基于圖像塊相似性和稀疏先驗(yàn)的模糊圖像盲去卷積復(fù)原

紀(jì)艷玲，湯宮民

（山東工程職業(yè)技術(shù)大學(xué) 信息工程學(xué)院，濟(jì)南 250000）

0 引 言

通過(guò)電子設(shè)備采集到的圖像在形成、儲(chǔ)存、調(diào)制處理和信號(hào)傳輸?shù)倪^(guò)程中，因?yàn)樾诺涝肼暬蚰：纫蛩赜绊憰?huì)產(chǎn)生失真，從而造成圖像質(zhì)量的退化［1］。對(duì)采集過(guò)程中退化的圖像進(jìn)行相關(guān)處理，從而得到與原始圖像盡可能一致圖像的過(guò)程稱為退化圖像的復(fù)原，其本質(zhì)是圖像退化的一個(gè)逆過(guò)程。作為一個(gè)基礎(chǔ)且重要的底層計(jì)算機(jī)視覺(jué)問(wèn)題，圖像復(fù)原有很多經(jīng)典的理論和使用方法，早期的逆濾波從頻域的角度分析圖像復(fù)原，基于擴(kuò)散的偏微分方程和小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性推動(dòng)了圖像復(fù)原的發(fā)展；稀疏表示和字典學(xué)習(xí)在圖像復(fù)原方面也取得了較大的成功。近年來(lái)，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)的快速發(fā)展，基于自然圖像塊建模的復(fù)原方法成為研究的熱點(diǎn)［2］。本文針對(duì)圖1 所示樣本類型進(jìn)行圖像復(fù)原算法的研究。

圖1 退化圖像典型樣本Fig.1 Typical samples of degraded images

1 基礎(chǔ)理論

1.1 圖像退化

采集圖像質(zhì)量退化的原理可以用公式（1）所示的數(shù)學(xué)模型來(lái)表示：

其中，x表示初始清晰圖像；y表示采集后退化圖像；k表示模糊算子；n是噪聲；*是卷積運(yùn)算。

通?？梢约俣ㄔ肼暈楦咚拱自肼?，服從均值為0，方差為σ的高斯分布，即n～N（0，σ）。如果模糊算子k已知，則稱為圖像非盲去卷積［3］。特別的，當(dāng)k是狄拉克函數(shù)時(shí)，圖像復(fù)原問(wèn)題就變成了圖像去噪。

在實(shí)際應(yīng)用中，模糊算子k和噪聲方差σ通常是未知的，這時(shí)的圖像復(fù)原問(wèn)題稱為盲復(fù)原［4］。由于在退化方程中只有退化圖像y是已知的，而清晰圖像x、模糊算子k和方差σ均未知，從退化的圖像中恢復(fù)出清晰圖像是個(gè)病態(tài)問(wèn)題。由于沒(méi)有足夠的信息保證待復(fù)原部分?jǐn)?shù)據(jù)的正確性，通常需要利用先驗(yàn)知識(shí)對(duì)問(wèn)題加以約束。

1.2 圖像復(fù)原

通?？捎霉剑?）所示的損失函數(shù)來(lái)表示圖像復(fù)原的整個(gè)過(guò)程［5］。

其中，f(x，y) 表示數(shù)據(jù)保真項(xiàng)，使得估計(jì)出的原始圖像與退化圖像在內(nèi)容上保持一致，prior（x）則表示先驗(yàn)項(xiàng)，這是一個(gè)來(lái)自自然圖像本身的特性。

這個(gè)損失函數(shù)可以從概率交付給與很好的解釋，根據(jù)最大后驗(yàn)概率估計(jì)原理，對(duì)原始圖像的估計(jì)可表示為公式（3）：

其中，P（x ｜y）表示從原始圖像x得到退化圖像y的概率，P（x）表示圖像x的先驗(yàn)概率，對(duì)上式取負(fù)對(duì)數(shù)，就可以得到圖像復(fù)原的損失函數(shù)。

2 基于稀疏先驗(yàn)算法的模糊圖像盲去卷積復(fù)原

對(duì)于模糊圖像進(jìn)行盲去卷積，難點(diǎn)在于對(duì)于模糊算子一無(wú)所知，這就需要一個(gè)先驗(yàn)性的知識(shí)，對(duì)原圖及模糊算子進(jìn)行預(yù)估初始化。

解決這一問(wèn)題的思路是采用圖像強(qiáng)度與梯度的L0 正則化［6］。首先，對(duì)圖像進(jìn)行g(shù)amma 矯正；其次，設(shè)置模糊算子大小，確定最大迭代次數(shù)，梯度濾波，用快速傅里葉變換去除模糊算子內(nèi)的固體噪聲，建立梯度幅度直方圖，對(duì)模糊算子進(jìn)行估計(jì)。

2.1 基于自然圖像塊強(qiáng)度與梯度的L0 正則化先驗(yàn)的盲去卷積

對(duì)于給定的模糊圖像，在沒(méi)有給定模糊算子的情況下，直接使用維納濾波無(wú)法實(shí)現(xiàn)濾波，只能通過(guò)先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行估計(jì)。本文借鑒傳統(tǒng)露西－理查德森（Richardson－Lucy）的盲去卷積算法的同時(shí)，融合自然圖像塊強(qiáng)度和梯度的L0 正則化進(jìn)行盲去卷積。

該算法由貝葉斯公式推導(dǎo)而來(lái)，因?yàn)槭褂昧藯l件概率，即算法考慮了信號(hào)的固有波動(dòng)，因此具有復(fù)原噪聲圖像的能力［7］。貝葉斯公式如公式（4）所示：

結(jié)合圖像退化／復(fù)原模型，可以得到迭代函數(shù)，如公式（5）所示：

其中，fi就是第i輪迭代復(fù)原圖像，對(duì)應(yīng)貝葉斯公式中的p（x）；g是退化函數(shù)，對(duì)應(yīng)貝葉斯公式的P（y ｜x）；c為退化圖像。

假設(shè)退化圖像各區(qū)域的模糊函數(shù)處處相同，那么可以將公式（5）化簡(jiǎn)為公式（6）：

這就是路西－理查德森迭代公式，其中c是退化圖像；g是退化函數(shù)；f是第k輪復(fù)原圖像。

如果系統(tǒng)的退化函數(shù)PSF（g（x））已知，只要有一個(gè)初始估計(jì)f就可以進(jìn)行迭代求解。在開(kāi)始迭代后，由于算法的形式，估計(jì)值會(huì)與真實(shí)值的差距迅速減小，從而后續(xù)迭代過(guò)程f的更新速度會(huì)逐漸變慢，直至收斂。算法的另一優(yōu)點(diǎn)就是初始值f ＞0，后續(xù)迭代值均會(huì)保持非負(fù)性，并且能量不會(huì)發(fā)散。

無(wú)噪聲影響的盲去卷積需要兩步進(jìn)行復(fù)原，原因是既不知道原始圖像f，也不知道退化函數(shù)g。算法執(zhí)行流程如圖2 所示。

圖2 圖像盲去卷積流程圖Fig.2 Flow chart of image blind deconvolution

即在第k輪迭代，假設(shè)原始圖像已知，即第k－1輪得到的fk－1，再通過(guò)R－L 公式求解gk，隨后再用gk求解fk，反復(fù)迭代，最后求得最終f和g。因此，在求解最初，需要同時(shí)假設(shè)一個(gè)復(fù)原圖像f0和一個(gè)退化函數(shù)g0。迭代公式如公式（7）和公式（8）所示：

同時(shí)，為了解決在復(fù)原圖像內(nèi)部灰度對(duì)比明顯的地方和圖像邊界都出現(xiàn)的“振鈴”問(wèn)題，定義一個(gè)加權(quán)函數(shù)來(lái)減少圖像中的“振鈴”，該算法是在對(duì)圖像和PSF 進(jìn)行復(fù)原時(shí)，對(duì)每個(gè)像元根據(jù)｜WEIGHT ｜數(shù)組進(jìn)行加權(quán)計(jì)算。

2.2 基于強(qiáng)度和梯度先驗(yàn)的L0 正則化去卷積

借助于不同的自然圖像先驗(yàn)信息，可以估計(jì)出不同的原始圖像。常用的自然圖像的先驗(yàn)信息有自然圖像的局部平滑性、非局部自相似性、稀疏性等特征［8］，本文在圖像塊相似性先驗(yàn)復(fù)原基礎(chǔ)上加以稀疏度特征，從而實(shí)現(xiàn)更精確的電子設(shè)備采集圖像的盲去卷積復(fù)原。

對(duì)于一幅模糊圖像x，定義其強(qiáng)度稀疏度如公式（9）所示：

而其稀疏度，即先驗(yàn)條件，可表示為強(qiáng)度稀疏度和梯度稀疏度之和，如公式（10）所示：

式中，σ為權(quán)重，Pi（?x）為梯度稀疏度。

梯度稀疏度的最小化，本文采用L0 正則化方法實(shí)現(xiàn)，如公式（11）所示：

其中，x為清晰圖像；y為模糊圖像；γ和λ為正則化參數(shù)；k為模糊核；?為卷積運(yùn)算符；‖‖2為正則約束項(xiàng)。

考慮到公式（11）無(wú)法直接求最小值，因此采用半二次分裂的優(yōu)化方法，即固定x，μ，g中任意兩個(gè)變量來(lái)交替求最小值。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，采用梯度域預(yù)估模糊核比一般像素值預(yù)估模糊核效果要好。

3 結(jié)果分析

本文實(shí)驗(yàn)在Macbook air 1.8GHz Intel Core i5，8GB 內(nèi)存的硬件環(huán)境和MacOS High Sierra10.13.3、Matlab R2017a 的軟件環(huán)境條件下進(jìn)行。

利用本文算法對(duì)模糊退化圖像進(jìn)行盲去卷積復(fù)原，樣本復(fù)原圖像及其最大值歸一化后的模糊算子見(jiàn)表1?？梢郧宄吹剑瑢?duì)于模糊文字、海報(bào)及實(shí)際車輛的復(fù)原效果較好。特別的，對(duì)于極度模糊的車輛，圖像復(fù)原后可以清晰辨認(rèn)車輛車牌號(hào)后6 位為B 8L358。

表1 退化圖像復(fù)原結(jié)果圖Tab.1 Restoration results of degraded images

4 結(jié)束語(yǔ)

利用退化圖像與清晰圖像之間部分相似性和稀疏先驗(yàn)條件構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以提高采集圖像的質(zhì)量。首先，構(gòu)建基于圖像塊期望的高斯拉普拉斯相似性模型，使計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)過(guò)程簡(jiǎn)化，速度加快；其次，通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)中的近似最大后驗(yàn)估計(jì)算法，最終實(shí)現(xiàn)采集退化圖像的復(fù)原。通過(guò)對(duì)典型退化圖像樣本的算法測(cè)試可以看出，該算法對(duì)于模糊圖像的還原效果顯著，具有極大的現(xiàn)實(shí)意義。