基于對數誤差的IOWGA算子的三角模糊數變權組合預測模型

謝小軍，馬 虹，邱云蘭

（1.廣州工商學院，廣東 廣州 510850；2.廣東金融學院，廣東 廣州 510521）

0 引言

Bates和Grange在1969年首次公開發表了組合預測方法的理論[1]，預測實踐表明組合模型能夠提高預測精度，具有更好的泛化能力.因此組合預測模型逐漸成為預測領域研究的熱點問題之一，并已經取得大量的研究成果.前期對組合預測方法的研究對象大多數是實數，但因事物預測模糊性和不確定性，很多時候是以區間數的形式表示，近幾年對于區間數組合預測方法的研究較多[2-7].隨著社會經濟的不斷發展，系統的復雜性和不確定性導致事物更具有模糊特征，三角模糊數成為了刻畫事物的一種常見的不確定信息的表達形式，它彌補了實數和區間數的不足.因此構建基于三角模糊數的組合預測模型符合事物的實際發展趨勢，研究三角模糊數組合預測模型既具有理論意義也具有現實意義.在已有的組合預測模型研究成果中，以三角模糊數作為研究對象的組合預測方法還不是很成熟，大多數是以對稱三角模糊數進行建模預測.例如文獻[8]將區間數轉換為對稱三角模糊數，以三角模糊數相似度作為最優準則度量指標，提出了一種基于三角模糊相似度的組合模型.文獻[9]引入廣義誘導有序加權平均算子，構建了基于對稱三角模糊數及GIOWA算子的組合預測模型.文獻[10]也是基于對稱三角模糊數，將對稱三角模糊數的利用面積中心和重心指標進行替代，運用IOWA算子建立了相應的三角模糊數面積序列和重心序列的相關系數的多目標組合預測模型，并引入重要性參數將其轉化為單目標規劃模型.因此，文獻[11]基于三角模糊數面積型中心，面積型散度，質心三個指標的基礎上，提出了一種以有效度為最優準則的三角模糊數組合預測模型.

本文旨在建立一種適用于普遍三角模糊數時間序列組合預測模型.首先從三角模糊數序列的整體性以及預測時各界點可能發生跳躍等考慮，基于文獻[11]的研究基礎，將三角模糊數序列三個界點序列轉換成面積型中心、面積型散度、質心三個指標序列，轉換后的序列同時受原三角模糊數的三個界點制約，然后引入誘導有序加權幾何平均算子（IOWGA）算子，并以面積型中心、面積型散度、質心三個指標的對數誤差為最優準則，通過引入偏好系數，建立了一種基于對數誤差的IOWGA算子的三角模糊數變權組合預測模型，最后通過實例分析驗證了該模型的有效性.

1 理論基礎

定義 1.1[11-12]設三角模糊數 a＝（al，am，au），其中 al≤bm≤cu，滿足 al－am＝au－am時，稱為對稱三角模糊數，滿足al＝am＝au時，即為普通實數序列，令：

原三角模糊數a＝（al，am，au）轉換成了面積型中心 c、面積型散度d、質心 M，記為（c；d；M），轉換后的序列同時受到三角模糊數的三個界點的約束，即由（c；d；M）也可以推導出原三角模糊序列的三個界點，還原公式：

任意兩個三角模糊數 a＝（al，am，au）和 b＝（bl，bm，bu），則有：

（1）a＝b? al＝bl，am＝bm，au＝bu；

（2）a±b＝（al±bl，am±bm，au±bu）；

（3）ka＝（kal，kam，kau）.

定義 1.2[13]設 IOWGAW：Rn→R 為 n 元函數，W＝（w1，w2，…，wn）T為加權向量，滿足若：

則稱IOWGAW是u1，u2，…，un所構成的n維誘導有序加權幾何平均算子，簡記為IOWGA算子.

2 基于區間相似度的IOWGA算子的三角模糊數組合預測模型的建立

定義2.1設cit、dit、Mit分別為面積型中心、面積型散度、質心指標第i種方法的預測結果，令：

則稱εit、φit、φit第i種方法在t時刻的面積型中心、面積型散度、質心指標預測精度.

利用定義3的εit、φit、φit作為定義2的誘導值，構建t時刻IOWGA算子產生的面積型中心、面積型散度、質心的預測值：

定義2.2令：

則稱Ec、Ed、EM分別為基于面積型中心、面積型散度、質心指標的預測對數誤差.顯然Ec、Ed、EM越小，表示預測效果越好.

定義 2.3 引入偏好系數 α，β，γ，其中 α≥0，β≥0，γ≥0，且滿足 α＋β＋γ＝1，令：

則稱EW為對數誤差，其中α，β，γ的取值由決策者確定，反映了面積型中心、面積型散度、質心指標對決策者的重要性考量.因此，可建立基于對數誤差的IOWGA算子的三角模糊數組合預測模型為：

3 實例分析

為了驗證基于對數誤差的IOWGA算子的三角模糊數變權組合預測模型的有效性，以文獻[2]的原始數據和單項預測方法的結果為研究基礎進行實例分析，原始數據和各單項預測方法預測結果見表1.

表1 實際三角模糊數序列與三種單項預測方法擬合預測結果

由表1數據代入式（1）可將三角模糊數序列轉化為面積型中心、面積型散度、質心指標序列.利用式（4），（5），（6）可得到面積型中心、面積型散度、質心指標序列各單項預測方法的預測精度，見表2.將各指標各時刻精度值從大到小排列就能知道每個預測精度對應的預測三角模糊數（cε-index(it），dφ-index(it），Mφ-index(it）），利用式（7），（8），（9）計算，利用定義4，計算Ec、Ed、EM代入模型（14），確定偏好系數α，β，γ，文章選取了三組偏好系數值，分別是 α＝0.5，β＝0.3，γ＝0.2 和 α＝0.1，β＝0.2，γ＝0.7 以及 α＝0.2，β＝0.7，γ＝0.1，利用Lingo11計算求得對應的最優權系數，見表3.通過表3對應的最優權重系數，可以進一步計算得到組合模型下面積型中心、面積型散度、質心指標的預測值，然后利用式（2）還原為原始三角模糊數對應的預測值，結果見表4.

表2 單項預測方法各時點面積指標、中界點，重心指標序列的預測精度

表3 偏好系數不同取值對應下組合模型的最優權系數

表4 偏好系數不同取值對應下本文組合模型三角模糊數預測值

本文除了與3種單項方法對比外，還選取了文獻[11]的方法進行對比.利用基于三角模糊數下界點的預測均方誤差（MSEL）、基于中界點的預測均方誤差（MSEM）和基于上界點點預測均方誤差（MSEU）、均方誤差和（MSEI）來作為衡量其預測效果的指標，具體結果見表5.

表5 本文組合模型與各單項預測方法預測效果評價指標

由表5可知：

（1）本文所提出的基于對數誤差的IOWGA算子的三角模糊數變權組合預測模型的四個誤差指標MSEL、MSEM、MSEU、MSEI都遠小于所有單項預測方法的誤差，因此本文提出的組合模型能夠顯著提高三角模糊數的預測精度；

（2）與文獻[11]組合模型對比，本文提出的基于對數誤差的IOWGA算子的三角模糊數變權組合預測模型四個誤差指標MSEL、MSEM、MSEU、MSEI也都均小于文獻[11]的方法的誤差，且本文提出的組合模型可適用普遍三角模糊數序列的建模，可應用性更廣，故本文提出的模型是有效的.

4 結語

針對三角模糊數序列的組合預測研究相對還不夠成熟，通過對三角模糊數序列組合預測方法以及理論研究，建立了一種適用于普遍三角模糊數時間序列的三角模糊數變權組合預測模型.通過實例分析進一步驗證了本文提出的模型的有效性，能夠顯著提高三角模糊數的預測精度，而且可適用性更加廣泛，并且克服了組合模型定權的缺點.但是本文沒有針對偏好系數的取值進一步分析所有的可能情況，故本文選取對應的模型可能不是最優的.因此，后期進一步工作討論偏好系數取值不同可能對預測精度產生的影響.