帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題解析*
——以2020年高考全國卷Ⅰ物理第18題為例

馬順存

(湖南師范大學附屬中學 湖南 長沙 410006)

“臨界問題”大量存在于高中物理的許多章節中，如“圓周運動中小球能過最高點的速度條件”“運動學中的追及問題”等等，這類題目中往往含有“最大”“最高”“至少”“恰好”等詞語，其最終的求解一般涉及極值，但關鍵是找準臨界狀態．帶電粒子在有界磁場中運動的臨界問題，在解答上除了有求解臨界問題的共性之外，還有其自身的一些特點．解決帶電粒子在磁場中運動的臨界問題一般的思路是：畫圖→動態分析→找臨界軌跡→計算解答．找出臨界軌跡，做出軌跡圖形，是解決這類問題的關鍵．下面以2020年高考全國卷Ⅰ物理第18題為例進行解析．

圖1 題圖

解法一(常規思路)：由帶電粒子在磁場中運動，其所受洛倫茲力提供做圓周運動的向心力有

(1)

(2)

解得

其中m,q,B為已知，v為變化量，r隨著v的增大而增大．

帶電粒子在磁場中運動的時間

其中θ為帶電粒子運動軌跡所對應的圓心角，可知帶電粒子在磁場中運動的時間與速度大小無關．

由于粒子垂直于ac射入，可知其軌跡圓的圓心必定在ac所在直線上，由于粒子具有各種速率，所以粒子的軌跡圓半徑由零逐漸增大，作出粒子在磁場中運動的軌跡，如圖2所示．

圖2 解法一圖示

當r≤0.5R或r≥1.5R時，粒子從ac，bd區域射出，粒子在磁場中運動的軌跡為半圓，運動時間等于半個周期(非最長時間)，如圖2中的軌跡1和5．

粒子運動最長時間為

所以選項C正確．

解法二：

解題分析部分與解法一相同，關鍵點是如何找到臨界條件下的出射點．在解法一中，用作縮放圓的方法找出最大軌跡圓，由于軌跡圓有無數個，不太容易找到臨界條件．同時要證明所找到的軌跡即為在磁場中運動時間最長的粒子軌跡也比較困難．因此需要尋找一種更簡單地找到臨界條件軌跡的方法．

β=60°

圖3 解法二圖示

解法三：

解題分析部分與解法一相同，用該方法找到的粒子在磁場中運動的軌跡臨界條件相比于解法二思路更加清晰，也更加容易理解．

β=60°

圖4 解法三圖示

結束語：

由于本題是一個單選題，在考場上我們可以通過排除法、賦值法等解決問題，不必要花費太多的時間將每一個問題都分析得一清二楚．然而，帶電粒子在磁場中運動的臨界問題是高考中的常考點，也常以壓軸題的形式出現，難度較大．考場之外對該題型的解析還是很有價值的．通過對2020年高考全國卷Ⅰ物理第18題的解析，對3種解法做如下歸納：

方法一，我們用常規思路解決問題，利用動態圓尋找臨界條件，但是發現要找到臨界條件比較難，要證明所畫出的臨界軌跡就是在磁場中運動時間最長的粒子軌跡就更難了．

方法二，是在方法一基礎上的換位思考，畫出一條直線，到達這條直線上所有粒子運動的時間都是相等的，因此臨界條件的尋找由動態圓轉化為動態直線，問題得到簡化．

我們可以看到，帶電粒子在磁場中運動臨界問題的解答很能體現學生的分析思維能力以及想象能力，要求學生能夠由一條確定的軌跡想到多條動態軌跡，從不同的角度思考問題，并最終判定臨界狀態．所以，在平時的教學過程中，我們要深入挖掘高考題型的最佳解題方法，通過適當的方式教給學生，這樣有助于拓展學生的視野，有助于學生理解問題的本質．在學習的過程中，我們不能只要求得出正確的答案，要知其然，更要知其所以然，同時還要思考如何才能尋找到最佳解題方法，這樣才能在考試中得心應手．在核心素養教學理論指導下，要求作為教師的我們要充分挖掘問題的本質和內涵，在備課中多下功夫，走在高中物理教學的“潮流前線”，為學生全面而有個性的發展“保駕護航”[1]．