基于響應面法的玻璃鉆孔支撐結構優化設計*

王欣欣，李中凱，劉等卓

(中國礦業大學機電工程學院，江蘇 徐州 221116)

0 引言

玻璃磨邊鉆孔一體化設備是目前小微玻璃加工企業廣泛使用的玻璃加工設備。鉆孔模塊作為磨邊鉆孔一體化設備的關鍵模塊之一，其鉆孔質量直接影響到產品的合格率。為了提高鉆孔質量，孫建章等[1]通過對金剛石環形鉆頭的倒角尺寸、形狀及外加載荷與鉆孔質量關系的研究，獲得了提高鉆孔質量的最佳倒角參數及外加載荷。魏海波等[2]通過研究鉆孔控制方式提高了鉆孔效率，改善了鉆孔質量。然而，鉆孔質量不僅受到鉆孔參數、控制方式等因素的影響，鉆孔支撐結構的變形也是影響鉆孔質量的重要因素。鉆孔支撐結構的變形會引起玻璃鉆孔處產生裂紋，嚴重影響產品的合格率。

利用響應面法進行結構優化設計是近年來結構優化領域研究的熱點，可以有效的減小傳統優化設計計算量大、耗費時間長的缺點。Lee J J等[3]采用響應面法優化了板料的結構參數和工藝參數，提高了板料成型的質量；張雷等[4]基于響應面法獲取了最佳柔輪設計參數。為了獲取精度更高和計算量更小的響應面模型，國內外學者采取了改善選點策略[5]、改進內插公式[6]、局部樣本點加密[7]、平移、縮放優化區域[8]等方法來改善響應面。然而，對于某一特定問題，采用何種響應面模型并沒有先驗知識。本文先后采用了兩個不同的響應面模型，并通過響應面合理性評估選擇了較優的一種，然后采用NSGA-Ⅱ獲取了鉆孔支撐結構最優設計尺寸，此方法對鉆孔支撐結構的改進有一定參考價值。

1 有限元模型的建立

1.1 鉆孔支撐結構三維模型的建立

玻璃磨邊鉆孔一體化設備可用于對不同尺寸的圓形玻璃進行磨邊和鉆孔加工，其結構示意圖如圖 1所示，分為滾道模塊、上片模塊、機械手模塊、磨邊模塊、鉆孔模塊、第三孔位鉆孔模塊、下片模塊和動力模塊等。首先，玻璃經滾道模塊運輸至上片模塊，其次由上片模塊傳遞給機械手模塊，機械手模塊先后將玻璃運送至磨邊模塊和鉆孔模塊進行磨邊和鉆孔操作，最后經下片模塊運輸至下一道工序。此設備可用于加工直徑在140～380 mm，孔距為32～120 mm的圓形玻璃。

圖1 玻璃磨邊鉆孔一體化設備

鉆孔模塊的結構示意圖如圖 2所示。鉆孔模塊由鉆孔支撐結構、機頭總成(直流無刷電機、步進電機、齒輪箱、鉆頭和機頭總成底座)、夾緊氣缸、動夾板和動夾板支撐結構組成。當玻璃經機械手運送到鉆孔模塊時，夾緊氣缸推動夾板將玻璃夾緊，一側步進電機帶動直流無刷電機先后進行快速進給、中速鉆孔、慢速倒角和快速回退；快速回退的同時另一側重復同樣動作，從而實現玻璃的兩側鉆孔。鉆孔支撐結構示意圖如圖 3所示，由夾板、橫梁、立柱和底板焊接而成，材料為Q235普通碳素結構鋼。

圖2 鉆孔模塊 圖3 鉆孔支撐結構

1.2 受力分析

鉆孔支撐結構主要受到玻璃對夾板的推力、步進電機對橫梁的推力、直流無刷電機鉆孔時產生的扭矩、機頭總成的重力和機架對底板的支撐力。

玻璃對夾板的推力來自于夾緊氣缸，如圖 2所示，夾緊氣缸推動動夾板將玻璃夾緊，夾緊氣缸產生的推力大小等同于玻璃對夾板的推力，氣缸為雙桿氣缸，缸徑為20 mm，由式(1)可求得夾板受力大小。由應力、應變公式知，在受力不變的條件下，夾板受力面積越小，應力、應變越大，由于后續優化對象為最大變形，且約束為最大等效應力，因此受力面積取可加工的最小直徑玻璃所對應的面積，如圖 4所示區域A為該推力的受力區域。

(1)

式中，c=2，為夾緊氣缸個數；k=2，為夾緊氣缸的推桿數量；P=0.5 MPa，為工作壓強；D=20 mm，為氣缸缸徑。計算得玻璃對夾板的推力為628 N。

步進電機對橫梁的推力，與步進電機輸出軸的轉矩和步進電機輸出絲杠的導程有關。由步進電機的矩頻曲線[9]可知，隨步進電機轉速的增加，轉矩逐漸減小，因此在對玻璃進行慢速倒角時支撐結構所受到的軸向力最大。由能量守恒定律可知，步進電機輸出絲桿旋轉一周所做的功與推動負載前進一個導程所作的功相同，即

T·2π=F·S

(2)

式中，T為實際工作時絲杠轉矩，略小于靜轉矩，與步進電機轉速有關；S為步進電機輸出絲桿的導程，結合經驗數值，求得鉆孔時的軸向力約為600 N。作用于橫梁槽與機頭總成底座的接觸面，即圖4所示B、C區域。

直流無刷電機產生的扭矩等效到鉆孔支撐結構后產生的作用較小，且不易計算受力點，此處忽略不計。

機頭總成的質量為3.5kg，即35 N，作用于橫梁上側，即圖4所示D、E區域。支撐力作用于底板，即圖4所示F、G區域。

圖4 鉆孔支撐結構受力圖

1.3 有限元仿真

首先，在SolidWorks中建立鉆孔支撐結構的參數化模型，將其導入至Workbench中；其次，進行材料參數設置；最后，在Model模塊依次進行接觸設置、網格劃分、載荷施加和模型求解步驟。求解得到鉆孔支撐結構的等效應力和變形如圖 5、 圖6所示，最大等效應力為52.655 MPa，最大變形為0.43 mm，并查得質量為9.112 8kg。

圖5 初始尺寸下鉆孔支撐結構的等效應力

圖6 初始尺寸下鉆孔支撐結構的變形

2 響應面模型的建立

在進行機械結構優化時，需要建立機械結構的特性與設計參數之間的關系表達式。然而，在很多實際工程問題中，建立這種對應關系需要大量的數值分析和計算，而且很難得到明確的顯式數學表達。改善這種情況的一個辦法就是使用響應面法建立響應面模型，又稱代理模型。

響應面法是一種采用試驗設計理論對指定的設計點集合進行試驗，得到目標函數和約束函數的響應面模型，來預測非試驗點的響應值的方法[10]。其思想類似于“黑箱”原理，只需要確定輸入與輸出的對應關系，無需了解系統內部結構。響應面法是一種將數學方法和統計方法相結合的穩健技術，在工程實踐中得到了廣泛的應用[11]。響應面模型的建立包含試驗點的選取、擬合函數的選擇和響應面合理性評估三個部分。

2.1 試驗點的選取

圖7 CCD組成示意圖

試驗點的選取作為響應面構建的第一步，對響應面的精度有很大影響。不合理的試驗點甚至導致構造不出響應面[12]。常見的試驗設計方法有Central Composite Design(簡稱CCD)、Optimal Space-Filling Design(簡稱OSF)、Box-Behnken Design(簡稱BBD)等，本試驗設計采用目前應用較為廣泛的CCD。CCD由1個中心點，2m軸向點，2m-ζ超立方體的頂點(析因點)組成。如圖7所示為設計變量為3時試驗點的組成圖，圖中大圓，五角星，小圓分別代表中心點、軸向點和析因點。

設計變量m與試驗點個數n的關系如表1所示。為了在滿足鉆孔支撐結構設計要求的前提下盡量擴大優化空間，選取了鉆孔支撐結構的7個尺寸作為設計變量，分別為夾板厚度(D1)，橫梁厚度(D2)，立柱厚度(D3)，底板厚度(D4)，夾板槽長(L1)，夾板槽寬(L2)，橫梁槽長(L3)。7個參數的尺寸變動范圍如表2所示。

表1 CCD設計變量與試驗點個數關系

表2 設計變量的尺寸變動范圍

由表1、表2可知，本試驗設計將在7個設計變量的尺寸變動范圍內選擇79個試驗點。在Geometry模塊選中7個設計變量作為待優化參數，然后進入Response Surface模塊中的Design of Experiment中選取設計變量的上下界，選擇試驗設計類型為CCD設計，點擊更新即可產生79個試驗點。

2.2 擬合函數的選擇及響應面合理性評估

目前，較為常用的響應面模型有標準響應面模型(全二階多項式)和Kriging模型。

標準響應面的函數表達式為：

(3)

式中，xi為設計變量，m為設計變量的個數，a0、ai、aii、aij為多項式的待定系數。

Kriging模型的函數表達式為：

(4)

式中，f(x)用于提供模擬全局近似；β為回歸函數待定系數；z(x)用于提供模擬局部偏差近似。

對于某些特定問題，其具體目標函數并沒有先驗知識，因此也無法判斷使用哪種響應面模型較為準確。如果處理的模型非線性程度較低，適合采用標準響應面模型，而對于高維和非線性程度較高的問題，則適合選用Kriging模型。在實際應用中可先取標準響應面進行擬合，經驗證后若效果不佳，再進行另一種擬合函數的選擇。

評估響應面合理性的常用指標有R2(決定系數)、RMSE(均方根誤差)和RMAE(相對最大絕對誤差)等：

(5)

(6)

(7)

為了更直觀的判斷響應面擬合的合理性，還可以在Response Surface模塊內查看計算值與預測值關系圖。預測值與計算值的關系曲線越接近于45°的直線，則證明預測的越準確；偏離45°直線較為明顯的區域即為誤差較大區域。此外，為進一步驗證響應面模型的準確性，需要加入驗證點進行驗證。

試驗點選取后在Response surface模塊中選擇標準響應面，建立7個設計變量與最大等效應力(σ)、最大變形(δ)和質量(m)關系的響應面。根據標準響應面擬合結果和實際計算值，可以得到如表 3所示標準響應面模型評估指標值。由于均方根誤差和相對最大絕對誤差指標值都較差，因此該模型不適合采用標準響應面模型進行擬合，需改用Kriging模型。

表3 標準響應面模型合理性評估

由于采用Kriging模型建立的響應面會通過所有試驗點，因此需要添加驗證點驗證響應面模型的準確性。添加驗證點后，根據Kriging模型擬合結果和實際計算值，得到Kriging模型合理性評估指標，如表4所示。

表4 Kriging模型合理性評估

由表4和圖8可知，Kriging模型局部誤差較大，依據圖 8所示預測值與計算值關系圖中驗證點與45°直線的偏離程度，可查得局部誤差較大區域，在局部誤差較大區域添加新的設計點，即可改善誤差較大區域的精度。經過兩次細化，添加驗證點后，驗證點處的最大等效應力、最大變形和質量的均方根誤差值分別為0.061 81、0.000 33、1.723E-08，相對最大絕對誤差分別為0.848 92%、1.214 9%和0，細分后的Kriging模型具有較高的精度。

圖8 Kriging模型預測值與計算值關系

3 鉆孔支撐結構優化

3.1 優化數學模型

鉆孔支撐結構優化的目的是提高鉆孔質量，同時節省材料，降低成本。本文所涉及的優化模型將鉆孔支撐結構的變形和質量的最小化作為優化目標，最大等效應力作為約束條件，建立的多目標優化模型如下所示：

s.t. σ<[σ]

3.2 優化過程及結果分析

采用非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)對鉆孔支撐結構進行優化，NSGA-Ⅱ于2002年由DEB K等[13]提出，被公認為最有效的多目標優化算法之一[12]。

基于Kriging模型建立的鉆孔支撐結構的響應面模型，在Response Surface Optimization模塊，設定目標為最大變形的最小值和質量的最小值，設定約束條件為最大等效應力小于235 MPa。初始種群為7000，每代產生1400個樣本，經20次迭代后獲得如圖9所示的Pareto解和3個候選解。由于候選解1的變形量和質量均小于另外兩個候選解，因此候選解1為較優解。

圖9 鉆孔支撐結構Pareto解

為了能獲得適合工程應用的最優結果，應將優化結果進行修正。此時需要靈敏度分析，使修正的結果更好的滿足優化目標，對于玻璃鉆孔支撐結構，其結構變形將導致玻璃裂紋，嚴重影響產品合格率，因此依據最大變形的靈敏度進行修正，各設計參數對最大變形的靈敏度如圖10所示。

圖10 各設計參數對最大變形的靈敏度

由靈敏度分析圖可知，最大變形與夾板厚度、橫梁厚度、立柱厚度、底板厚度和夾板槽長成反比，與橫梁槽長成正比，受夾板槽寬變化影響較小。按照與最大變形成正比的設計變量向下取整，與最大變形成反比的設計變量向上取整，對最大變形量影響較小的設計變量向減小質量的方向取整的原則，獲得了如表5所示的修正解，將該修正解對應的鉆孔支撐結構進行有限元分析，得到優化后的各目標值，填入表5，同時將原始尺寸和候選解1的各參數值填入表5。

表5 優化前后各參數對比

原始尺寸設計與優化后的尺寸設計相比可知，在滿足最大等效應力小于許用應力的前提下，最大變形減小了57.1%，質量減輕了30.4%，達到了提高鉆孔質量，降低成本的目的。

4 結論

(1)本文提出一種玻璃磨邊鉆孔機床的結構優化設計方法，在ANSYS Workbench軟件對鉆孔支撐結構進行分析的基礎上，采用響應面法建立設計變量與性能目標之間的數學模型，采用多目標進化算法NSGA-II求解并選優，獲得了優化的支撐結構質量和最大變形量的設計方案，證明了優化設計方法的有效性。

(2)通過設計試驗證明，Kriging響應面模型具有比標準響應面模型更高的擬合精度，適合于多設計變量和非線性設計問題的擬合；響應面模型生成后，需采用響應面合理性評估驗證模型的準確性。

(3)非支配排序遺傳算法NSGA-II可對多目標優化問題進行高效求解和選優，并通過設計變量的靈敏度分析完成設計參數的取證運算；設計試驗對比證明了所提出基于響應面法和NSGA-II的機床結構優化設計方法的正確性和高效性。