基于Kriging模型的圓錐動靜壓軸承優化設計*

張鵬飛，張澤斌，郭 紅

(鄭州大學機械與動力工程學院，鄭州 450001)

0 引言

圓錐動靜壓軸承集向心軸承與推力軸承于一體,具有摩擦功耗低、油膜間隙易于調整等優點，在旋轉機械設備中被廣泛應用。為了更好的提高軸承的綜合性能，使軸承具有更高的承載能力、更小的摩擦功耗以及更好的穩定性等優點。近年來，國內外學者已在軸承優化方面進行了廣泛的研究。

方曉麗[1]對具有深淺腔的圓錐動靜壓軸承進行了系統的分析，并以單位承載能力下功耗最小為優化目標,采用混合懲罰函數法對軸承油腔幾何參數進行了優化計算；Luca Gorasso[2]運用遺傳算法和人工蜂群算法，建立了關于流量、功耗的多目標優化模型，大大降低了軸承流量和功率消耗，最后和實驗測試結果對比情況吻合良好。朱海港[3]采用復合形法對目標函數及約束條件后的動靜壓軸承進行優化設計，獲得較理想的結構參數優化結果；沈志偉[4]采用多目標遺傳算法對高速電主軸動靜壓軸承結構進行優化設計，取得了較好的優化效果。以上研究均是基于梯度或是“啟發式”優化方法，基于梯度的優化方法[5]在處理“多峰”的非線性優化問題中全局性較差，“啟發式”優化方法由于一定的隨機性并需耗費巨大的計算量、收斂速度慢。而代理模型[6]可在優化設計過程中“代替”一些比較復雜和費時的數值計算過程，建立高精度、低成本的近似數學模型；從而解決直接求解分析模型所面臨的計算量過大、計算時間過長等問題。

常用的代理模型有多項式響應面法[7]、徑向基函數[8]、支持向量機[9]和Kriging模型[10]等。Kriging模型具有良好的非線性近似能力，還能提供預測的理論誤差和分布情況，使得建模時可以更合理構建加點策略，從而大大提高優化效率。以圓錐動靜壓軸承[11]為優化對象，選擇軸承半錐角、軸向封油邊寬度、淺腔包角作為設計變量，以單位承載力下功耗最小和平均溫升最小為優化目標，采用基于Kriging模型對圓錐動靜壓軸承優化問題近似代理，利用遺傳算法得到優化問題的Pareto最優解集，根據權重系數法確定最終優化方案。優化結果表明采用基于Kriging代理模型方法在滑動軸承優化設計方面有較高的應用價值。

1 圓錐動靜壓軸承描述

1.1 數值計算模型

假設潤滑油為不可壓縮流體，忽略流體的旋轉慣性力，不考慮軸頸、軸瓦的彈性變形等因素。圖1所示為圓錐動靜壓軸承結構圖，軸承各腔均設置有深腔和淺腔，采用小孔節流形式。

圖1 圓錐動靜壓軸承結構圖

圓錐動靜壓軸承球坐標系下的靜態無量綱Reynolds方程：

(1)

利用有限元法將Reynolds方程離散為線性方程組，再經迭代后可求出個節點的壓力分布，積分后可得到軸承靜特性參數：

承載力

(2)

(3)

摩擦功耗

(4)

(5)

端泄流量

(6)

平均溫升

(7)

1.2 數值模型驗證

為驗證理論模型的正確性，根據文獻[12]對圓錐動靜壓軸承的靜特性分析，選擇與其相同的軸承尺寸與工況條件，計算出無量綱徑向承載力，并與文獻結果進行對比。由圖2可知，本文計算的無量綱徑向承載力與文獻結果均隨偏心率的增大而增大，趨勢一致，可驗證理論模型計算的正確性?；谀Ｐ陀嬎憬Y果，為后續優化工作提供理論驗證。

圖2 數值計算對比驗證

1.3 目標函數

軸承主要設計參數為：主軸轉速為10 000 r/min，外部供油壓力為1.0 MPa，潤滑油粘度0.044 75 Pa·s，腔數為4個偏心率0.25，軸承有效寬度50 mm，大端直徑50 mm，深腔包角15°，半徑間隙0.025 mm，深腔深度0.25 mm，淺腔深度0.03 mm。

對于動靜壓滑動軸承而言,可根據設計需要和工作情況選擇不同的性能參數作為目標函數,例如,可選取承載能力最高、摩擦功耗最小、油膜剛度最大、溫升最低、在滑動設計中處理軸承承載能力和摩擦功耗之間的關系是最突出的問題之一，以軸承單位承載力下功耗最小和潤滑油膜平均溫升最小，其中承載力只考慮徑向承載力作為優化設計的目標函數：

(8)

1.4 設計變量及約束

對于圓錐動靜壓軸承而言,影響其性能的參數有軸承半錐角、軸承直徑、半徑間隙、節流比、深腔深度、淺腔深度、淺腔包角、軸向封油邊寬度等。軸承半錐角的取值對軸承性能有較大影響，一般為了保證軸承承載力錐角取值較小，但錐角取值過小，會導致摩擦功耗增加，潤滑油溫升增加，導致軸承性能降低，將軸承錐角作為設計變量，α的取值范圍為5°≤α≤10°。

為充分發揮動靜壓軸承的動壓效應，保證淺腔包角θq≥30°；如果θq過大將削弱動壓效應的影響區域，淺腔包角不超過70°。因此包角的一般取值范圍為30°≤θq≤70°。軸向封油邊寬度直接影響端泄量和動壓效應，封油邊寬度越大，流量越小；則承載能力和溫升均會有所增加。為提高全局搜索范圍對于高速軸承軸向封油邊寬度的取值范圍為：1

2 基于Kriging模型多目標優化

2.1 Kriging建模方法

Kriging模型作為一種基于統計學的線性回歸分析的插值方法，借助設計空間中已知樣本處的響應信息對未知區域的函數響應值進行預測。通過對預測點周圍的一定區域內信息進行線性加權的方法來實現。

Kriging模型包含回歸函數與隨機變量，即：

y(x)=fT(x)β+z(x)

(9)

式中，y(x)為未知點的函數估計；β為回歸系數；fT(x)為關于的多項式，用于模擬隨機過程的期望函數，通常使用常數、一次或二次多項式。z(x)為隨機項，表達了預測模型的不確定性，其隨機分布規律決定了模型理論誤差的分布規律。對于z(x)需要滿足以下特征：

E[z(x)]=0

(10)

(11)

(12)

式中，E代表期望，Var代表方差，Cov代表協方差；R(θ,xi,xj)是樣本點xi、xj之間的相關函數(也稱相關模型)，用來表示兩者之間的相關性。

為建立設計參數與優化目標之間的Kriging近似模型，采用最優拉丁超立方抽樣[13]。在參數空間內抽取91組樣本點，分別利用數值計算方法得到對應的目標值，并構建Kriging模型。

2.2 模型精度驗證

建立好的代理模型，需要樣本點來驗證模型的精度，以保證模型的有效性，經過驗證后的代理模型才可以用于近似分析。驗證模型精度采用的是“加點驗證方法”。本文采用復相關系數[14](R2)評價代理模型精度。

(13)

在設計空間中隨機額外抽取68個測試點，分別計算理論值和利用已構建好的模型測試點對應響應值，其中目標函數1、2的R2相關系數分別為0.996 8、0.996 4，R2>0.95認為模型滿足要求。圖3為各個測試點的目標函數的預測值與真實值進行了對比。分析圖像可以看出，采用Kriging代理模型計算出的單位承載力下摩擦功耗和溫升與通過數值計算程序計算得到的精確值均高度吻合，驗證了本文所建立的Kriging代理模型是有效的。

圖3 模型精度檢驗圖

2.3 多目標遺傳算法

NSGA-II算法[15]基于非支配排序原則解決多目標之間的協調問題，是求解Pareto解集的有效算法。相對于傳統遺傳算法，降低了算法的復雜度，增大交叉繁殖的概率，可加速尋優收斂過程。本研究定義種群數為5000，最大迭代數為100，交配概率為0.9，變異概率為0.1。

通過NSGA-II算法得出Pareto最優解如圖4所示，紅色的點為共計502組Pareto最優解。由圖中觀察到多目標優化算例的Pareto前沿位于空間呈弧狀分布。

圖4 Pareto前沿

3 優化結果及分析

3.1 多目標優化結果

多目標優化問題通過NSGA-II算法得到滿足優化目標條件的解有很多個，此時可根據權重系數法[16]對所得結果中目標做歸一化處理，處理方式如下：

(14)

當設計者更加關心對目標1的提升時，可令W1=1.5，W2=1時，得到此時權重系數下的優化設計1。如果側重目標函數2的性能提升時,即分別設定W1=1，W2=1.5時，得到此時權重系數下的優化設計2。將優化后軸承性能參數與初始設計進行對比，結果如表1所示。

表1 優化前后優化參數及目標函數對比

3.2 優化后性能分析

為了深刻優化結果,進一步研究分析了在優化設計情況下目標函數和單獨目標中參數隨著偏心率的影響情況。

圖5 不同設計方案下目標函數隨偏心率變化情況

圖6是分別在同一轉速下，初始設計和兩種優化方案下無量綱承載力、無量綱摩擦功耗隨偏心率變化情況。由圖可知在同一轉速下，三種設計方案無量綱承載力均隨偏心率的增加而增大，且優化前后軸承無量綱承載力隨偏心率的變化規律大致相同。其中，優化方案1、2相較于初始設計承載力均有一定程度的提升，且優化方案1對承載力的提升更為出色。由圖可知，三種設計方案無量綱功耗均隨轉速的增加而增大，優化方案2相較于初始設計功耗明顯地降低；而優化方案1的功耗有略微降低。

圖6 無量綱承載力、功耗隨偏心率變化情況

4 結論

(1)建立了圓錐動靜壓軸承的Kriging代理模型，采用NSGA-II算法進行了模型尋優，形成雙目標Pareto解集。綜合考慮承載力和功耗的工況需求進行最優設計的選取。

(2)利用權重系數法對目標函數配重選擇最優非劣解，優化結果表明，優化后目標函數均有一定程度的降低，無量綱承載力在不同偏心工況下提升明顯；無量綱功耗均有所降低，對軸承優化設計有重要的參考價值。