圓柱定子直線超聲波電機定子機電耦合模型研究*

陳 強，蔣春容

(南京工程學院電力工程學院，南京 211167)

0 引言

與傳統電磁電機相比，超聲波電機具有結構簡單、定位精度高、低速大推力、無減速齒輪直驅負載、噪聲小、摩擦式自鎖等優點[1-2]。直線超聲波電機除了超聲波電機的共同特點外，還具有無需絲桿機構轉換直接輸出直線運動推力的特性[3-4]。建立數學模型精確地反映超聲波電機的運行特性，對于指導電機的結構優化、新型樣機制作和控制具有重要的意義。目前，超聲波電機的模型研究主要是等效電路模型法[5-6]和理論分析法[7-8]。等效電路模型為近似等效模型,主要為超聲波電機的驅動控制提供模型基礎，電機設計和結構優化方面不具優勢。理論分析法主要是有限元法和動力學模型，有限元法運算量太大需要較長的時間進行運算，動力學模型可通過數學模型直接得到電機的輸入輸出特性。

本文利用Hamilton能量變分原理對一款大推力圓柱定子直線超聲波電機定子進行建模，推導出電機定子的機電能量系統。通過對能量的變分，導出電機定子的運動方程，建立圓柱定子超聲波電機的定子機電能量轉換模型，對已建立的理論模型進行仿真,并對樣機進行實驗分析。

1 圓柱定子直線超聲波電機機理

圓柱定子結構如圖1所示。采用蘭杰文振子，八階彎曲振動和三階縱向振動復合的振動模態，定子上安裝兩驅動足交替驅動動子作直線運動。對縱向振動和彎曲振動陶瓷片施加頻率相同、相位差90°的激勵電源，產生相位差為90°的兩種振動模態，使定子驅動足接觸面質點產生橢圓運動，從而推動動子滑行。壓電陶瓷片分四組，每組兩片，從每組陶瓷片中間引出電極接激勵電源，陶瓷片與定子匹配塊接觸面接地。縱振壓電陶瓷片為縱向極化，反向極化疊在一起；每片彎振壓電陶瓷均分成兩部分，且極化方向相反。

(a) 定子結構圖

(b) 壓電陶瓷片的結構和極化方向圖1 定子結構

圖2為定子振型，V為縱向振動速度，Vb為彎曲振動速度，T為縱振產生的縱向壓力，電機定子固定預緊點位于兩種振動模態的共同節面處。

圖2 定子振型

2 定子的Hamilton方程

壓電振子是微小振動，可線性疊加，由Hamilton能量變分原理可得圓柱定子縱振和彎振的變分方程[9-10]：

(1)

(2)

式中，Lz=Tz-Uz+Ez,Lw=Tw-Uw+Ew，Tz、Uz和Ez分別為定子縱振下的動能、勢能和壓電陶瓷電場能，Tw、Uw和Ew分別為定子彎振下的動能、勢能和壓電陶瓷電場能，δWez為縱振下外部施加的電能，δWew為彎振下外部施加的電能。

3 定子縱振模態下建模

縱向振動，應變應力矢量矩陣可以縮減為：

(3)

金屬彈性體的勁度常數矩陣縮減為3×3的矩陣[12]：

cs z= {cs33}

(4)

式中，cs33=EYs/(1-μs2)，EYs為金屬彈性體的彈性模量，μs為金屬彈性體的泊松比。

縱向激勵電壓在壓電陶瓷上產生的電場強度為：

Ez=Nφz(z)·Vz/tp=Nez·Vz

(5)

式中，Vz={Vzmaxsinωt}，Vzmax為縱向激勵電壓幅值；Nφz(z)為縱向電勢的形函數矩陣，只與電極z方向的值有關。根據圖1中的電極設置，電勢的形函數矩陣的分量：Nφz(z)=1，其中l2-2

3.1 定子縱振模態下動能

定子縱振瞬時幅值矢量為：

U1=Nz·U1z

(6)

式中，Nz={cos(3πz/l)}，U1z={ξBcos(ωt+π/2)}t，ξB為縱振幅值。電機定子縱振下的動能為：

(7)

3.2 定子縱振模態下勢能

定子勢能由金屬彈性體和壓電陶瓷兩部分組成，定子縱振模態下勢能為：

(8)

式中，Sz和Tz為縱振下應變矢量和應力矢量，Sz=Nzs·U1z，Nzs=?Nz/?z。由第二類壓電方程，可得：

(9)

3.3 縱振壓電振子電場能

縱振壓電陶瓷的電場能：

(10)

3.4 縱向激勵外部施加的電能

縱向激勵外部施加電能的變分：

(11)

式中，qz為縱向激勵施加在電極上的電荷矢量。

3.5 縱振仿真模型

Vz僅對縱振壓電陶瓷片作用，超聲波電機定子的縱振能量為：

(12)

電機定子縱振能量的變分為：

(13)

將式(11)和式(13)代入將式(1)，根據δU1zt與δVz為兩個相互獨立的變分，得到電機定子縱振仿真模型為：

(14)

實際電機定子振動系統會有阻尼存在，對式(14)添加阻尼項Cz，得到電機定子縱振的振動方程：

(15)

4 定子彎振模態下建模

彎振可忽略振動引起的縱向變形，振動后定子橫截面仍為圓形，如圖3所示，θ為橫截面變形前后夾角：

(16)

式中，ξA為彎振幅值，α→0，tanα≈α，可得：

α=sin(9πz/l)(9πξA)/(2l)

(17)

圖3 定子彎曲振動示意圖

由于圓柱定子軸對稱性和定子橫截面保持為圓形，彎振應變應力矢量矩陣可以縮減為：

(18)

(19)

式中，U2={u,v}t，u、v分別為定子各點在x、z方向的位移。彎曲激勵電壓在壓電陶瓷上電勢為：

φw=Nφw(z)·Vw

(20)

式中，Vw={Vwmaxsinωt}，Vwmax為激勵電壓幅值；Nφw(z)為彎振電勢的形函數矩陣。根據圖1中的電極的設置，電勢的形函數矩陣的分量為：

(21)

彎振激勵電壓在壓電陶瓷上產生的電場強度為：

Ew=New·Vw

(22)

式中，New=Nφw(z)/tp。

4.1 定子彎振模態下動能

定子各點在x、z方向的位移分別為：

u(x,z)=-ξAcosωtcos(9πz/l)+x·sinθcosωt≈

-ξAcos(9πz/l)·cosωt

(23)

v(x,z)=xcosθcosωt≈9πξAxsin(9πz/l)cosωt/l

(24)

則可得：

U2=Nw·U2w

(25)

將式(25)代入式(19)得：

Sw=Nws·U2w

(26)

電機定子彎振下的動能：

(27)

4.2 定子彎振模態下勢能

定子勢能由金屬彈性體和壓電陶瓷兩部分組成，定子彎振模態下勢能為：

(28)

4.3 彎振壓電振子電場能

彎振壓電陶瓷的電場能為：

(29)

4.4 彎曲激勵外部施加的電能

外部施加電能的變分：

(30)

式中，qw為彎曲激勵施加在電極上的電荷矢量。

4.5 彎振仿真模型

Vw僅對彎曲振動壓電陶瓷片作用，超聲波電機定子的彎振能量為：

(31)

參照縱振仿真模型求取，彎振仿真模型為：

(32)

對式(32)添加阻尼項Cw，得到電機定子的彎振振動方程：

(33)

(34)

阻尼系數為：

c1=ηc0

(35)

式中，η為阻尼比。本文所研究電機，縱振阻尼比為η0， 彎振阻尼比為η1。

5 仿真與實驗分析

利用Matlab/Simulink建模仿真，并進行實驗分析。電機結構參數：定子長度l為282 mm，定子中間匹配塊橫截面外半徑R1為10 mm，定子中間匹配塊橫截面內半徑R2為3.25 mm，壓電陶瓷的厚度tp為2 mm，壓電陶瓷橫截面外半徑r1為10 mm，壓電陶瓷橫截面內半徑r2為4 mm，l1為129 mm，l2為137 mm，定子金屬彈性體材料的密度ρs為2780 kg/m3，定子金屬彈性體材料的楊氏模量EYS為7.3×1010N/m2，定子金屬彈性體材料的泊松比μs為0.31，壓電陶瓷材料的密度ρp為7500 kg/m3，阻尼比η0和η1均為0.2%。

施加電壓值為400 V，振幅隨頻率變化如圖4所示, 圖4a為縱向振動振幅隨頻率變化曲線，圖4b為彎曲振動振幅隨頻率變化曲線。當激勵電壓頻率為諧振頻率時振幅最大，越接近諧振頻率點振幅越大。從圖中可知29.8 kHz最接近縱向振動諧振頻率，30.6 kHz最接近彎曲振動諧振頻率。

(a) 縱向振動 (b) 彎曲振動圖4 定子振幅和頻率關系

起動過程中，電機定子振幅變化曲線如圖5所示，激勵電壓幅值為400 V。當加上激勵電壓之后，電機定子的振幅需要從0升至穩定值。電機定子并不是瞬間達到工作的最大值，而是在起動過程中，電機定子的振幅從零振蕩升至穩定值，當激勵電壓頻率越接近諧振頻率則振蕩越小，激勵電壓頻率等于諧振頻率時起動過程沒有振蕩。

(a) 激勵電壓頻率為29.8 kHz (b) 激勵電壓頻率為30 kHz

(c) 激勵電壓頻率為30.2 kHz (d) 激勵電壓頻率為30.4 kHz

(e) 激勵電壓頻率為30.6 kHz圖5 起動過程中電機定子振動振幅

圖6為實驗樣機，圖7為樣機驅動電壓和動子速度曲線，定子預壓力為30 N，驅動電壓頻率為25.2 kHz，驅動電壓和動子速度成正比，工作頻率誤差主要是電機加工導致[3]。由圖7可見，驅動電壓和動子速度近似成正比，驅動電壓越大，動子速度越大，這主要是由于驅動電壓增大時，定子的振幅隨之增大，從而使定子對動子的驅動速度變大導致的。

圖6 實驗樣機 圖7 電機速度-驅動電壓曲線

6 結論

本文利用Hamilton能量變分原理建立了圓柱定子直線超聲波電機定子的機電能量轉換模型，并利用Matlab/Simulink對機電能量轉換模型進行了求解，對定子的振動性能進行了仿真分析。分析結果表明：當激勵電壓頻率為諧振頻率時振幅最大，越接近諧振頻率點振幅越大；在起動過程中，電機定子的振幅從零振蕩升至穩定值，當激勵電壓頻率越接近諧振頻率則振蕩越小，激勵電壓頻率等于諧振頻率時起動過程沒有振蕩。制作了樣機，對樣機進行了實驗驗證，結果表明

驅動電壓和動子速度近似成正比。本文建立的機電能量轉換模型較為精確地給出了電機定子的機電耦合特性，對電機設計以及電機控制有一定的指導意義。