基于GeoGebra對一種彈簧擺問題的可視化研究

陳林 桑芝芳

(蘇州大學物理科學與技術學院 江蘇 蘇州 215000)

1 試題及解析

如圖1所示，一輕質彈簧固定于C點，另一端固定一小球，將小球從與懸點C在同一水平面且彈簧保持原長的A點無初速度釋放，讓其自由擺下，不計空氣阻力，在小球擺向最低點P的過程中，下列說法中正確的是( )

A.小球的重力勢能減少

B.小球的機械能減少

C.小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和不變

D.小球與彈簧組成的系統機械能減少

圖1 試題情境圖

解析：小球從A運動到P的過程中，以小球為研究對象，重力做正功，重力勢能減小，選項A正確；但是由于彈簧彈力做負功，將小球的一部分機械能轉化為彈簧的彈性勢能，所以小球的機械能減少，選項B正確；此過程重力勢能減少，轉化為彈簧的彈性勢能和小球的動能，所以小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和減小，選項C錯誤；只有重力和彈簧彈力做功，所以系統機械能守恒，選項D錯誤．本題答案為選項A，B．

以上分析是定性分析，縱使能把答案選出來，學生依然會有許多疑問：

(1)小球接下來的運動軌跡是怎么樣的？

(2)懸點正下方P點，小球速度的方向是水平嗎？

(3)小球的合速度大小是怎么變化的？能畫出速度圖像嗎？

(4)P點合力方向向上還是向下？

……

關于疑問(3)，文獻[1]作者通過MATHCAD給出結論：在一個周期內小球合速度先變大再減小，然后變大最后減小．

關于疑問(4)，文獻[2]作者通過動力學方程分析出P點合力方向向上．

通過查閱更多文獻，發現對該彈簧擺研究內容不少，但大多是面對大學層次學生的教授，通過MATLAB，MATHEMATICA，MATHCAD等軟件進行數值模擬，或者是如文獻[2]通過實驗進行探究．但MATLAB，MATHEMATICA，MATHCAD等軟件對中學教師來說使用難度較大，GeoGebra軟件不僅使用簡單，無需編程，而且同樣可以進行數值模擬，對中學物理教學有很大幫助．

接下來，本文針對疑問(1)、(2)，借助GeoGebra軟件進行探究．

2 建立模型

以彈簧懸掛點為原點建立如圖2所示的坐標系，圖2所示為任意時刻小球所在的位置P(x,y)．開始時θ=90°，小球處于水平位置，彈簧處于原長L0，設彈簧勁度系數為κ，小球質量為m．

圖2 建立坐標系

2.1 微分動力學方程

對小球分別進行水平方向和豎直方向上的受力分析.

在水平方向上有

(1)

在豎直方向上有

(2)

其中

整理可得,水平方向

(3)

豎直方向

(4)

x(0)=L0y(0)=0

2.2 GeoGebra數值模擬

實際上，不同的初始擺角、勁度系數、小球的質量、彈簧的原長等都會影響彈簧擺的運動規律[3]．本文由題意知，小球是從水平位置下落，所以初始條件設為θ=90°．為方便起見，不妨設彈簧原長

L0=20 mg=10 m/s2

κ=1 N/mm=0.01 kg

用GeoGebra描繪小球運動軌跡如圖3所示，小球的速度與水平位移的關系圖如圖4所示，小球重力勢能、彈性勢能、動能與水平位移關系圖如圖5所示，B，D，C3條線分別代表重力勢能、彈性勢能、動能．圖6則是任意時刻小球的重力勢能、彈性勢能與動能具體數值，可以看出三者能量守恒，總和為零．

t=50 s；L0=20 m；

圖4 速度和水平位移的關系圖

圖5 小球重力勢能、彈性勢能、動能與水平位移關系圖

圖6 任意時刻小球的重力勢能、彈性勢能與動能

2.3 圖形分析

2.3.1 軌跡圖

在L0=20 m，κ=1 N/m，m=0.01 kg時，圖3是該彈簧擺的運動軌跡圖，其軌跡近似是半個圓周，在懸點正下方小球的速度是水平的．

2.3.2 速度與水平位移關系圖

由圖4可知，從下落開始，小球的速度先增大后減小，最低點速度達到最大，且呈周期性變化．

2.3.3 重力勢能、彈性勢能、動能與水平位移關系圖

由圖5可以看出，小球從下落開始，在一個周期內，重力勢能先變小后變大，彈性勢能先變大后變小，動能先變大后變小．整個系統能量守恒，不過彈性勢能對整個系統影響較小．

2.4 拓展分析

此外，在三維模型中，若給小球一個y軸方向的初速度，設

運動軌跡如圖10所示.由圖可以看出，小球的運動軌跡像一朵盛開的蓮花，從而更能體現出彈簧擺問題的復雜性與多樣性．

圖10 在三維模型中小球運動軌跡像蓮花

3 結論與反思