熱-力-粘彈耦合多孔FGVM梁的動力學特性

周鳳璽，蒲 育,2

(1.蘭州理工大學土木工程學院，蘭州730050；2.蘭州工業學院土木工程學院，蘭州730050)

功能梯度材料(FGM)梁因其可設計性、具有良好的熱-機力學性能而被廣泛應用于許多工程領域，如FGM 制備而成的梁式智能一體化傳感器具有高靈敏度感知、適應環境強等優點、FGM 梁式人造骨骼等器官，具有極好的生物相容性和良好的柔韌性、FGM支撐構件用于核反應堆第一壁結構可以有效地克服高溫環境中的熱應力集中等問題。分析FGM 梁服役于特定工況時的靜動態力學特性關乎結構的安全與設計、功能與優化，因而一直備受學者們關注和重視，目前已取得了豐碩的研究成果。

例如，基于Euler 梁理論(CBT)，Pradhan 等[1]采用微分求積法(DQM)數值研究了雙參數Winkler-Pasternak 變彈性地基FGM 夾層梁的熱彈性自由振動問題。趙鳳群和王忠民[2]應用小波微分求積法(WDQ)數值研究了熱載荷和切向隨從力共同作用下FGM 梁的振動特性及穩定性。Mahi等[3]考慮了材料物性隨溫度變化的相關性，推導得出了材料物性關于幾何中面對稱FGM 梁自由振動響應的精確解。文獻[4]采用Reddy 三階剪切梁理論(TBT)，應用Ritz 法分析了均勻升溫FGM 梁的熱振動及熱屈曲問題。同樣采用TBT，Trinh 等[5]應用狀態空間法(SSM)數值研究了熱載荷和初始軸向力共同作用下多因素對FGM 梁振動及屈曲特性的影響。文獻[6-9]均考慮了幾何非線性因素，先后采用不同的數值分析方法研究了FGM梁的熱后屈曲以及非線性振動問題。張靖華等[10]則應用辛方法分析了FGM 梁受熱沖擊時的動力屈曲特性。最近，蒲育和周鳳璽[11]采用n階廣義梁理論(GBT)并提出一種改進型廣義微分求積法(MGDQ)數值研究了3種典型邊界FGM梁的熱-力耦合振動特性和穩定性。文獻[12- 14]則僅針對簡支邊界梁采用Navier 法求解其靜動態輸出響應，Ebrahimi 等[12]分析了多孔FGM梁的熱-力耦合振動特性。文獻[13- 14]在兩類位移場描述法下基于GBT，探討了多因素對濕-熱-力耦合作用下FGM 梁振動特性和穩定性的影響。Zahedinejad[15]則分析了彈性地基FGM 梁在熱環境中的自由振動特性。最近，蒲育等[16]基于二元耦聯性解耦并應用MGDQ法數值研究了多孔FGM梁的熱-力耦合振動和屈曲特性。文獻[17- 18]基于CBT 并采用復數解法分析了FGM微梁的熱彈性阻尼問題。綜上所述，目前針對多孔功能梯度粘彈性材料(FGVM)梁的力學行為，尤其是動力學特性的研究鮮有文獻報道。

本文從能量耗散角度出發，采用Kelvin-Voigt模型描述多孔功能梯度材料的粘彈性，提出三參數Winkler-Pasternak 粘彈性地基上多孔FGVM 梁模型，采用GBT 并應用Hamilton 原理建立熱-力-粘彈耦合作用下FGVM梁的動力學控制方程，應用廣義Navier 法求解該復雜耦合系統的有阻尼自由振動響應。通過算例，著重分析了梁理論、邊界條件、熱-力耦合效應、地基粘性外阻尼系數、地基彈性剛度、材料結構的內阻尼、孔隙率、梯度指標、跨厚比、振型階次等諸多參數對多孔FGVM梁有阻尼自由振動頻率特性的影響。

1 動力學控制微分方程

1.1 多孔FGVM梁模型及材料屬性描述

如圖1所示為Winkler-Pasternak 三參數粘彈性地基上內含均勻孔隙的功能梯度粘彈性材料(FGVM)梁，其幾何尺寸長、寬、高分別為L×b×h，xoy為幾何中面，梁的上表面為純陶瓷材料，下表面為純金屬材料。假設梁兩端受初始準靜態軸向機械力為N(壓力為正)，橫向動載荷為q，粘彈性Winkler 地基剛度為kw，Pasternak 地基剪切剛度為kp，粘性外阻尼系數為cd，溫度T沿梁厚度方向穩態分布，材料的物性依賴于溫度變化且沿梁厚呈梯度連續分布。采用Kelvin-Voigt 模型表征功能梯度材料的粘彈性，設材料結構的內阻尼系數為cs，應用含孔隙率 γ修正后的Voigt 混合冪律模型，各物性參數(彈性模量E，泊松比ν，熱膨脹系數 α，熱傳導率κ，密度 ρ)與坐標z及溫度T可采用統一式表示為[13]：

圖1 三參數粘彈性地基上多孔FGVM 梁Fig.1 porous FGVM beam resting on three-parameterviscoelastic foundation

金屬與陶瓷這兩種材料的某一物性參數X隨溫度T的變化可統一表述為[13]：式中：Pi(i=-1,0,1,2,3)為隨溫度變化的材料系數。表1給出了金屬(SUS 304)和陶瓷(Al2O3)這兩種材料相應的溫度相關系數[13]。

基于一維穩態熱(傳導方程：)

將式(3)與邊界條件式(4)聯立求解，溫度分布T(z)可由熱傳導微分方程邊值問題的定解給出[13]：

表1 金屬(SUS 304)和陶瓷(Al2O3)兩種材料隨溫度變化的物性系數[13]Table 1 Temperature-dependent coefficients for metal (SUS 304)and ceramic(Al2O3)

1.2 FGVM 梁的動力學方程

將式(6)～式(11)代入式(12)進行變分和積分運算化簡后可得熱-力-粘彈耦合多孔FGVM梁的動力學控制方程：

顯然，動力學式(13)中存在熱-力-黏彈載荷的耦合，彈性系數與慣性系數項中存在拉/壓-剪切-彎曲變形的耦合。此外，式(13)中令動載荷q=0時，橫向動載荷作用下結構的強迫振動方程則退化為有阻尼自由振動控制方程，下文將著重分析熱-力-粘彈耦合作用下多孔FGVM 梁的自由振動問題。

1.3 多孔FGVM梁的有阻尼自由振動控制方程

考慮梁結構的自由振動，位移分量可設為：

令動載荷q=0時，將式(14)代入式(13)化簡后可得熱-力-粘彈耦合多孔FGVM 梁的有阻尼自由振動控制微分方程：

2 廣義Navier 解析法

考慮以下3種典型梁邊界：

(ⅰ)兩端固支(C-C)

顯然，控制方程式(15)與邊界條件式(16)～式(18)聯立后便描述了不同典型邊界多孔FGVM梁在熱-力-粘彈耦合作用下的自由振動問題。

2004 年，Elishakoff[19]，Reddy[20]在他們的著作中提出一種非平凡解析解用于典型邊界復合材料梁板結構的靜動態響應求解，該方法類似于Navier 法求解簡支邊界梁板結構的靜動態響應，其實質仍是位移級數法求解，但它擴大了典型邊界下獲得梁板結構靜動態響應解析解的使用范圍，因此稱其為廣義Navier 法。

應用廣義Navier 法[19-20]，梁軸線上任意一點的位移分量可由級數表示為：

顯然，求解式(24)可獲得熱-力-粘彈耦合多孔FGVM梁的有阻尼自由振動響應。

不失一般性，各參數采用如下的無量綱化形式：

式中：Cd為無量綱粘性外阻尼系數；Cs為材料結構的無量綱內阻尼系數；Np為無量綱軸向機械力； Ω為無阻尼自振的無量綱頻率；ωˉ為無量綱特征復頻率， ΩR和 ΩI分別為ωˉ的實部和虛部； ζ為阻尼比；λ為梁的跨厚比；I為慣性矩。

根據以上所采用的無量綱頻率定義式(25)，不難看出：無量綱特征復頻率的實部 ΩR為負數，它反映了阻尼對位移輸出響應衰減特性的影響。當0 ＜ζ ＜1時，復頻率的虛部 ΩI表示欠阻尼自振頻率；ζ =1則為臨界阻尼；ζ ＞1則為過阻尼的情況。

3 算例與討論

3.1 n階GBT對FGVM梁欠阻尼振動特性的影響

本小節主要探討GBT 階數n對多孔FGVM 梁欠阻尼自由振動特性的影響。顯然，GBT 可退化為常見的3種梁理論：取n=1，GBT 退化為Euler梁理論(CBT)；取n=3，退化為Reddy 三階剪切梁理論(TBT)；取n=∞，則退化為Timoshenko一階剪切梁理論(FSBT)。

圖2 多孔FGVM 固支梁的無量綱基頻及阻尼比隨GBT階數n的變化關系曲線Fig.2 The dimensionless fundamental frequency and damping ratio of C-Cporous FGVM beam versusorder n for GBT

圖2(a)～圖2(c)分別給出了多孔FGVM固支短梁在熱-粘彈耦合作用下其欠阻尼振動的無量綱特征基頻虛部ΩI、實部ΩR及阻尼比 ζ隨GBT 階數n變化的關系曲線，其中取參數：p=1,λ=5,ΔT=200 K,γ=0.1,Kw=50,Kp=5,Cd=10,Cs=0.01。計算結果表明：n=1時，ΩI=15.944 13，ΩR=-3.589 03，ζ=0.219 60；n=2 時，ΩI=15.996 91，ΩR=-4.433 52，ζ=0.267 08；n=3 時，ΩI=15.422 80，ΩR=-4.352 11，ζ=0.271 58。由圖2(a)來看：ΩI隨正整數n的增大其變化波動較小且逐漸趨于穩定，直至趨于FSBT的預測值，且無需引入剪切修正系數。取n=2預測的ΩI值為最大，取n=3預測的ΩI值為最小，其極差為0.574 11。此外，CBT 相比于其它剪切梁理論(除n=2外)，CBT 預測的ΩI值偏高，與TBT 相比，其相對誤差達3.38%。由圖2(b)～圖2(c)來看：除n=1以外，階數n對ΩR和 ζ預測值的變化波動極小，相差無幾，但CBT明顯高估了ΩR，低估了 ζ值；CBT與TBT相比，其預測的ΩR和ζ值的相對誤差分別可達17.53%和19.14%，其不容小覷。

綜上所述，注意到算例中λ=5為短梁，CBT與TBT 及FSBT 相比，由于CBT忽略了剪切變形的作用影響，進而高估了短梁結構的剛度，因而CBT 高估了FGVM 短梁欠阻尼振動的頻率ΩI值，即低估了衰減振動的周期；明顯高估了ΩR值，進而明顯高估了衰減振動的振幅；明顯低估了阻尼比ζ值，進而明顯高估了欠阻尼自振基頻ΩI值。

3.2 其它因素對多孔FGVM 梁動力學特性的影響

本節均采用TBT，著重探討熱-力-粘彈耦合作用下多因素對多孔FGVM梁動力學特性的影響。

圖3(a)～ 圖3(c)分別反映了3種邊界下多孔FGVM梁在熱-粘彈耦合作用下其無量綱特征基頻虛部ΩI、實部ΩR及阻尼比 ζ隨無量綱外阻尼系數Cd變化的關系曲線，其中參數p=1,λ=20,ΔT=200 K,γ=0.1,Kw=25,Kp=5,Cs=0.01。由圖3(a)可見：在欠阻尼狀態，C-C、C-S和S-S這3種邊界對應的各ΩI曲線值均隨Cd的增大而單調減小，直至當Cd=Ccr達到各自臨界阻尼狀態時ΩI剛好為0，之后隨著Cd的繼續增加，FGVM 梁將進入過阻尼，此時ΩI保持不變恒為0，梁將不發生振動而變為純衰減的運動，直至停止運動。此外，取相同的Cd值，邊界約束越強，FGVM梁欠阻尼自振的頻率越大，進而衰減振動的周期越小；達到各自臨界阻尼狀態時，C-C梁對應的Ccr=46.20為最大，S-S梁對應的Ccr=28.24為最小，C-S梁對應的Ccr=35.82則介于其間。

由圖3(b)可見：當Cd＜Ccr在欠阻尼范圍，3種邊界梁的ΩR值均隨Cd的增加而呈線性減小；同時注意到ΩR為一負值，這表明FGVM梁的欠阻尼振動為振幅減小的衰減運動；取相同的Cd值，S-S邊界對應的ΩR值略微偏高，直線部分比較密集，這表明邊界條件對振幅響應的影響較小。當Cd=Ccr達到各自的臨界阻尼時，此時ΩI剛好為0，特征頻率方程有2個相等的負實數根，即3種邊界FGVM梁對應的臨界阻尼Ccr為各自欠阻尼ΩR-Cd直線部分和相應過阻尼ΩR-Cd曲線部分交點的橫坐標值。當Cd＞Ccr在過阻尼范圍內，ΩI≡0，特征頻率方程有2個不相等的負實數根，此時振動特性消失而變為純衰減運動，ΩRCd為開口向右的關系曲線，且C-C邊界開口較小、S-S邊界開口較大，同時注意到3種邊界對應的ΩR-Cd曲線明顯疏離，這表明過阻尼時梁邊界對位移輸出響應影響十分顯著。

圖3 無量綱基頻和阻尼比隨外阻尼系數的變化關系曲線Fig.3 Curves of dimensionlessfundamental frequency and damping ratio versus external damping coefficient

由圖3(c)來看：3種邊界FGVM 梁的阻尼比ζ隨外阻尼系數Cd的增加而單調增大；當Cd＜5，邊界條件對 ζ影響十分有限；當Cd＞10，取相同的Cd值，S-S邊界對應的 ζ值明顯偏高，C-C邊界對應的 ζ值反而明顯偏低，即簡支梁具有高阻尼比，固支梁具有低阻尼比，C-S 梁則介于其間。

考慮了熱-力-粘彈耦合作用，圖4(a)～圖4(c)分別刻畫了多孔FGVM 固支梁的無量綱基頻虛部ΩI、實部ΩR及阻尼比 ζ隨外阻尼系數Cd變化的關系曲線，其中取參數p=1,λ=20,γ=0.1,Kw=20,Kp=2,Cs=0.01。由圖4(a)來看：在欠阻尼范圍內，取相同的Cd值，升溫ΔT和初始軸向機械靜載荷Np值越大，ΩI值反而越小，即頻率ΩI隨著熱-力耦合效應的加劇而降低了；此外，當達到各自臨界阻尼狀態時，熱-力耦合值越大，其臨界阻尼Ccr值越小。這是由于升溫ΔT值越高，熱軸力就越大，且熱軸力和初始軸向機械載荷均為壓力，進而這兩類載荷增大均削弱了FGVM梁結構的整體剛度。

由圖4(b)來看：在Cd＜Ccr欠阻尼范圍，ΩRCd直線部分十分密集，幾乎重合，這表明熱-力耦合效應對ΩR影響極其有限，即熱-力耦合效應對FGVM梁欠阻尼振幅響應的影響幾乎可以忽略；在Cd＞Ccr過阻尼的初始階段，ΩR-Cd曲線部分明顯疏離，這表明熱-力耦合效應對純衰減位移輸出響應的影響十分顯著，但隨著Cd的持續增加(如Cd＞50)，ΩR-Cd曲線部分變的愈加密集，這表明熱-力耦合效應在該階段對位移響應的影響減弱，此時外阻尼對位移響應起主導影響因素。

由圖4(c)來看：阻尼比 ζ隨著Cd的增加而線性增大。當Cd＜ 5對于小阻尼， ζ-Cd關系曲線十分密集，表明熱-力耦合效應對阻尼比影響極其有限；隨著Cd的逐漸增大，取相同的Cd值，升溫ΔT和機械力Np越大， ζ也越大，即阻尼比 ζ隨著熱-力耦合效應的加劇而增大。

結合圖4(a)～圖4(c)整體來看：對某一特定取值的熱-力耦合載荷，3個子圖均得出了與之對應相同的臨界阻尼Ccr值。同時該算例也表明：對于小阻尼(如Cd＜5)，此時Cd對梁結構欠阻尼自振頻率的影響甚微，在一般計算中，雖說是結構的有阻尼振動，但可以忽略阻尼對自振頻率的影響，因而仍可使用無阻尼自振頻率，與此同時，阻尼對振幅的影響則不容小覷，由于振幅按指數變化而迅速衰減，不久之后振幅將趨于零，使振動停止。

圖4 熱-力耦合載荷和外阻尼系數共同對多孔FGVM 固支梁無量綱基頻和阻尼比的影響Fig.4 Effects of thermal-mechanical loads and external damping coefficient on dimensionless fundamental frequency and damping ratio of porous C-CFGVM beam

圖5(a)～圖5(b)分別反映了孔隙率和升溫共同對FGVM固支梁的無量綱基頻虛部ΩI和實部ΩR的影響關系曲線，其中取參數p=1,λ=20,Kw=50,Kp=5,Cd=10,Cs=0.01。由圖5(a)可見：ΩI隨著孔隙率γ 的增加而單調增大，即熱環境中FGVM梁欠阻尼衰減振動的周期隨著孔隙率的增加反而減小；取相同的γ 值，升溫ΔT值越大，ΩI值反而越小，進而衰減振動的周期隨ΔT的增加而增大。由圖5(b)可見：ΩR隨著孔隙率γ 的增加而單調減小，即振幅隨著孔隙率的增加而顯著衰減；由于5種升溫取值所對應的各ΩR-γ 關系曲線十分密集，這表明升溫ΔT對ΩR影響極小，即熱效應對振幅衰減的影響十分有限。

圖5 孔隙率和升溫共同對FGVM 固支梁無量綱基頻虛部和實部的影響Fig.5 Effects of porosity and temperature rise on imaginary part and real part of dimensionless fundamental frequency for C-CFGVM beam

圖6(a)～圖6(b)分別反映了材料梯度指標p和結構的內阻尼系數Cs共同對多孔FGVM固支-簡支(C-S)梁的無量綱基頻虛部ΩI和實部ΩR的影響關系曲線，其中取參數λ=20,ΔT=200 K,γ=0.1,Kw=100,Kp=10,Cd=10。由圖6(a)來看：基頻ΩI隨著p的增加而減小，在p=[0,2]范圍內由于陶瓷材料Al2O3的組分體積含量驟減，梁結構的整體剛度顯著降低，故而在此范圍內ΩI減小最為明顯，當p＞2以后，ΩI減小趨于緩慢；取相同的p值，FGVM梁結構的內阻尼系數Cs越大，ΩI反而越小，即ΩI隨著Cs的增加而減小，其欠阻尼衰減振動的周期則隨之而增大。由圖6(b)來看：ΩR隨著p的增加起先明顯增大，當p＞2以后，ΩR增加趨于緩慢，換言之，欠阻尼振動的振幅隨著金屬材料SUS 304組份的逐漸增加起先明顯增大，之后趨于緩慢；取相同的p值，Cs越大，ΩR值反而越小，進而欠阻尼振動的振幅隨Cs的增加而迅速衰減，直至振幅減小為零而停止振動。

圖6 材料梯度指標和內阻尼系數共同對多孔FGVM C-S梁無量綱基頻虛部和實部的影響Fig.6 Effects of material graded index and internal damping coefficient on imaginary part and real part of dimensionless fundamental frequency for C-SFGVM beam

圖7(a)～圖7(b)分別反映了跨厚比λ和內外阻尼系數共同對多孔FGVM固支梁的無量綱基頻虛部ΩI和實部ΩR的影響關系曲線，其中參數p=1,ΔT=300 K,γ=0.1,Kw=50,Kp=5。由圖7(a)可見：基頻虛部ΩI隨著跨厚比λ的增加起先明顯增大，之后隨之而逐漸減小，特別地，當λ=[5,10]在短梁范圍內，ΩI隨著跨厚比λ的增加顯著增大，進而衰減振動的周期隨之而減小；取相同的λ值，內外阻尼系數越大，ΩI越小，即衰減振動周期隨內外阻尼值的增加而增大。由圖7(b)可見：基頻實部ΩR隨著λ的增加起先略有減小，當λ＞10以后，增加跨厚比λ對ΩR影響甚微，幾乎無影響，換言之，FGVM長梁的跨厚比對欠阻尼振動振幅響應的影響可以忽略不計。

圖7 跨厚比和阻尼系數共同對多孔FGVM 固支梁無量綱基頻虛部和實部的影響Fig.7 Effectsof length-to-thicknessratio and damping coefficient on imaginary part and real part of dimensionless fundamental frequency for C-C FGVM beam

圖8(a)～圖8(b)分別刻畫了Winkler 地基彈性剛度Kw以及Pasternak 地基剪切剛度Kp與內外阻尼系數共同對多孔FGVM固支-簡支(C-S)梁的無量綱基頻虛部ΩI的影響關系曲線，其中取參數p=1,λ=20,ΔT=200 K,γ=0.1，算例圖8(a)中取Kp=5，圖8(b)中取Kw=50。由圖8(a)～圖8(b)這2個子圖總的來看：當內外阻尼不致于使FGVM梁越過臨界阻尼狀態時，欠阻尼自振基頻ΩI都隨Kw的增加而增大，ΩI也都隨Kp的增加而增大，進而衰減振動的周期隨地基彈性剛度的增加反而減小；特別地，當內外阻尼較大以致梁結構達到過阻尼而使ΩI≡0，如圖8(a)～圖8(b)中Cd=30，Cs=0.05所對應ΩI曲線的水平起始部分，但隨著地基剛度的逐漸增加，FGVM梁之后的運動狀態可由過阻尼轉化為臨界阻尼，直至達到欠阻尼。

圖9(a)～圖9(c)分別給出了C-C、C-S和S-S這3種邊界下多孔FGVM 梁的前三階無量綱頻率虛部ΩI隨內阻尼系數Cs變化的關系曲線，其中參數p=1,λ=20,γ=0.1,ΔT=200 K,Kw=50,Kp=5,Cd=10。總的來看：3種邊界FGVM 梁的2階和3階頻率ΩI均隨結構內阻尼系數Cs的增加而明顯單調減小，直至達到各自階次的臨界阻尼而使ΩI=0，隨后進入過阻尼而使得ΩI≡0，且振動階次越高，臨界阻尼值越小，進而梁更易達到過阻尼而使位移輸出響應迅速衰減。此外，邊界約束越強，同一高階次對應的臨界阻尼值反而越小。特別注意到，3種邊界FGVM 梁的基頻ΩI均隨著Cs的增加而略有減小。

圖8 地基彈性剛度和阻尼系數共同對多孔FGVM C-S梁無量綱基頻虛部的影響Fig.8 Effects of foundation elastic parameters and damping coefficient on imaginary part of dimensionless fundamental frequency for C-SFGVM beam

圖9 前三階無量綱頻率虛部ΩI 與內阻尼系數C s 關系曲線Fig.9 Curves of imaginary parts of the first three dimensionless frequency ΩI versus internal damping coefficient C s

綜上可知，結構內阻尼使得FGVM 梁高階次的振動頻率ΩI迅速減小，但對基頻Ω1的影響較小，且振動階次越高，梁結構更易達到過阻尼而使高階次位移輸出響應迅速衰減，換言之，高階次的位移輸出響應這時可忽略不計。

4 結論

采用n階GBT，應用Hamilton 原理建立了3參數粘彈性地基上多孔FGVM 梁的動力學模型，應用廣義Navier 法分析了熱-力-粘彈耦合多孔FGVM梁的自由振動特性。結果表明：

(1)與TBT 和FSBT相比，CBT 低估了欠阻尼自振的周期；明顯高估了衰減振動的振幅；明顯低估了阻尼比。

(2)隨著外阻尼的逐漸增大，FGVM梁經歷欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼，其特征頻率方程具有不同形式的復數根；C-C梁具有低阻尼比、高臨界阻尼，S-S梁具有高阻尼比、低臨界阻尼，C-S梁則介于其間。

(3)熱-力-粘彈耦合FGVM 梁的欠阻尼自振頻率隨外阻尼、內阻尼、升溫、熱-力耦合載荷、梯度指標的增加而減小；但隨孔隙率、粘彈性地基剛度的增加而增大；隨跨厚比起先明顯增大，之后單調減小。振幅隨外阻尼、內阻尼、孔隙率的增加明顯衰減；隨梯度指標的增加起先明顯增大，之后趨于緩慢；邊界條件、升溫、熱-力耦合載荷、跨厚比對振幅響應的影響則比較有限。

(4)對于小阻尼，在一般計算中，可以忽略阻尼對自振頻率的影響，與此同時，阻尼對振幅的影響則不容小覷，由于振幅按指數變化而迅速衰減，不久之后振幅將趨于零，使振動停止。

(5)當內外阻尼較大以致FGVM 梁結構進入過阻尼，這時可通過逐漸增加地基彈性剛度，可實現過阻尼到臨界阻尼，直至欠阻尼之間的轉化。

(6)振動階次越高，FGVM 梁結構更易達到過阻尼而使高階次位移輸出響應迅速衰減，即高階次的位移輸出響應這時可忽略不計。