把握學科本質 積淀數(shù)學素養(yǎng)

陳鳳偉

【摘?要】進行“數(shù)的認識”教學，一以貫之的核心概念是位值、十進位值制，培養(yǎng)的關鍵能力是數(shù)感、符號意識。“千的認識”一課，圍繞“1000究竟什么樣”展開了對“千”的數(shù)學化的認識。從1000豐富的現(xiàn)實原型再現(xiàn)，到去掉具體的量抽象出數(shù)，認識千的單位、位值，千以內數(shù)的復合表示和關系，再返回生活中發(fā)現(xiàn)、確認數(shù)學化的1000。學生經歷了從感性具體到理性具體，從認識數(shù)量、數(shù)量之間的關系，到理解抽象出的數(shù)、數(shù)之間的關系，返回現(xiàn)實加以運用，這是一個完整的數(shù)的認識過程。數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展需要這樣的過程積淀。

【關鍵詞】數(shù)的認識 符號意識 位值 數(shù)感

小學階段學生對數(shù)的認識經歷兩次重要的突破。第一次是從感性具體到理性具體，也就是從具體的情境、數(shù)量中抽象出數(shù)，用符號進行表示，在認識數(shù)量之間關系的基礎上，理解抽象出來的數(shù)之間的關系，其核心是十進位值制。第二次是從理性具體到理性抽象，也就是用字母表示數(shù)，這是在數(shù)的抽象性基礎上進行概括性的認識，是代數(shù)思維的起始。

“千的認識”一課正好具有承上啟下的重要作用。它是大數(shù)理性具體認識的開始，教材中出現(xiàn)了十進位制的數(shù)位順序表，是對數(shù)的抽象、數(shù)位、十進位值制的理解與升華，為后續(xù)學生學習數(shù)的再認識和數(shù)域的擴展奠定基礎。

基于此，教師可以在教學中沿著“十進位值制”本質概念的認知進程，引導學生從再現(xiàn)1000豐富的現(xiàn)實原型，到去掉量的具體情境抽象出數(shù)，認識千的單位、位值、千以內數(shù)的復合表示和關系，再返回生活中發(fā)現(xiàn)、確認數(shù)學化的1000，并加以運用。

一、認識“1000”的影子

上課了，教師先點明本節(jié)課學習的重點：“這節(jié)課我們繼續(xù)認識數(shù)，認識1000。”然后問學生是否認識1000，學生們異口同聲地回答：“認識！”

接著，教師讓學生說說他們認識的1000是什么樣的，學生們有點懵，有的說1000克，有的說1000斤。

教師追問：“1000克是什么？”

學生遲疑了一下，補充說：“2袋鹽吧？”

“那1000斤呢？”

“就是好多好多東西唄！”

教師問：“1000大不大？”

學生肯定地回答：“大！”

“那2袋鹽多不多？”

學生猶豫了。

這時，教師說：“1000究竟什么樣，我們還需要認識嗎？”

學生們紛紛點頭。

教師說：“那我們就一起來看看1000究竟什么樣，和你先前認識的1000有什么不同。”

有效的教學建立在對學生認知發(fā)展水平和已有知識經驗充分了解的基礎之上。從上述對話可以看出，學生脫口而出的“千”是聞其名勝于知其義。學生在“百”的認知基礎上，對“千”有模糊的經驗，直覺感知“千”是一個挺大的數(shù)。也有學生知道“千與百”的十進關系。學生對“千”的數(shù)學化認知，需要從模糊經驗轉為清晰的數(shù)學化理解，需要從帶有情境的量轉為抽象數(shù)的關系的理解，需要建立十進位值制的概念。

二、經歷“數(shù)”源于數(shù)的活動

怎樣開始認識數(shù)呢？學生有元認知，“數(shù)”從數(shù)開始。

教師拿出一把小棒，問：“有多少？”

學生很自然地脫口而出：“10！”

“眼見才能為實，一起數(shù)一數(shù)。”隨著教師手中小棒一根根地亮相，學生順暢地數(shù)起來，到第9根的時候，“10”的讀音已經從學生口中呼之欲出，眼見沒有第10根，學生急剎車般停了下來。

這時，教師亮出第10根小棒，問：“是不是還想再添1根？”

學生迅速回應：“是！”

教師接著問：“給9添1就是10，這個過程你能表示出來嗎？”

接著，教師借助計數(shù)器讓學生演示“給9添1”“滿十進一”的動態(tài)過程，并刻意把9顆珠再添1顆，個位上滿了要向“十位進一”的撥珠動作分解開，讓學生經歷清晰地數(shù)數(shù)、進位、位置、位值的過程。

再數(shù)，改變單位，十個十個數(shù)到90，再添一個10會怎樣？

帶領學生重溫“滿十進一”。

繼續(xù)數(shù)，教師提出：“能‘一百一百地數(shù)嗎？在百位上數(shù)到最大的數(shù)。”

學生在計數(shù)器上撥出了900。

接下來怎么數(shù)呢？

教師把9、90、900合在一起，在計數(shù)器上表示出999，問：“此時添上1是多少？”

學生幾乎是搶著說：“1000！”

教師：“怎么做的？把過程在計數(shù)器上表示出來，看看你撥出的1000什么樣。”

學生在計數(shù)器上做了三次“滿十進一”后出現(xiàn)了“1000”。

學生真的會數(shù)數(shù)嗎？“歌謠式”的數(shù)數(shù)學生上學之前就會，但是數(shù)學課上要經歷數(shù)學化的數(shù)數(shù)，這是建立數(shù)概念的基礎。四次數(shù)數(shù)的核心是“一一對應”的數(shù)學思想、位置原則、十進制的關系。學生在看似簡單、實則形象的計數(shù)器操作活動中，建立起十進位值制的直觀模型。“滿十進一”的關系、數(shù)位概念，“以一當千”的位值概念、符號化意識，都在學生手指撥動的小珠子中跳躍呈現(xiàn)。

三、1000究竟什么樣

當計數(shù)器上出現(xiàn)了千位上的1顆珠子，出現(xiàn)了符號化的“1000”，學生就接受這個“1000”了嗎？不是的。史寧中教授在《基本概念與運算法則》中表明，建立數(shù)概念，要從現(xiàn)實中抽象出數(shù)，將數(shù)與現(xiàn)實建立聯(lián)系，再在背景中運用數(shù)，感受數(shù)量的大小。

“1000究竟什么樣？想看看嗎？”教師問。

“當然想！”

學生帶著上課前對千的感知經驗，又經歷了計數(shù)器上數(shù)出1000的過程，“1000究竟什么樣？”他們真的想把之前的、當下的，還有想知道的聯(lián)系起來。

接下來，教師給學生呈現(xiàn)了什么樣的“1000”呢？1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元、1000個小方塊組成的大正方體。

這些有具體背景數(shù)量的“1000”，帶給學生的感覺和所起的作用不盡相同。

小棒是學生最熟悉、最常用的數(shù)數(shù)、計數(shù)、計算學具，所以教師有意地呈現(xiàn)出1根、10根、100根，10個100根組成了1000根。

1000人的效果是怎樣的呢？操場上1000名同學的場景和1000根小棒帶給學生的視覺沖擊完全不同，和他們先前對“千很大、很多”的經驗直覺是吻合的。

1000字呢？由20個字的古詩疊加呈現(xiàn)，在學生有興趣的誦讀中，又刺激了一下他們寫小作文的切身體驗，100字一篇要寫10篇，200字一篇呢？5篇。1000字是多還是不多呢？肯定摻雜了復雜的情感。這可能有利于學生學會在具體的場景下用數(shù)進行表達和交流吧！

以100張紙為標準，讓學生帶著視覺記憶觀察500張紙、1000張紙。這是單位的一種形象化，是在培養(yǎng)學生數(shù)學的眼光，在建立標準的意識。

“1000元和1000張紙交換一下可以嗎？”教師幽默地詢問。

學生趕忙說：“不換！”“不劃算！”“1000元可以買很多這樣的紙！”

教師再次發(fā)問：“1000根小棒、1000人、1000字、1000張紙、1000元都不一樣，但是有什么是相同的？”

“數(shù)相同！”學生齊聲回應。

數(shù)的抽象教學水到渠成。

人類發(fā)明“十進位”經歷了漫長的抽象過程，學生不可能在時間有限的課堂上完全經歷數(shù)的抽象過程，教師必須借助一些具體的、生動的情景，讓學生切實地、全方位地感悟，不僅要讓學生感悟數(shù)是對數(shù)量的抽象，還應當讓學生感悟抽象出來的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的。同樣是1000，1000字和1000人是不同的，而1000元和1000張紙也是“不能換”的。但是這些不一樣的背后，卻有著本質的相同，這就是數(shù)。

數(shù)量還不能作為數(shù)學研究的對象，數(shù)學研究的對象應當是比數(shù)量更為一般的，這就是數(shù)量的關系，即多與少。由數(shù)量關系再抽象出拋開情境的數(shù)，數(shù)的關系是對數(shù)量關系的抽象，抽象的結果就是自然數(shù)。

正如皮亞杰所說：數(shù)（自然數(shù)）不是某個東西的名稱，它是事物與事物之間的相互關系，表明的是一個物體在一個序列中的位置，以及這一組物體中包含了多少個物體，這種關系不是直接用語言來教的，而是兒童通過感知、操作活動在動作中體驗、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的。

四、建立模型中培養(yǎng)數(shù)感

完整的數(shù)的認識需要兩個過程，由數(shù)量→數(shù)（抽象），由數(shù)→數(shù)量（數(shù)感）。這是因為數(shù)學研究的是一般的規(guī)律性，從數(shù)量到數(shù)之后，再反過來把一般性的規(guī)律性結果應用到具體的事物中。

接下來出場的是蒂娜絲方塊、點子圖、數(shù)尺。教師借助這些抽象的數(shù)學化模型，繼續(xù)深化學生對1000以內數(shù)的認識，培養(yǎng)學生的數(shù)感。

教師：“搭一個這樣的大立方體需要多少個小立方塊兒？”

問題一提出，學生就想到：“可能是1000吧？”

教師：“怎么知道是不是1000呢？”

數(shù)一數(shù)。

正在學生定睛數(shù)的時候，大立方體打散啦！（圖1）

“現(xiàn)在怎么數(shù)呢？”教師問。

“按標準數(shù)！”學生建議。

于是教師擺出以10個為標準的動態(tài)圖。還是看不清！學生建議“一百一百地擺”。

看，先前的經驗，在這里得到運用了。

看到1000個小方塊搭成了大正方體后，計數(shù)器上的1000再次出現(xiàn)（圖2），教師問：“1000個小方塊，在計數(shù)器上就用這一顆珠子表示，你們服氣嗎？”學生們說：“服氣！”到這還沒有結束，教師繼續(xù)在計數(shù)器上拔出1111，并問道：“同樣的珠子，其他三顆能表示1000嗎？”學生回答：“不能，因為只有在千位上才能代表1000。”教師附和道：“哦，位置很重要！”

至此，學生形成了1000的符號化意識，明確了位值、數(shù)位間的十進關系。

當密集的點子圖出現(xiàn)時，學生立刻建議圈圈按標準數(shù)。

數(shù)尺的出現(xiàn)，教師做了一個小鋪墊：“個、十、百、千是計數(shù)的標準，把這些標準用一把尺子呈現(xiàn)可以嗎？”（圖3）

在這把神奇的尺子上，不僅可以找到個、十、百、千，還可找到1000以內的任意數(shù)。數(shù)的關系由眼前的尺子，投入學生的頭腦中，形成對數(shù)的感覺。

教師給學生布置作業(yè)，到生活中看看哪里可以找到和1000很接近的數(shù)，電視臺的電視塔有多高，天安門廣場有多寬，故宮里究竟有多少間房子，1000粒大米做飯夠吃嗎，等等。

帶著對1000的感覺，對數(shù)有分析的意識、判斷的能力，用數(shù)學的眼光看，用數(shù)學的頭腦思考，用數(shù)學的語言表達與交流。這就是落在學生身上的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

數(shù)學學科的本質不僅包括數(shù)的概念的建立和理解，還包括思想方法的把握，以及數(shù)學學科特有的學科思維、學科品格。所以，教師要把基于數(shù)學本質的教學作為發(fā)展與培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的著力點。

有什么樣的思維就有什么樣的行為，發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng)，教師要具有發(fā)展性的思維，然后有先提升自己學科素養(yǎng)、專業(yè)素養(yǎng)的意識，將以學科育全人的理念落實到教學的行為中。有什么樣的行為就有什么樣的狀態(tài)，教師有什么樣的狀態(tài)就會帶給學生什么樣的感受，學生有什么樣的感受就有什么樣的未來。

（作者系北京市朝陽區(qū)實驗小學潤澤分校校長、正高級教師、特級教師）

責任編輯：胡玉敏

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