鐵路運輸復雜網絡的拓撲特征與動力學研究綜述

胡宸瀚，馬 亮，王 健

（1. 中國鐵道科學研究院集團有限公司 電子計算技術研究所，北京 100081；2. 西南交通大學 信息科學與技術學院，成都 610031；3. 中國鐵道科學研究院集團有限公司 通信信號研究所，北京 100081）

鐵路具有運量大、全天候、快速、節能等優勢，是國家重要的基礎設施和民生工程。經過六次大提速和高速鐵路的不斷建設，我國鐵路已形成以“八縱八橫”高鐵線路為骨架的鐵路網絡。但與經濟社會發展需求和國外先進水平相比，我國鐵路網仍需不斷加強和發展，特別是鐵路網密度和人均鐵路里程2 項指標與發達國家相比仍有不小的差距[1]。除了不斷擴建鐵路基礎設施外，提高鐵路運能經濟、高效的手段是優化鐵路網絡結構和運輸組織。特別是在實貨制和隨到隨運的鐵路貨運新需求下，運輸部門需要對貨流進行更準確的預測，以便制定更優化的運輸方案和計劃。

鐵路網絡是乘客和貨物的載體，多種物質和信息在網絡節點之間有序流動，網絡的結構和功能容易受到外部環境的影響，造成堵塞、故障和安全問題。鐵路網絡覆蓋面積廣、運輸組織方式多樣、服務對象多變、路網演化與外部環境緊密聯系，是典型的復雜網絡。需要借助復雜網絡分析方法和技術，從不同角度認識鐵路運輸網絡的結構特征、演化機理等，為解決鐵路網規劃、運輸組織優化等提供理論依據。

復雜網絡研究始于1736 年數學家歐拉對哥尼斯堡七橋環游問題[2]的研究，隨著研究的不斷深入，許多實際網絡的“小世界性”[3]和“無標度性”[4]等拓撲統計性質被發現。這些性質介于規則與隨機之間，具有這些性質的網絡稱為“復雜網絡”[5]。運用復雜網絡理論，可以計算網絡模型的統計性質（指標），分析統計特性的產生機理，預測網絡的動力學行為等。在鐵路運輸領域，目前針對復雜網絡的研究主要集中在基本拓撲性質、脆弱性或者抗毀性、動力學分析和結構優化等方面。本文對這些研究進行總結，并展望今后的研究重點。

1 鐵路運輸復雜網絡模型

鐵路運輸依據服務對象主要劃分為旅客運輸和貨物運輸2 種類型，鐵路運輸復雜網絡對應地劃分為客運網絡和貨運網絡，此外，還有公鐵和空鐵聯運方式下的復合網絡。

1.1 鐵路客運復雜網絡模型

文獻[6]指出：鐵路運輸網絡一般在P、R、L空間中定義，如圖1 所示。

圖1 P、R、L 空間中定義的鐵路運輸網絡示意圖

（1）在P 空間（Space P）中：節點定義為車站，如果至少有一個車次停靠兩個車站，則這兩個車站之間連接一條邊。

（2）在R 空間（Space R）中：節點定義為車次，如果兩個車次停靠至少同一個車站，則這兩個車次之間連接一條邊。

（3）在L 空間（Space L）中：節點仍舊定義為車站，如果兩個車站在至少一個車次運行中作為相鄰的兩個站點，則這兩個車站之間連接一條邊。

在國外研究中，文獻[7]在P 空間建立印度鐵路運輸網絡，文獻[8]對P、R、L 空間的中歐鐵路網和瑞士鐵路網進行研究。國內關于鐵路客運復雜網絡模型的研究，主要包括地理網、車流網、運輸網、換乘網、服務網等，這些網絡模型的定義和出處見表1。

除上述鐵路運輸網絡模型之外，為完整刻畫鐵路運輸系統各組成要素之間的相互作用，有研究提出多層客運網絡模型。文獻[9]在車流網的基礎上，以車站和列車作為網絡的節點，將車站與列車、車站與車站之間的相互作用作為網絡的邊，節點之間相互作用的大小作為邊的權重，將鐵路旅客運輸系統抽象成加權鐵路客運二分網絡。文獻[10]以區域城際鐵路客運需求作為上層網絡、列流網絡作為下層網絡，構建局域尺度的雙層網絡演化模型。文獻[11]以線路和車站為節點，線路節點與其所經過的車站之間直接相連，車站節點的權重為單位時間內通過的列車數，線路節點的權重為其所包含車站的權重之和，構建鐵路換乘賦權二分網絡。

表1 鐵路客運復雜網絡模型的定義及出處

1.2 鐵路貨運復雜網絡模型

文獻[20]提出鐵路貨物運輸服務網絡的概念，突破了貨運物理網絡線路屬性單一、拓撲結構簡單等限制；服務網絡中的節點包括車站作業點（站場）和作業時間點，分別描述服務網絡的空間和時間屬性；根據節點類型的不同，服務網絡中弧段劃分為運輸服務弧段、車站作業弧段和等待弧段3 類，分別表示鐵路貨運車次信息、車站的技術作業狀況、節點等待運輸作業的時間消耗等；一系列連續的服務弧段構成一條服務路徑，用以描述運輸作業全過程。

文獻[21]和文獻[22]建立貨運車流網絡，是一種業務邏輯網。文獻[21]以貨運列車經過的車站為節點，有向邊表示列車編組去向，建立鐵路貨運車流網絡，節點由編組站、主要截流點、一般技術站和大型裝卸作業地點構成，邊由遠程直達、技術直達、區段和直通去向構成。文獻[22]將鐵路技術站作為節點，以技術站間的車流交互作為邊，即對同一車次進行技術作業的相鄰站間存在連線，構建鐵路貨運車流網絡。

鐵路貨運復雜網絡模型的定義和出處見表2。

表2 鐵路貨運復雜網絡模型的定義及出處

1.3 多制式聯運復合復雜網絡模型

單一的鐵路、公路、航空、水路運輸已經不能緩解交通基礎設施緊張，難以滿足人們出行的多樣性、快捷性需求，由此產生空鐵、公鐵、水鐵等聯運方式。

文獻[16]在鐵路客運車流網和P 空間的航空網絡的基礎上，在同一個城市火車站和機場之間增加連邊，構建鐵路—航空多層網絡。文獻[11]在P 空間定義高鐵車流網和航空網，在同屬于一個城市的高鐵車站和機場之間增加連邊，構建高鐵—航空復合網絡。文獻[23]構建2 種鐵路快捷貨運服務網絡；即鐵路快捷運輸網和鐵路快捷服務網絡，2 種快捷網絡分別從運輸條件和鐵路能夠提供的運輸服務兩個方面入手，是為改善貨物運輸網絡的時效性、便捷性和安全性提供的一種研究方法：若在駁接樞紐內公路和鐵路之間可以換裝，或者存在線路銜接，則公路和鐵路快捷服務網之間存在邊，即可構建公鐵綜合快捷貨運服務網絡。

2 鐵路運輸復雜網絡的拓撲特征分析

鐵路運輸復雜網絡拓撲特性分析的主要手段是：通過對平均距離、效率、度分布、聚集系數、介數、富人集團系數等統計參數的計算，對比分析小世界特性、無標度特性、集團度、脆弱性、抗毀性和異質性等特性。

2.1 鐵路復雜網絡的基本統計參數

確定網絡中是否具備某種性質，涉及距離、度與度分布、聚集系數、介數、富人集團系數等參數的計算[24]。

（1）平均距離與效率

在不同的鐵路運輸復雜網絡中，節點間的距離可以表示鐵路站點之間鐵路線路的里程、換乘次數等。網絡中任意兩節點之間的平均距離(N(N?1)/2)[24]，其中，N為網絡節點總數，di j指從任意節點i到另一節點j最短路徑上所有邊的總和。

效率表示鐵路平均交通的容易程度，定義為兩個節點之間距離倒數之和的平均值(N(N?1)/2)。

（2）度與度分布

鐵路運輸網絡中節點的度數可以表示站點的物理重要性和轉乘地位等。令ai j表示網絡鄰接矩陣的矩陣元，節點i的度定義為其鄰邊數，記為li=

從概率統計的角度看，度分布P(l)定義為節點度為l的節點在網絡所有節點中所占的比例，一般服從離散常數、泊松、冪律等分布。

（3）聚集系數

聚集系數可以描述鐵路運輸網絡中站點之間的聚集程度、聯系的緊密程度，記為Ci=Si/(ki(ki?1)/2)，其中，Si表示節點i的 鄰接子圖Gi的實際邊數，ki為Gi的節點數，則Gi最多有ki(ki?1)/2條邊。

（4）介數

介數可以反映節點或者邊在鐵路運輸網絡中的影響力與地位，對于發現和保護鐵路關鍵站點和線路具有重要意義，按照其表述對象分為節點介數和邊介數。節點（邊）的介數是一個網絡中所有的最短路徑經過該節點（邊）的數量與所有最短路徑數量的比值，即網絡中所有最短路徑中經過該節點（邊）的數量比例。節點i的 介數njk是連接節點j和k的最短路徑的數量，njk(i)是 連 接節點j和k并且經過節點i最短路的數量。

（5）富人集團系數

富人集團系數可以刻畫鐵路運輸網絡中重要節點之間的緊密聯系程度，網絡的k富人集團系數表示度大于k的節點集合中互相鄰接的節點比例，用?(k)表示：

其中，R(k)={v∈N(G)|kv＞k}表 示度大于k的節點集合， |R(k)|表 示k富人集團集合的數目，表示這種集合中互相鄰接的節點數目的2 倍。

2.2 小世界與無標度特性

小世界特性[24]是指無論網絡規模有多大，網絡中任意兩個節點間都可以找到一條相對較短的路徑。具有小世界特性的網絡模型稱為WS 小世界網絡模型，小世界網絡模型的平均距離與節點總數N的關系大致符合ER 隨機網模型，但就平均集群系數特性而言，它又與節點總數N無關，類似于規則網模型。小世界特性在統計參數上的表現為具有相對較小的平均距離和相對較大的平均聚集系數。無標度特性[25]表明節點與其鄰接節點之間相互作用的異質性，體現了網絡增長和偏好依附的“馬太效應”，即只有極少數節點具有較大的度，成為中心節點，大部分節點度值很小。具體表現為節點的度分布服從冪率特性，這與規則網的度分布是 δ函數、隨機網的度分布是泊松不同。無標度特性在統計參數上的表現為度分布滿足冪律函數。

文獻[9]、文獻[19]及文獻[23]研究發現：地理網絡較為稀疏，且較多起止車站處于鐵路網的邊緣；因此，地理網是樹狀網絡，平均聚集系數近似為零，平均網絡距離較大，不具有小世界特性。但是文獻[14]通過擬合雙對數坐標系下的度分布曲線得到近似直線，度分布近似符合冪律分布，同時求得全國鐵路網聚類系數為0.130 5，平均距離為9.305，因而推斷2020 年的全國鐵路規劃網具有無標度和小世界特性。

文獻[9]、文獻[19]及文獻[26]研究發現鐵路車流網具有較小的平均距離和較大的聚集系數，即乘客或者貨物平均只需要較少的換乘即可從源點到達目的地，且幾個重要的車站與相鄰車站之間聯系比較緊密，因而具有小世界特性。文獻[9]計算認為鐵路車流網的度分布符合冪律函數，因而具有無標度增長特性。文獻[11]計算得到與文獻[9]的研究結果不同，認為車流網的度分布更符合指數分布特性，表明車流網度分布呈現出弱階化結構和度值跨度大的特性。

文獻[12]經計算推導出乘客在中國鐵路網平均需要經過12.49 個車站，才可到達目的地；而且平均聚集系數很小，大部分站點的聚集系數為0，可以看出任意3 個節點間直接連接的較少，因此運輸網不具備小世界特性。文獻[28]經統計計算，得到從任意一個站點出發到任意一個其他站點平均需要3.27次轉站，具有明顯的小世界網絡的特征；度分布符合冪律函數，說明鐵路運輸網絡一定程度上具有無標度特性。

文獻[12]計算得到換乘網的平均最短路段數為2.15，表明乘客平均乘坐2.15 趟列車到達目的地點，而且換乘網中聚集系數為1 的節點占比為2/3 以上，因而具有小世界特性。文獻[18]針對加權換乘網絡計算得到：從任意一個站點出發平均轉乘2 次即可到達任一目標站點，網絡的聚集系數為1，總體趨勢上節點的度與聚集系數呈現出負相關的特性；度分布符合冪律分布，具有小世界和無標度特性。

文獻[11]和文獻[16]經計算發現：復合鐵路運輸網絡與其子網絡都具有無標度特性和小世界特性；無標度特性表明，復合鐵路運輸網絡與其子網絡的規模擴大，會導致強者越強、弱者越弱；而小世界特性表明，在復合鐵路運輸網絡與其子網絡中，從一個城市到達另一個城市總能找到一條最短路徑，且僅需較少的中轉次數。

2.3 集團特性

集團[24]是指部分節點相較于其它節點更加緊密相連組成的子圖。即集團內部節點構成完全子圖，集團內部節點與外部節點連接較為稀疏，一個m-集團定義為一個包含m個節點的完全子圖。依據集團內部節點之間以及集團內部與外部節點之間連接的緊密程度或者數量，還可存在派系、叢、群等結構。文獻[13]對鐵路網絡中各車站之間形成的小組團結構進行分析，測算城市之間更容易形成聯合體的空間發展格局，通過計算推導出京津冀城際鐵路網絡存在6-集團度。文獻[26]經加權貨運車流網的富人集團系數計算后發現：編組站進行編組作業時，要考慮車流對相鄰編組站的作業關聯性，以及車流量大小的問題，在車流網中是“富人”；富人集團現象表明，編組站之間的聯系十分緊密，體現了編組站在鐵路網中的核心地位，這一點與實際情況相符。

2.4 脆弱性、抗毀性與魯棒性

脆弱性[24]指鐵路網絡中不同節點或者邊受蓄意攻擊、發生隨機故障后，能夠引起網絡連通性或效率等性能下降的程度。基于效率的脆弱性定義為：Vi=(E?Ei)/E，其中，E為網絡原始效率，Ei為網絡失效之后的網絡效率。抗毀性[27]與脆弱性相反，是指破壞一個網絡的困難程度。由于度分布的異質性，導致面對不同的失效模式，表現出不同的抗毀性。面對隨機故障，即使多數節點失效、崩潰，整個網絡仍然可以保持連通性。但是，當網絡中幾個重要節點或者邊同時遭受蓄意攻擊時，網絡就變得十分脆弱。因此，如何搜尋和保護鐵路網絡中比較脆弱的節點和邊是非常重要的實際問題。

文獻[15]、文獻[16]、文獻[26]及文獻[28]通過模擬網絡節點或者邊在遭到隨機故障和蓄意攻擊前后，平均路徑長度、最大連通子圖大小、網絡效率、相對熵、結構熵等屬性的相對變化，分析高速鐵路網絡、空鐵復合網絡、地理網絡、鐵路換乘網絡等網絡的脆弱性、抗毀性和魯棒性；結果表明：由于鐵路網具有小世界特性，即節點的連接具有“馬太效應”，我國鐵路網在選擇性攻擊時抗毀性差和比較脆弱，而在隨機故障時，其魯棒性和抗毀性較強；空鐵復合網絡比單層鐵路網的魯棒性較好。

文獻[17]針對上述文獻中沒有考慮網絡的級聯失效對網絡抗毀性的影響，以遭受級聯失效前后網絡中最大連通片的剩余節點數與原網絡的節點總數之比作為抗毀性測度；通過計算比較，得到鐵路網的換乘網抗毀性達到最強且成本值最小時，級聯失效模型的構建方法。

文獻[14]通過建立基于流行病的SIR（易感人群（S）、染病人群（I）和免疫人群（R））傳播理論的晚點傳播模型，模擬分析晚點對鐵路網造成的影響，對于運力緊張的線路，如果晚點就會導致大面積的列車晚點，但對于運力充足的線路，少量列車的晚點，不會造成大面積列車晚點，由此可得到晚點傳播模型的無標度特性動力過程，并通過實例分析證明：我國鐵路網具有無標度特性，對隨機攻擊具有很好的魯棒性和較強的容錯能力，而對蓄意破壞則比較脆弱。

3 鐵路運輸復雜網絡的動力學分析

拓撲特征分析是從統計學角度研究鐵路運輸復雜網絡的宏觀表現，關注基本單元之間的位置關系、單元之間的某種聯系等。這種描述是“靜態”和“平面”的，缺少對相互作用的豐富特性隨時間演化機理的研究，更缺乏描述和刻畫這些相互作用特征與規律、可預測系統行為的手段[5]。物理動力學方法旨在從微觀角度，極力尋求節點之間相互作用對網絡的演化、傳播、運動、傳輸等隨時間動態變化規律。

文獻[18]和文獻[26]使用動力學和熱力學的方法，研究交通流量的分布與網絡結構的關系，并通過調節網絡結構，模擬交通流量在網絡中的分布，對有限的鐵路資源實行按需分配。文獻[18]結合我國鐵路網的具體特征，通過隨機行走模型模擬表明：在鐵路交通網絡中站點的流量與其對應的點權成正比，而與站點的度成非線性關系，但未考慮乘客個體狀態的復雜變化。文獻[26]提出用玻色-愛因斯坦統計模型來模擬鐵路客運網絡中的客流分布，結果表明：無論初態如何，各車站的客流分布最終會趨于平衡，各車站的平衡客流量與其點權正相關，但未考慮每個車站最大的乘客數限制。

動力學傳播理論最初用于流行病的傳播、病毒在計算機網絡中的傳播等。復雜網絡動力學傳播理論是分析由于網絡中局部故障蔓延之后，對整個網絡狀態影響的一種便利方法，可在網絡遭受故障、災難、失效、攻擊時，對其未來狀態進行預測和預報。交通網絡傳播動力學研究主要集中在道路交通中的級聯失效、用戶均衡配流、道路擁塞傳播等問題，已取得較為豐碩的成果，但在鐵路運輸領域僅有較少的文獻，且主要集中于分析列車晚點傳播機制。

文獻[14]和文獻[22]運用復雜網絡的傳播動力學理論，分析鐵路網中列車晚點的傳播擴散情況，基于SIR 理論，建立全國鐵路列車晚點傳播網絡模型，分析列車晚點的傳播機制，并討論通過制定相應的應急預案來干預晚點的傳播，以防止發生大面積晚點的情況；通過模擬計算表明：發生晚點的車站越重要或者數目越多，造成列車晚點的時間越短，越容易引起鐵路網的大面積晚點；同時，鐵路網對于晚點傳播有一定的控制能力。

4 基于復雜網絡的鐵路運輸網規劃與運輸組織優化

國內針對鐵路運輸復雜網絡理論的具體應用研究，主要是解決鐵路運輸網規劃、運輸組織優化2類問題。

在鐵路運輸網規劃方面：文獻[12]從鐵路基礎設施、停靠站點及換乘3 個角度構建物理網、運輸網和換乘網3 種網絡模型，運用統計方法分析這3 種網絡遭受不同攻擊時的網絡彈性，為鐵路運輸規劃提供參考。文獻[16]構建鐵路—航空多層網絡和鐵路網絡、航空網絡等3 種網絡，從理論上證明鐵路—航空多層網絡的魯棒性比鐵路層、航空層網絡的魯棒性強，為我國運輸規劃中多式聯運提供有價值的參考。文獻[13]探討城市群城際鐵路車站空間布局規劃的優化策略，并以京津冀城市群為例，提出城際鐵路車站的整體、車站的局部和車站3 個層次的城市群的規劃優化措施。文獻[15]建立鐵路地理網整體優化模型和局部優化模型，提出鐵路運輸網絡優化方案，使其具有更強的容錯性。文獻[19]通過分析鐵路客運網絡的可靠性和抗毀能力，提出在高速鐵路客運網絡設計中，除了考慮高速鐵路關鍵車站選址規劃，也要考慮非關鍵車站所選位置的抗風險能力，以降低自然災害對關鍵車站的隨機性影響。文獻[11]從無標度網絡特性和小世界網絡特性進行分析，提出多式聯運設計應考慮盡量減少復合網絡的換乘次數，以提高復合網絡的有效性，為協調高鐵子網絡與航空子網絡之間的良性競爭與合作提供了理論依據。

在鐵路運輸組織方面：文獻[18] 基于我國鐵路網絡的具體特征，分析我國鐵路交通網絡的客流問題，指出在客流平衡時，各車站的客流量與對應車站權重存在正相關，可為鐵路客運運輸組織提供參考依據。文獻[14]模擬分析因突發事故導致晚點對鐵路網造成的影響，為鐵路網應急處置以及在突發事件下的鐵路運輸組織提供參考。文獻[19]通過分析高速鐵路地理網的連通可靠性，發現關鍵車站一旦遭受攻擊，高速鐵路網的整體連通性會迅速受到顯著影響，為保證高速鐵路正常運營，應對關鍵車站加強防護。文獻[20] 認為目前服務網絡設計模型的研究是基于相對固定的企業中期貨物運量水平條件下的運輸資源配置，未能反映實際運量的波動和變化，而這種波動是影響貨物運輸服務的可靠性水平和資源配置有效性的重要因素，服務網絡的設計應考慮多目標的綜合優化，才能為貨物運輸組織優化提供具有實用價值的參考。

5 結束語

復雜網絡是描述和分析鐵路運輸網絡結構、拓撲特征和動力學演化行為的有力工具，國內外也有眾多學者對鐵路運輸復雜網絡開展研究，相關研究成果頗為豐碩。在廣泛查閱和研讀現有研究成果的基礎上，從鐵路運輸復雜網絡的模型構建、拓撲特征分析、動力學分析3 個方面對這些研究工作進行全面地分析和總結；同時，對鐵路運輸復雜網絡理論及方法在鐵路運輸規劃和運輸組織分析與優化2個主要應用方向的研究工作進行梳理和概括。

近年來，受全路貨源結構變化影響，貨源向區域集中的態勢較為明顯，貨運需求不均衡問題更加突出。雖然中國國家鐵路集團有限公司對鐵路網運力資源協調配置進行籌劃部署，優化了客貨列車開行結構，釋放普鐵繁忙干線，為貨運擴能創造更大空間，但是通道瓶頸依然存在，且有逐漸加劇的趨勢，制約了運力的進一步提升。為此，圍繞鐵路運輸網及運輸組織不斷優化的任務，有必要繼續深入推進基礎理論與方法的研究。展望我國鐵路運輸復雜網絡研究工作，提出如下考慮與建議：

（1）與鐵路客運相比，現有文獻對鐵路貨運復雜網絡模型的構建方法研究相對較少。隨著鐵路貨運改革的推進，鐵路貨物運輸在我國物流運輸領域中的地位越來越重要，有必要結合鐵路貨運基礎設施現狀、發展和運輸組織的特點，在現有研究成果基礎上，從不同層面建立典型的鐵路貨運邏輯業務復雜網絡，并針對每一種鐵路貨運復雜網絡模型，統一定義其相關要素和數據選擇標準，以反映鐵路地理網絡對鐵路貨運服務水平的影響；在形成共識和統一標準的基礎上，不斷持續推進研究的深度，提升研究成果的實用性，使相關理論研究更好地服務于鐵路貨運網絡規劃和貨運組織優化。

（2）現有文獻較多地從宏觀角度統計分析鐵路網的拓撲特征，分析的前提條件較為嚴苛和理想化，如假設某一個車站或一條線路功能全部失效，但實際中出現這類情況的概率比較小，應該重點考慮車站或者線路通過能力和作業效率下降的程度或者概率，從概率統計方面研究脆弱性、可靠性、抗毀性和容錯性等問題。

（3）現有文獻較少從微觀角度分析鐵路網的動力學特性，包括：流量預測、級聯失效、晚點傳播等。可考慮依據以往車流歷史數據，統計分析車流與點權、車流與邊權的相關性；依據鐵路車流組織特點，建立系統熱力學模型，通過對歷史數據統計分析，探索外界環境與系統之間的關系，挖掘出外界客源或者貨源與系統各節點之間的關系，以及外界客源與貨源與系統之間的交換作用關系，實現對未來一段時刻鐵路網中車流分布進行預測，并根據車流變化情況，編制各鐵路局集團公司的日班計劃，組織運輸生產。