基于多目標粒子群算法工業機器人最優軌跡規劃

何建成，李林升，林國湘

（1.南華大學 機械工程學院，衡陽 421001；2.上海電機學院 電氣學院，上海 201306）

0 引言

軌跡規劃（trajectory planning）屬于機器人運動控制類研究領域。隨著自動化程度的進一步發展，追求更佳高效、穩定、智能的機械化設備是當前發展的趨勢，對運行軌跡進行優化可以使機械臂更佳高效的按照預期運行。在考慮各種工況的前提下，添加相應的工況約束，如：工作空間、速度、加速度、加加速度等，使其達到預期的工作效果，至始自終都是設計者所追求的。

針對不同的機器，依據不同的設計初衷有不同的設計目標，后期的優化改進也是朝著這一初衷方向進行。對運行軌跡進行優化常用評判指標通常有三項[1]：時間最優（效率）、能耗最優（節能）、沖擊最優（壽命）。

優化目標對象通常可分為單目標、組合目標、多目標[2]。

單目標優化常有：關于時間最優軌跡優化，適當的提升機械臂運行的速度，減少運行時間，從而提高運行效率；關于能量最優軌跡優化，旨在減少機械部件的應力，降低能耗，適用于能耗高的工況條件；關于沖擊最優軌跡優化，以減少沖擊的產生為目標，從而達到運行的跟蹤精度提升，保護機械結構，使其平穩運行，延長機器的使用壽命。單目標優化中，對于時間最優軌跡優化的研究開展最早，屬于熱門研究對象。付榮等[3]用分段多項式插值的方法，采用3-5-3多項式插值運行軌跡，得到關節軌跡方程，后基于粒子群優化算法（PSO）進行時間最優的軌跡優化，該實驗驗證了該種算法相較于傳統的3-5-5多項式插值在運行時間及平穩性上更優。

組合目標優化，是考慮實際的需要，同時考慮兩種或兩種以上的性能最優性，得到綜合優化的機器人運行軌跡。常常用權重系數法處理組合目標優化問題，該種方法一般對各優化目標函數添加相應的權重系數，將多目標問題轉化成單目標問題進行優化處理，而權重系數大小的分配，體現出個別目標在綜合優化目標中的程度，與此同時也要考慮到各優化目標函數的數量級或量綱不同的問題，致使權重系數很難合理的給予各優化目標函數，同時求解出來的解有可能不是全局最優解，陷入局部最優解[4]。對于組合目標優化，其中關于時間-能量最優軌跡的研究開展的最早，時間代表效率，能量代表成本，一直以來都是我們所期望控制的，有相關學者徐海黎[5]等采用三次多項式擬合軌跡，使用加權系數法定義代價函數，研究出了基于時間與能量綜合的軌跡方法。時間-沖擊最優軌跡也是一種常見的組合目標軌跡規劃優化方向，陸佳皓等[6]采用5次非均勻B樣條函數插值，利用NSGA-II算法進行優化，在提高了運行效率的同時，使運行過程中產生較小的沖擊。

多目標優化，對多個目標同時進行優化，得到相應的Pareto解集，在依據實際選擇出最優解。國外Saravanan等[7]，采用三次樣條曲線擬合運行軌跡，利用NSGA-Ⅱ和微分進化算法進行優化時添加相應的機器人運動學的約束，對時間、能量、加加速度等多目標進行綜合優化。王會方等[8]采用七次B樣條曲線擬合運行軌跡，采用改進非支配排序遺傳優化算法進行多目標的優化，得到了優化的Pareto解集。

本文采用五次多項式插值函數對關節空間機械臂進行軌跡規劃，將多目標粒子群優化算法與其結合，利用多目標粒子群（MOPSO）簡單易算，參數可調等特點，實現多目標的優化。以六自由度的PUMA560型機器人進行試驗仿真，證明該種軌跡規劃方法可以實現在考慮運動學約束的條件下，獲得Pareto最優解集，后利用多項式擬合方法，得到相應的PUMA560機器人運行軌跡圖。

1 軌跡規劃

1.1 基于五次多項式關節軌跡構造

在已知機器人運行的任務空間軌跡的前提下，將任務空間軌跡離散化，通過逆運動學求解出各關節變量與時間的關系。用五次多項式去擬合各關節變量關鍵點，從而得到機器人的關節運動軌跡。

五次多項式構造機械臂運行軌跡的數學通式為：

i=1，2，3，…，n表示關節代號，未知系數ain為第i個關節插值函數的第n個系數。

1.2 求解多項式插值軌跡

關節i的五次多項式插值函數及其對應的初始位姿q0、末端位置qf、初始速度v0、初始末端速度vf、初始加速度α0、末端加速度αf、初始加加速度j0、末端加加速度jf表示為：

將指定的初始與末了條件：q0、v0、α0、qf、vf、αf、代入式(2)得系數矩陣為：

將求解出的系數a0～a5的值代入式(2)，從而可以求出五次插值軌跡方程。

1.3 軌跡優化的目標函數建立與運動學約束的確立

依據實際工程中工況條件，要求串聯型機械臂具有效率高、能耗少、運行平穩的特點，為了達到時間、能耗、軌跡脈動綜合最優，同時考慮運動學中的位置、速度、加速度、加加速度等約束條件，定義如下的優化目標函數以及約束條件：

Sub.to.

式中：S1為表示運行總時間，是效率指標。S2為表示運行能量消耗，是能耗指標。S3為表示運行過程中加加速度值，是脈動沖擊指標；Qjmax、Vjmax、Ajmax、Jjmax為表示關節位移、速度、加速度、加加速度最大值。

2 多目標優化問題及PSO優化算法原理

2.1 多目標問題描述

在實際工程問題中往往要考慮多種約束條件下使多目標同時達到綜合最優，可將多個優化對象以及約束條件分別表述成相應的數值函數，進行優化處理。在很多工程實際問題中，可以將多目標優化問題表示成以下通式：

其中：fl（x）為優化目標函數，gj（x）≤0為不等式約束條件，hj（x）=0為等式約束條件。

2.2 MOPSO優化算法

粒子群算法（PSO）屬于群體智能優化算法中的一種，這種算法以其實現容易、精度高、控制參數少、收斂快等優點，在解決實際問題中展示出其優越性[9]。MOPSO算法是基于PSO算法的基本原理，將只能用在單目標上的PSO算法用來求解多目標優化問題。

PSO算法的一般流程圖如圖1所示。

圖1 PSO算法的一般流程圖

具體為：先在可行解空間中初始化一群粒子，每個粒子都代表極值優化問題的一個潛在的最優解。用位置，速度，適應度值三項指標表示該粒子的特征。

粒子在解空間中的運動：

通過跟蹤個體極值Pbest和群體極值Gbest更新個體位置。

個體極值Pbest指個體所經歷位置中計算得到的適應度值最優位置。

群體極值Gbest指種群中所有粒子搜索到的適應度值最優位置。

粒子每更新一次位置：

就計算一次適應度值。

通過比較新粒子的適應度值和個體極值，群體極值的適應度值更新個體極值Pbest和群體極值Gbest位置。

每次迭代過程：

粒子通過個體極值和群體極值更新自身的位置和速度。

位置與速度更新公式：

速度：

位置：

其中：

ω為速度更新權重（慣性權重）；

C1、C2為學習因子；R1、R2為（0，1）上的隨機數。

PSO算法對于全局搜索與局部搜索最優解的關鍵在于慣性權重系數ω的選擇。一個較大的慣性權值有利于全局搜索，而一個較小的慣性權值有利于局部搜索，為了兼顧全局與局部搜索能力，本文采用線性遞減慣性權重，讓權重值從大到小線性遞減。計算公式如下所示：

其中：wstart為初始慣性權重，wend為迭代至最大次數時的慣性權重，k為當前迭代次數，Tmax為最大迭代代數。

利用MOPSO算法實現機械臂軌跡規劃多目標優化的主要流程為：1）初始化種群（種群大小、速度限定、位置限定、迭代次數等）；2）計算粒子適應度函數；3）粒子最優更新；4）非劣解集更新；5）粒子速度與位置更新；6）判斷是否達到最大迭代次數，若達到，則輸出支配解集，否則，轉到2）。

3 仿真驗證

使用MATLAB 機器人工具箱對試教機械臂PUMA560建立仿真模型，從而進行算法的驗證分析，得到滿足實際約束條件下的多目標優化結果。

3.1 仿真模型建立

依據Craig法建立PUMA560型機器人連桿坐標系，如圖2所示。對應的PUMA560型機器人的D-H參數如表1所示。

圖2 PUMA560型機器人的連桿坐標系

表1 PUMA560型機器人的D-H參數表

表1中，αi表示繞X軸扭轉角；ai表示連桿長度；θi表示繞Z軸扭轉角；di表示Z軸偏置距離。

在MATLAB仿真軟件中，利用D-H參數結合機器人仿真工具箱創建PUMA560型機器人模型如圖3所示。

圖3 PUMA560型機器人仿真模型圖

3.2 仿真參數與約束設定

以PUMA560型機器人為仿真對象，各關節位置序列，如表2所示。得到仿真運動軌跡圖如圖4所示。運動學約束條件如表3所示，各關節采用五次多項式插值的方法構建運行軌跡，依據實際，設置初始與末了速度：v0=vf=0和加速度：α0=αf=0。

MOPSO算法初始參數設置為：

初始化種群數：m=100；

最大迭代次數：Tmax=50；

學習因子：C1、C2=1.4995；

隨機數：R1、R2=0～1；

ω慣性權重：采用線性遞減慣性權重，由0.9線性遞減至0.4；

外部檔案存儲數量：50。

表2 各關節位置序列

圖4 PUMA560型機器人仿真運動軌跡圖

表3 運動學約束

3.3 仿真結果

通過MOPSO算法，得到關節二運行時間、能量消耗和軌跡脈動綜合優化的Pareto前沿面（最優解集），如圖5所示。由圖可知，脈動沖擊與能量消耗成正相關關系，共同制約著時間最優性能。

圖5 PUMA560型機器人關節2軌跡優化的Pareto最優解

對于關節二在原始設定由qz運行到qr過程中，尋求時間、能量消耗、軌跡脈動綜合最優軌跡，可以得到數量充足，分布廣且均勻的Pareto前沿。依據實際，兼顧能耗與沖擊，取點A為最終迭代結果可以得到：S1=1.1485s、S2=1.5816rad/s2、S3=5.667rad/s3，相較于優化前的結果，可以實現在時間上優化提升40%左右，能量消耗上優化提升9%，減少脈動沖擊方面提升3%左右。由五次多項式插值軌跡曲線方程，求解出關節二優化前后位移q，速度v，加速度α，加加速度j如圖6所示。

圖6 關節二位移、速度、加速度、加加速度曲線

可以看出基于五次多項式曲線插值軌跡，可得高階連續、平滑且啟停速度、加速度均可指定為0的運動軌跡；利用MOPSO優化算法可以在滿足運動學約束條件下，實現多目標的優化。

4 結語

利用5次多項式插值構造機械手的運動軌跡，保證了各個關節的速度，加速度和脈動的連續性且平滑性；相對單目標優化問題，多目標優化問題（MO）顯著的特點是使優化的各個目標，同時達到綜合的最優值（得到有效解，即Pareto最優解），在依據實際要求可以選取出所需要的值；MOPSO優化算法在機器人軌跡中，有一定的適應性，可以實現多目標優化；本文在研究中未考慮各關節的協同作用及相應的慣性力的作用，有待進一步的研究。