“運動量”也就是現在所說的動量，而“運動量的變化”不是惠更斯于1659年所言回到慣性運動上的位移.反之，它是從原初的動量(也可視為速度或位移)，指向后來的動量.亦即在第二定律里出現了兩個前所未有的概念——“動量變化”與“外力”，這是其他物理學家，甚至之前的牛頓本人，從未想過或使用過的方法.

牛頓在與友人的信中曾以簡圖4表示：物體做曲線運動，從A運動到b，則運動量的變化為ab，其大小與作用“在原來A處”的外力成正比，且方向相同，這就是第二定律的全部意義.其內涵卻相當新穎，完全創新，這種“動量或運動狀態的改變，以及如何將它量化”是牛頓全新的觀點，它使用此定律推導出《原理》一書中許多有用結果，也推導出:若物體受到與距離平方成反比的外力，物體將做橢圓或雙曲線運動.從此，第二定律所揭示分析運動的方法，對日后物理學家探討運動的思維，起了巨大的指導作用與貢獻.

圖4 牛頓第二定律重要示意圖

牛頓自此已傾向于不用慣性力，他認為物體由A到a是初動量或初狀態，而不說是受到慣性力作用.他也不用二力——慣性力與向心力的合成，而是反過來，由動量變化或加速度，去尋找外力的數學形式.

現以《原理》中定理1的論證內容，來對比《論運動》中定理1的證明方法(如4.1節與圖3所述)，可初步體會1686年時牛頓是如何引用他的第二運動定律，與處理物體動量變化的方法:

定理1 做環繞運動的物體，其指向穩定力心的直線所掠過的面積位于同一平面上，且正比于時間.

證明:在不受外力作用下，于相同時間間隔下，物體在A與B處的動量，可以長度AB與Bc表示，且AB=Bc.若在B處，物體受到外力作用，且指向力心S，造成物體在B點的動量為BC，物體的動量變化為cC，由第二定律，cC//BS，故面積△SBc=△SBC(同底同高)，如圖5，而得證.

圖5 以第二運動定律證明面積定律

第二定律最大的特色是在處理非直線的平面運動，如圓、拋物線或橢圓.對這些運動,在牛頓之前無人曾提及物體動量(或速度)變化的明確意義. 一般人或許不難理解直線運動上的速度變化或加速度，因兩者都會在同一直線上，但做平面運動的加速度為何是牛頓所規定的方式：由初速度的端點指向末速度的端點，這是牛頓獨創的觀點，是相當關鍵與困難的一步.教學者宜謹慎對待，并予以強調.

命題11:做橢圓運動的物體必受到至交點距離平方反比的外力作用.

5 伯努利首次寫下f=ma

《原理》一書使用了大量幾何圖形的論證方式，一般人不易讀懂.瑞士數學家伯努利于1736年發表了《關于光如何傳播的物理和幾何研究》，他在書中描述了光傳播的驚人速度，也確信大自然中存在著高速運動的物體，并嘗試著解釋光傳播的相關現象.他認為力是一個決定性因素，力或多或少可移動一些物體，并且在作用了一段時間后，都會在所作用的物體上產生一個加速度.他寫下如圖6所示一段話.[3]

圖6 伯努利第一次寫下f=ma

原意為:為求更好的了解，只需要確信所解釋的動力實際上是物體的質量和所施予加速度的組合；它意味著通過命名動力f，物體質量m和加速度a，就可以得到f=ma.

這便是歷史上第一次清楚以f=ma的形式來表示牛頓第二定律的數學式，之后它也成為世上普遍使用的寫法. 它大大簡化了牛頓的幾何作法，帶來許多方便，伯努利也使用第二定律的代數方式開啟探討流體運動現象.由于它簡單，容易操作，在教學上有不少方便，學生們也可朗朗上口，這是伯努利很大的貢獻.

6 討論與結論

每位物理教師都非常熟悉的牛頓第二定律f=ma，并非只是以“力是產生加速度的原因”或“物體所產生的加速度與外力成正比”，就可呈現出其深刻意義.回顧與明白上述的發展過程，可以更豐富教師的教學內涵:

(1)力——何謂力？是彈力、摩擦力或是一種變形？牛頓并未如此說，他最初只有慣性力與向心力的概念，最后才加上外力，他所謂的“力”是為了改變物體運動狀態的作用，該如何以數值或幾何方式「量化」外力，是他的首要工作.

(2)動量變化或加速度——在直線上運動的加速度就是速度之差，但是平面運動的加速度如何求得？牛頓之前無人知道，也沒人如此去描述.牛頓首先規定平面上的加速度是由初速端指向末速端，開啟了全新的論證方式.

(3)目的——提出f=ma的目的就是牛頓所言“從運動的現象去研究自然界中的力，然后從這些力去說明其他自然現象”[2]，當f=ma中的f未知時，物理學家便試著由運動軌跡中的加速度去尋找力的數學形式.相對地，若f已知，則可由第二定律，描繪出運動軌跡.

牛頓第二運動定律是經典力學的基礎，了解它背后形成過程的曲折與創新，對牛頓力學的結構可以有更清晰的體會與掌握.力不是推力與拉力的延伸，它是為了要描述行星與落體運動現象的一致性而被提出的；其中如何描述在平面上運動物體的加速度，則是牛頓很關鍵的突破；后來的伯努利以f=ma把牛頓的物理精華濃縮成為常人能解的一種標準范式.