數(shù)學(xué)建模中經(jīng)濟(jì)與金融優(yōu)化模型分析

曹毅

摘要：經(jīng)濟(jì)與金融領(lǐng)域的發(fā)展，對高端技術(shù)人才，尤其是數(shù)學(xué)建模人才的需求量日益增加，通過數(shù)學(xué)建模對經(jīng)濟(jì)學(xué)理論和金融知識進(jìn)行分析，可構(gòu)建利潤、收益和成本的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)相關(guān)風(fēng)險要素的管理和控制。本文主要分析了數(shù)學(xué)建模中的經(jīng)濟(jì)與金融模型優(yōu)化意義，在理論意義和現(xiàn)實(shí)意義上對相關(guān)問題進(jìn)行分析，并結(jié)合經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域和金融中的案例，對數(shù)學(xué)建模進(jìn)行研究，使得相關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論能夠應(yīng)用在實(shí)踐工作中，促進(jìn)理論與實(shí)踐融合。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模? 經(jīng)濟(jì)與金融? 優(yōu)化模型

現(xiàn)階段，復(fù)雜的外部市場競爭環(huán)境，對金融市場造成一定沖擊，針對金融行業(yè)工作人員而言，具備扎實(shí)的理論實(shí)施，熟練掌握數(shù)學(xué)建模中經(jīng)濟(jì)與金融優(yōu)化模型，能夠?qū)κ袌霾焕蛩刈龀鰷?zhǔn)確分析，并且根據(jù)相關(guān)風(fēng)險要素和現(xiàn)有技術(shù)理論，研究有針對性的解決方案，為相關(guān)決策行為作出參考。數(shù)學(xué)建模理論具有實(shí)用性與必要性，不僅能夠?qū)鹑诶碚撨M(jìn)行檢驗(yàn)，而且對指導(dǎo)經(jīng)濟(jì)實(shí)踐活動產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響，相關(guān)研究人員應(yīng)對此提高重視。

一、分析數(shù)學(xué)建模中經(jīng)濟(jì)與金融優(yōu)化模型的意義

（一）理論意義

通過數(shù)學(xué)建模能夠建立金融與數(shù)學(xué)理論之間的橋梁和紐帶，實(shí)現(xiàn)對問題科學(xué)合理分析，使得金融理論知識框架更加系統(tǒng)有效。使用數(shù)學(xué)建模理論對金融和經(jīng)濟(jì)原理進(jìn)行分析，是目前實(shí)證分析的重要組成部分，對促進(jìn)研究深化具有重要影響。理論上，金融理論知識可通過統(tǒng)計學(xué)、線性方程等進(jìn)行分析，達(dá)到基于可靠數(shù)據(jù)的優(yōu)化模型，對豐富金融理論起到關(guān)鍵作用。

數(shù)學(xué)建模下，對經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)知識理論進(jìn)行研究，能夠?yàn)橄嚓P(guān)決策人員提供參考，并且對目前研究理論進(jìn)行完善。通過對理論知識的分析和應(yīng)用，相關(guān)人員構(gòu)建基于不同金融業(yè)務(wù)下的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，通過具體案例，使得金融學(xué)理論知識內(nèi)在價值得到開發(fā)，能夠有效解決現(xiàn)有經(jīng)濟(jì)學(xué)中的理論問題[1]。

（二）現(xiàn)實(shí)意義

數(shù)學(xué)建模中，分析經(jīng)濟(jì)理論和金融知識，對實(shí)踐工作具有指導(dǎo)作用，相關(guān)人員應(yīng)認(rèn)識到理論模型的重要現(xiàn)實(shí)意義，結(jié)合經(jīng)濟(jì)生活和金融領(lǐng)域中的實(shí)際問題，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，使得研究過程更加科學(xué)有效。實(shí)際工作中，大部分金融業(yè)務(wù)活動都可在數(shù)學(xué)中進(jìn)行抽象運(yùn)用，通過構(gòu)建模型和數(shù)據(jù)參數(shù)的方式，促使理論與實(shí)際相結(jié)合，對解決實(shí)際問題產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。相關(guān)人員分析數(shù)學(xué)模型，通過模型情況對實(shí)際工作進(jìn)行指導(dǎo)是業(yè)務(wù)人員的基本技能，對金融行業(yè)發(fā)展意義重大。同時，通過模型分析能夠提高金融活動研究的深度與廣度，為金融學(xué)高端人才的培育提供解決方案，進(jìn)而提高經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域和金融行業(yè)競爭優(yōu)勢。

二、數(shù)學(xué)建模中經(jīng)濟(jì)與金融優(yōu)化模型分析

（一）柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)

分析中，選取柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，對相關(guān)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，關(guān)注模型優(yōu)化，使得相關(guān)研究具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。生產(chǎn)函數(shù)形式為：

Q（L，K）=aLαKβ

公式中，Q為生產(chǎn)量，a為常數(shù)，L表示企業(yè)生產(chǎn)過程投入的勞動力;K為投入的勞動資本：L單位為萬人，K單位為萬億元;α為勞動力產(chǎn)出系數(shù)，β為資本產(chǎn)出彈性系數(shù)。模型研究中，假設(shè)企業(yè)商品銷售量為S，銷售量與生產(chǎn)量Q相等，即存在相等條件S=Q=aLαKβ。

此時，生產(chǎn)企業(yè)銷售收入為I，則I是商品銷售量的二次多項函數(shù)，記為：

I=b0S+b1S2。記銷售成本為P，固定成本為M0，則P與S存在以下關(guān)系表達(dá)式p=M0+c0S+c1S2，此時利潤R表示為R=I-P=（b0-c0）S+（b1-c1）S2-m0

對經(jīng)濟(jì)學(xué)中的利潤最大化問題，可通過以下數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行明確，得到利潤優(yōu)化模型：

maxR（L，K）=（b0-c0）aLαKβ+（b1-c1）aLαKβ

實(shí)際工作中，為求解利潤最大化問題，經(jīng)常對數(shù)據(jù)模型進(jìn)行分析，并且將模型作出進(jìn)一步優(yōu)化，使用優(yōu)化工具和函數(shù)模型，對數(shù)據(jù)進(jìn)行編程并且錄入計算，明確數(shù)據(jù)模型，實(shí)現(xiàn)對該問題合理求解[2]。

（二）有關(guān)資金最優(yōu)使用問題

資金最優(yōu)使用，提高資金使用效率，獲得穩(wěn)定收入是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的重要課題，相關(guān)人員應(yīng)對此提高重視，研究有利于資金高效應(yīng)用的合理對策。經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對資金和技術(shù)進(jìn)行研究，一般需要在具體的會計核算周期內(nèi)開展，根據(jù)企業(yè)經(jīng)營方式，流動資金管理工作需求，相關(guān)資金不能一次性使用或花費(fèi)，因此需要研究資金使用效率，分析影響企業(yè)資本金變動問題，并且在合理的期限范圍內(nèi)，獲得最大的資金使用效率，注重提升企業(yè)內(nèi)在經(jīng)濟(jì)效益。

例如，分析以下問題：企業(yè)自有資金100萬元，要求在4年內(nèi)對資金進(jìn)行完全使用。企業(yè)會計人員對資金使用情況進(jìn)行記錄。第一年，該部分資金使用X萬元，獲取收益為y=萬元。對于當(dāng)年不可用資金，可選擇存入銀行賬戶，并且對利息收入進(jìn)行核算，完成整個計算流程。資金使用年份記錄為x1、x2、x3和x4，根據(jù)數(shù)學(xué)統(tǒng)計知識得到如下結(jié)論，倘若資金在不使用情況下不產(chǎn)生任何經(jīng)濟(jì)效益，則資金最優(yōu)使用可通過以下計算式進(jìn)行表達(dá)：，但是，鑒于資金在存入銀行或其他用途會產(chǎn)生利息收入，則對相關(guān)數(shù)模型進(jìn)行優(yōu)化，得到：

觀察模型特征，可知相關(guān)模型滿足非線性條件，在具體計算過程中，需要將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為最小值，根據(jù)實(shí)際參數(shù)和具體變量，對公式進(jìn)行求解。實(shí)踐研究中，在計算機(jī)模型優(yōu)化工具箱中，使用了fmincon函數(shù)，利用編程方式實(shí)現(xiàn)對計算結(jié)果的準(zhǔn)確導(dǎo)出。

在經(jīng)濟(jì)和金融實(shí)際問題分析中，不僅建立了非線性函數(shù)模型，也可通過代數(shù)方程、回歸分析和智能算法等多種方式，對數(shù)據(jù)建模方式進(jìn)行豐富，研究有利于解決實(shí)際問題的有效計算方法。經(jīng)濟(jì)和金融活動中，有關(guān)資金最優(yōu)使用的問題，也可參考其他數(shù)學(xué)模型，例如，求方程的最優(yōu)解，通過對相關(guān)變量的控制，達(dá)到理想條件[3]。實(shí)踐應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合問題實(shí)際情況，選擇合適的數(shù)學(xué)模型，并且對建模過程的科學(xué)性與合理性進(jìn)行分析，提出具有參考價值的理論成果。

（三）投資風(fēng)險組合優(yōu)化模型

金融分析中，投資組合優(yōu)化十分重要，利用數(shù)學(xué)建模方法，對資產(chǎn)組合進(jìn)行分析，能夠獲得穩(wěn)定收益，對增加投資者信心產(chǎn)生重要影響。例如，在某證券投資交易中，分別提供了三種股票A、B、C，對股票價格的變動情況進(jìn)行分析，明確影響客戶收益的具體因素。根據(jù)投資收益最大化，構(gòu)建基于A、B、C的投資組合模型。假設(shè)A股票的年初價值為1元，年末受到市場經(jīng)濟(jì)和行情變化影響，股票價值實(shí)現(xiàn)上漲，此時股票價值為1.5元，客戶收益率增加。實(shí)踐分析中，提出以下問題，當(dāng)客戶手中出現(xiàn)閑置資金，在證券市場上尋求最優(yōu)投資組合，為降低風(fēng)險，獲取穩(wěn)定長久收益，對投資組合進(jìn)行優(yōu)化。

針對投資組合的優(yōu)化分析，最早在1952年，著名經(jīng)濟(jì)分析師Mark研究了投資模型基本理論框架。考慮到股票投資標(biāo)的和性質(zhì)，將收益作為隨機(jī)變量并且在理論研究過程中，充分考慮客戶期望值這一數(shù)據(jù)，對風(fēng)險因素進(jìn)行控制。根據(jù)Mark模型中的關(guān)系，認(rèn)為風(fēng)險可通過收益的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行表示，因此，在投資過程中，只需要控制資產(chǎn)收益的標(biāo)準(zhǔn)差，便可實(shí)現(xiàn)對風(fēng)險的合理控制，幫助客戶獲得穩(wěn)定收入。

理論研究，認(rèn)為數(shù)據(jù)模型中，資產(chǎn)方差值越大則風(fēng)險越高;而方差越小則認(rèn)為風(fēng)險較低，并且可控。證券金融市場實(shí)踐中，一種股票的收益是否均衡是衡量股票價值的重要因素，可通過計算平均收益率這一指標(biāo)，達(dá)到對相關(guān)數(shù)據(jù)的有效識別，實(shí)現(xiàn)對投資風(fēng)險的預(yù)警和識別。投資組合的優(yōu)化是獲取最大利益的重要方法，在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)分析中，應(yīng)對相關(guān)投資理論進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)模型研究中，當(dāng)協(xié)方差為0時，表示兩組數(shù)據(jù)之間的相互影響不大。當(dāng)協(xié)方差為正數(shù)時，倘若協(xié)方差越大，則影響效果越強(qiáng)。當(dāng)協(xié)方差為負(fù)數(shù)時，表述存在負(fù)相關(guān)與協(xié)方差為正數(shù)的情況相反。

具體研究過程中，記股票A、B、C每年收益率分布是R1、R2和R3，則計算式中的Ri（i=1，2，3）可作為一個隨機(jī)變量，字母E和D分別表示模型中的隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望和方差。以COV表示兩組隨機(jī)變量之間協(xié)方差，根據(jù)數(shù)學(xué)概率論和統(tǒng)計方面知識，對投資組合的年收益率進(jìn)行計算，則A、B、C股票的協(xié)方差年收益率矩陣滿足：

在模型的構(gòu)建中，以決策變量X1，X2和X3分別代表投資人股票A、B、C的投資比例，為方便計算流程，假設(shè)目前市場上不存在其他類型的投資。投資人閑置資金全部用于對股票市場投資，則滿足以下條件：

X1，X2，X3≥0;X1+X2+X3=1

實(shí)踐分析中，相關(guān)人員應(yīng)考慮年收益率是一個變量，需要對其統(tǒng)計分析。將相關(guān)數(shù)據(jù)錄入到計算機(jī)統(tǒng)計模型中，經(jīng)過運(yùn)算程序，能夠發(fā)現(xiàn)投資組合決策結(jié)果與LINDO模型預(yù)測結(jié)果一致，計算誤差在允許范圍內(nèi)。對模型數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知，均值向量Mean與協(xié)方差矩陣COV計算結(jié)果與模型中的數(shù)據(jù)基本一致，說明數(shù)學(xué)建模合理有效，能夠?qū)崿F(xiàn)對股票組合投資收益的科學(xué)分析。

存在風(fēng)險較小投資選擇時，投資人不僅購買A、B、C三種股票，也投資了風(fēng)險更小的國庫券，國庫券的年收益率能夠達(dá)到5%，與股票投資收益比較相對較低，但是，具有安全風(fēng)險低的優(yōu)勢，在穩(wěn)健型投資者中受歡迎。經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)領(lǐng)域中，根據(jù)客戶的風(fēng)險承受能力，將用戶劃分為不同等級，分別為保守型投資者、穩(wěn)健型投資者和風(fēng)險偏好型投資者。相關(guān)人員應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)理論，建模分析不同投資偏好者，不同類型的資產(chǎn)組合方式，為金屬領(lǐng)域投資選擇提供可靠參考[4]。

本次研究中將低風(fēng)險投資方式，如國庫券和銀行存款作為風(fēng)險投資方式的特殊情況，使得研究過程更加簡化，與數(shù)學(xué)模型相匹配。實(shí)際分析中，低風(fēng)險投資獲取的收益是固定的，因此，對比數(shù)據(jù)協(xié)方差，數(shù)據(jù)為0值。為構(gòu)建有效的分析模型，對投資者行為進(jìn)行假設(shè)，假設(shè)投資者購買A、B、C股票比例分別為y1、y2、y3，賣出股票的比例為z1、z2和z3，約束條件為：

X1，X2，X3≥0;y1，y2，y3≥0;z1，z2，z3≥0.

本次研究中為更加快速獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，簡化了交易成本，并且省略費(fèi)用核算環(huán)節(jié)。現(xiàn)階段，所有股票持有者總資金規(guī)模不變，滿足守恒定律，假設(shè)此時交易成本為0.01，資金規(guī)模使用單位1表示，則有以下表達(dá)式：

X1+X2+X3+0.01（y1+y2+y3+z1+z2+z3）=1

以計算機(jī)程序設(shè)計資金交易投資組合模型，對相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行錄入與計算，為保證結(jié)果精準(zhǔn)性，提出以下兩個基本假設(shè)：

一是在模型計算中，應(yīng)獲得的收益分布滿足數(shù)學(xué)中正態(tài)分布規(guī)律，未來收益是否高于預(yù)期值，將不再對模型基本框架進(jìn)行改動，只需要調(diào)整數(shù)據(jù)大小和計算過程便可。

二是對投資者行為作出的假設(shè)，投資者風(fēng)險偏好較為明顯，符合二階矩陣和方差標(biāo)準(zhǔn)值，并且能夠?qū)︼L(fēng)險進(jìn)行識別，制定出有效的防范措施。然而，金融市場和經(jīng)濟(jì)實(shí)踐活動中，風(fēng)險作用機(jī)制是多元的，僅憑借對單一或二元因素的分析，與實(shí)際情況存在較大出入，研究過程真實(shí)性與合理性需要進(jìn)一步分析。

（四）拍賣投標(biāo)線性規(guī)劃模型

為提升模型數(shù)據(jù)應(yīng)用可靠性，對典型經(jīng)濟(jì)學(xué)問題進(jìn)行分析，通過拍賣與投標(biāo)對數(shù)學(xué)模型構(gòu)建進(jìn)行研究。相關(guān)模型對指導(dǎo)實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響，相關(guān)人員應(yīng)對此提高重視力度，注重分析經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域拍賣與投標(biāo)中涉及的主要問題。

假設(shè)一家拍賣行采取委托拍賣的方式，對藝術(shù)珍藏品進(jìn)行拍賣，場景設(shè)計如下：4個來自不同地區(qū)的投標(biāo)人提交了投標(biāo)書，項目數(shù)量、價格均存在不同。

對于這類問題，通過使用排列組合數(shù)學(xué)模型解決問題。實(shí)踐中，會將藝術(shù)品優(yōu)先賣給投標(biāo)價格最高的投標(biāo)人，但是這種方法在數(shù)學(xué)建模中，不能有效對物品清償價格進(jìn)行研究，因此，在分析過程中，作出假設(shè)：

首先建立一般模型，對本案例中的具體問題進(jìn)行求解，假設(shè)共計有N個物品需要拍賣，第j類物品數(shù)量為Sj（j1，2....N）;此次拍賣中，有M個投標(biāo)者，投標(biāo)者i（i=1，2，....M），投標(biāo)價格假設(shè)為Bij，Bij≥0。模型構(gòu)建中，需要達(dá)到的理論目標(biāo)是對第j類物品清算價格的確定，則實(shí)際上，清算價格Pj應(yīng)滿足下列假設(shè)條件：

一是拍賣中成交的第j類物品的數(shù)量不能超過Sj（j=1，2....N）;二是對第j類物品的投標(biāo)價格低于Pj的，將不能獲得該物品;三是倘若在拍賣物品的成交過程中，第j類物品的數(shù)量小于Sj，則認(rèn)定Pj=0，（拍賣方另外制定最低價格的情況除外）;四是對j類物品的報價高于Pj，投標(biāo)人有權(quán)獲得該物品，以價格范圍內(nèi)投標(biāo)價格較高者獲得。

為滿足計算標(biāo)準(zhǔn)，對模型進(jìn)行優(yōu)化，以0-1變量Xij表示將第j類物品拍賣給投資者i，即Xij=1表示分配合理;Xij=0則表示分配不合理。經(jīng)過優(yōu)化后的數(shù)學(xué)模型仍然滿足總利潤核算標(biāo)準(zhǔn)，計算公式可簡要表達(dá)如下：

ΣΣbij*xij

相關(guān)模型可作為約束條件下利潤最大化的目標(biāo)函數(shù)，通過計算機(jī)程序?qū)ο嚓P(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行錄入分析，設(shè)計了拍賣與投標(biāo)相關(guān)函數(shù)核算程序，經(jīng)過計算與實(shí)際情況相符合[5]。實(shí)踐研究中，考慮到拍賣與投標(biāo)環(huán)節(jié)涉及較多因素，相關(guān)數(shù)學(xué)模型應(yīng)作出調(diào)整，堅持具體問題具體分析原則，通過更新理念，對經(jīng)濟(jì)活動中的理論關(guān)系進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建科學(xué)合理的解決方案，確保建模分析可靠性，由此，將金融學(xué)知識與數(shù)學(xué)建模有機(jī)結(jié)合起來。

三、結(jié)論

綜上所述，通過柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，研究了勞動力與資本在企業(yè)生產(chǎn)中的貢獻(xiàn)率，并且對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行合理配比，達(dá)到經(jīng)濟(jì)效益最大化生產(chǎn)目標(biāo)。同時，構(gòu)建了資金最優(yōu)使用模型，研究企業(yè)資金利用情況，提出針對性意見，加強(qiáng)流動資金管理。針對目前金融經(jīng)濟(jì)活動中存在的風(fēng)險管理問題，構(gòu)建了投資風(fēng)險組合優(yōu)化模型，對市場交易風(fēng)險進(jìn)行分析和識別，同時提出有效預(yù)防措施，注重維護(hù)投資者收益最大化。文章也構(gòu)建了拍賣投標(biāo)相關(guān)的線性規(guī)劃模型，對投標(biāo)經(jīng)濟(jì)活動中相關(guān)問題進(jìn)行明確，提出合理化建議，發(fā)揮數(shù)學(xué)理論模型對實(shí)踐活動的重要指導(dǎo)價值，為培養(yǎng)優(yōu)秀金融人才奠定基礎(chǔ)。

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作者單位：成都師范學(xué)院