柔性機(jī)械臂非線性干擾觀測(cè)器的高階滑模控制

周 晟，李 解，高 琳，史欣怡

(武警士官學(xué)校基層后勤管理系，杭州 310000)

0 引言

目前，機(jī)器人技術(shù)不斷更新，為有效提高機(jī)器人工作效率，降低機(jī)器人工作時(shí)的能量損耗，將柔性連桿材料運(yùn)用于機(jī)械臂的研制中[1]。對(duì)比于傳統(tǒng)的剛性材料所制成的機(jī)器人，柔性材料及柔性結(jié)構(gòu)具有低能耗、高負(fù)載、高響應(yīng)、便于電機(jī)直接操作、等多項(xiàng)優(yōu)點(diǎn)。對(duì)系統(tǒng)所構(gòu)成的n個(gè)連桿所構(gòu)成的機(jī)械臂系統(tǒng)，在重復(fù)考慮其柔性因素的條件下，通過(guò)設(shè)定2n個(gè)廣義坐標(biāo)完成對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究，由此可知，柔性機(jī)械臂是一個(gè)剛?cè)狁詈蠗l件下的非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)階次變高對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)產(chǎn)生極大的挑戰(zhàn)。

在實(shí)際情況中，由于環(huán)境、資金、傳感器安裝等多種因素干擾，存在部分狀態(tài)量難以獲得，因此，為完成對(duì)柔性機(jī)械臂的操控任務(wù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂的精準(zhǔn)控制，將狀態(tài)觀測(cè)器引入系統(tǒng)[2]。文獻(xiàn)[3]將具有主從結(jié)構(gòu)的觀測(cè)器引入系統(tǒng)，提高系統(tǒng)的工作準(zhǔn)確性并且在一定情況具有控制器性能，完善整個(gè)系統(tǒng)的工作能力。文獻(xiàn)[4]運(yùn)用滑模控制方法降低柔性機(jī)械臂高非線性、高耦合和時(shí)變參量系統(tǒng)的控制難度，將滑模控制理論運(yùn)用到相應(yīng)控制模型中，提高整體控制的精準(zhǔn)度。

在過(guò)去多數(shù)滑模控制系統(tǒng)的構(gòu)造及觀測(cè)中，其研究都基于一個(gè)限制條件，即設(shè)定系統(tǒng)的所有狀態(tài)量為可觀測(cè)狀態(tài)，本文為提高控制精度降低對(duì)獲取觀測(cè)量的成本及傳感器數(shù)目，將非線性觀測(cè)器引入系統(tǒng)，考慮建模和測(cè)量的不確定性，負(fù)載變化及非線性摩擦阻尼干擾等多線影響，運(yùn)用高階滑模的控制方法，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)控，提高控的制整體準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性。

1 模型建立

應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法(一種廣義坐標(biāo)近似法，采用有限個(gè)假設(shè)模態(tài)振動(dòng)的線性和來(lái)近似描述彈性體振動(dòng))建立平面多連桿柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型[5]。如圖1所示。

圖1 柔性機(jī)械臂連桿示意圖

柔性臂桿i的彈性撓曲度表達(dá)式如下：

(1)

其中，yi(xi,t)代表連桿i的彈性擾曲度，φij(xi)代表連桿i的第j個(gè)模態(tài)函數(shù)，Δij(xi)代表連桿i的第j個(gè)模態(tài)的廣義彈性坐標(biāo)(i=1,2,…n，j=1,2,…m)。

(2)

Δi(t)=[δi1,δi2,δi3…δim]

(3)

考慮連桿邊界條件：

yi(0,t)=0yi′(0,t) = 0

(4)

平面多連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程表述構(gòu)建[6]：

(5)

(6)

式中阻尼矩陣中的元素：

(7)

將式(6)代入式(5)可得：

(8)

(9)

式中，d∈R2×1，設(shè)為參數(shù)不確定性及外部干擾數(shù)值綜合，

(10)

(11)

假設(shè)2：雙連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)所受外部干擾及一階導(dǎo)數(shù)有界。

(12)

正常數(shù)w，r分別為外部干擾和一階導(dǎo)數(shù)的上界。

將式(8)變形可得：

(13)

定義狀態(tài)變量如下：

(14)

得到平面多連桿柔性機(jī)械臂的狀態(tài)空間：

(15)

(16)

(17)

2 非線性狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

定義如下變量：

ζ1=Δ，ζ2=Δ

(18)

將公式(5)改寫為如下形式：

(19)

定義狀態(tài)變量xn如下：

(20)

式(20)中，狀態(tài)變量ζ1及ζ2為不可測(cè)參數(shù)，選取非線性觀測(cè)器進(jìn)行數(shù)值估計(jì)[7-8]。

引入非線性觀測(cè)器將柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程改寫為如下形式：

(21)

(22)

定義非線性觀測(cè)器觀測(cè)誤差ζe如下：

(23)

式(23)中：

式中，矩陣Aζ為Hurwtiz矩陣，矩陣Bζ的模非常小。

3 控制器設(shè)計(jì)

由相應(yīng)等式(5)可知，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)自身耦合度高、非線性強(qiáng)的多輸入多輸成系統(tǒng)。文中依據(jù)圖2所示，采用非線性干擾觀測(cè)器同時(shí)運(yùn)用高階滑膜控制，降低系統(tǒng)整體振動(dòng)情況，二者配合情況下降低干擾的影響，使得系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性[9-11]。

圖2 控制系統(tǒng)框圖

定義相應(yīng)滑模面如下：

σ=x1-x1d

(24)

對(duì)式(24)滑模面求解二階導(dǎo)數(shù)得：

(25)

為降低系統(tǒng)抖振提高機(jī)械臂運(yùn)行準(zhǔn)確性，對(duì)式(24)進(jìn)行二階求導(dǎo)得：

(26)

(27)

(28)

(29)

式中，w(t)∈R2×1，是待設(shè)計(jì)函數(shù)，其一般形式為：

(30)

(31)

式中，j=2,3，α4=1，α3=α，α為介于0～1之間待設(shè)計(jì)的參數(shù)。

在實(shí)際系統(tǒng)中，外部干擾不可避免，因此需要設(shè)計(jì)補(bǔ)償器對(duì)外界干擾進(jìn)行相應(yīng)補(bǔ)償，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。對(duì)式(28)設(shè)計(jì)如下積分滑模面：

(32)

wd(t)=-βs-γsign(s)

(33)

式中，β=diag(b,b)為正定對(duì)角矩陣，

(34)

控制器作用下，有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定。

求導(dǎo)得：

將式子代入得：

式中，?>0，可知所示系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)控制作用。

4 數(shù)值仿真

設(shè)定柔性機(jī)械臂連桿基本參數(shù)：

m1=1 kg,m1=1.2 kg,L1=0.2 m,L2=0.3 m,
E1I1=10 N·m·rad-1,E1I1=5 N·m·rad-1,
J1=0.25 kg·m2,J2=0.025 kg·m2

所設(shè)計(jì)控制器給定參數(shù)如下：

λ1=diag(5.5,5.5)，
λ2=diag(2.5,2.5)，α=0.7，k1=0.5，
k2=1.5，k3=2，β=diag(0.5,0.5)，

λ=diag(0.05,0.05)

設(shè)定系統(tǒng)初始信號(hào)：x=(θ10,θ20)

設(shè)定系統(tǒng)期望信號(hào)：y=(15sin5t,10cos5t)

根據(jù)上述基本參數(shù)可得：

圖3 假設(shè)模態(tài)信號(hào)

圖4 控制器輸出

由圖4可知，初始時(shí)刻0 s～6 s時(shí)間段內(nèi)，在干擾因素影響下，振動(dòng)幅度較大，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性不高。在初始時(shí)刻6 s之后，控制器輸出趨于平緩，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)趨于一致。采用非線性干擾觀測(cè)器同時(shí)運(yùn)用高階滑膜控制，有效的削弱系統(tǒng)抖振，并且對(duì)外部干擾存在一定抑制，利于高精度工業(yè)生產(chǎn)，具有一定實(shí)際意義。

5 結(jié)論

本文構(gòu)建多連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，在控制系統(tǒng)中構(gòu)建非線性干擾觀測(cè)器，充分探究基于參數(shù)不確定性與外部負(fù)載干擾等因素產(chǎn)生的控制影響，基于高階滑模控制器設(shè)計(jì)，賦予整個(gè)系統(tǒng)較優(yōu)的抗干擾能力，展現(xiàn)對(duì)柔性機(jī)械臂的精準(zhǔn)控制作業(yè)。分析系統(tǒng)的案例仿真驗(yàn)證了本次設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性，對(duì)后續(xù)機(jī)械臂的控制研究奠定基礎(chǔ)。