近年高考對圖像問題的考查角度及解題方法例析

胡東明 宋海霞

(武漢市新洲區第一中學陽邏校區 湖北 武漢 430415)

《國務院關于深化考試招生制度的實施意見》(以下簡稱《意見》)明確提出深化高考考試內容的改革，依據高校人才選拔要求和國家課程標準，科學設計命題內容，增強基礎性、綜合性，著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力．近年來，高考加大了對圖像問題的考查力度，在圖像的呈現方式、知識的整合等方面有較大突破，充分體現了《意見》中增強基礎性、綜合性的要求．對于圖像新的呈現方式，不僅需要學生能識圖、用圖，還需要學生能獨立思考，靈活運用所學知識分析問題、解決問題．

【例1】(2020年高考全國卷Ⅰ第17題)圖1(a)所示的電路中，K與L間接一智能電源，用以控制電容器C兩端的電壓UC．如果UC隨時間t的變化如圖1(b)所示，則下列描述電阻R兩端電壓UR隨時間t變化的圖像中，正確的是( )

圖1 例1題圖

A

考查角度:學生常見的是恒定電壓源給電容器充放電的I-t圖像，圖像與橫軸圍成的面積表示電容器充放電過程中釋放或充入的電荷量．本題呈現的是電容器的電壓UC隨時間t的變化圖，圖像的面積或斜率均沒有物理意義，只有分析出電路中的電流I隨時間t的變化圖，才可以得到電阻R兩端電壓UR隨時間t變化的圖，常規思維無法求解．

由電容和電流的定義知，式中

圖2 I-t圖像

本題可改編如下：

【例2】如圖2(a)所示的電路中，K與L間接一智能電源，用以控制電容器C兩端的電壓UC．如果UC隨時間t的變化如圖3(b)所示，可變電容器的電容C隨時間變化如圖3(c)所示，則下列描述電阻R兩端電壓UR隨時間t變化的圖像中，正確的是( )

圖3 例2題圖

A

解析：由前面的分析知UR=IR=kCR．0～1 s和2～3 s內k=0，C=1 F，故UR=0；1～2 s內C=1 F，3～5 s內C=2 F，但是，1～2 s內UC-t圖像斜率的大小是3～5 s內UC-t圖像斜率的大小的2倍，斜率的正負符號相反，故1～2 s內電阻兩端的電壓與3～5 s內電阻兩端的電壓大小相等，方向相反．所以選項C正確．

【例3】(2019年高考全國卷Ⅰ第21題)(多選)在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，P由靜止向下運動，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關系如圖4中實線所示．在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a-x關系如圖中虛線所示．假設兩星球均為質量均勻分布的球體．已知星球M的半徑是星球N的3倍，則( )

A．M與N的密度相等

B．Q的質量是P的3倍

C．Q下落過程中的最大動能是P的4倍

D．Q下落過程中彈簧的最大壓縮量是P的4倍

圖4 例3題圖

如圖5所示，當x=0時，對P：mPgM=mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM=3a0；對Q：mQgN=mQa0，即星球N表面的重力加速度gN=a0．

圖5 分析過程圖

即

選項C正確；P和Q在彈簧壓縮到最短時，其位置與初位置關于加速度a=0時的位置對稱，故P下落過程中彈簧的最大壓縮量為2x0，Q下落過程中彈簧的最大壓縮量為4x0，選項D錯誤．

解題方法:a-x圖像的斜率和面積均沒有物理意義，但是，如果將縱軸a與質量m相乘，轉換成ma-x圖像，由于F=ma，所以ma-x圖像其實就是合外力F隨位移x的關系圖像，其面積表示合外力做的功，這樣，選項C的問題就得到解決．轉換后的ma-x圖像面積分別為

由mQ=6mP，得WQ=4WP，根據動能定理知，Q下落過程中的最大動能是P的4倍，選項C正確．

說明:考查圖像問題，往往離不開軸、線、斜率、面積、截距、特殊點等這6個方面.通過相關的數學或物理規律的轉換，在斜率或面積上進行創新，是近年來高考圖像類問題的命題方向，解決這類問題，可以運用微分學的復合函數求導法則，將圖像的斜率表達式轉換成有一定物理意義的復合函數表達式(如例1)，也可以改變坐標軸的物理量，將原圖像轉換成面積有一定的物理意義的圖像(如例2)．

新課程高考注重“必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值”的考查，以“基礎性、綜合性、應用性、創新性”為考查要求．圖像類試題能有效地考查學生的科學思維能力水平，較好地考查學生應用數學處理物理問題的能力，應該引起我們足夠重視．