基于觀測器的非定常機翼LPV模型振動控制

胡志賢，楊 慧

（上海工程技術大學 航空運輸學院，上海 201620）

0 引 言

氣動彈性系統中包括結構力、慣性力和空氣動力學產生的非線性相互作用，這可能導致振動和其它不穩定現象［1－2］。當機翼發生振動時，會影響飛行安全，甚至導致毀滅性的事故。為了避免機翼振動對結構造成損壞，并確保飛行安全，人們已經研究了諸多被動控制方法。如，采用質量平衡和局部剛度增強等措施，這將導致飛機重量增加并降低飛行性能。而主動控制，能夠適應意外的結構和環境變化，極大地改善了飛行器的性能指標，克服了被動控制技術的缺點，因此成為當下研究的熱點［3－4］。

利用控制面的偏轉實現振動抑制，是目前常見的主動控制技術方法。文獻［5－7］中將單尾緣控制的二元機翼的參數變化狀態空間，轉化為張量積模型，有效地實現了非線性氣動彈性系統的控制。文獻［8］提出了積分反演滑模控制方法，較好地克服滑模控制抖振的缺點。然而上述大多數文獻研究中，氣動力載荷是基于準定常氣動理論的，這會給氣動彈性模型帶來不精確的弊端，并且只適用于低頻的飛行條件［9］。

非定常氣動理論克服了上述缺點，不少學者將其應用于機翼氣動彈性系統［10－15］。然而，為獲得模型的時域表達式，會引入不可測的空氣動力狀態［16］，難以用傳感器去測量所有狀態，這為全狀態反饋方法的現實應用帶來困難；并且機翼布置過多傳感器，增加了傳感器失靈引起故障的概率。張量積模型變換方法的主要優點是，將各種模型表示形式，生成基于高階奇異值分解（HOSVD）的凸多面體的TP模型表示形式［17－18］，從而可以很好地應用于現代控制設計工具中，有效地解決非線性系統問題。

基于上述原因，本文的貢獻在于使用張量積模型變換的LMI 控制設計方法，設計控制器和觀測器，用于穩定和跟蹤具有結構立方非線性的非定常氣動彈性系統。首先依據拉格朗日方程和Theodorsen 理論建立了帶后緣控制面的非定常氣動機翼模型的狀態空間方程；基于TPtool 工具箱，開發了觀測器的設計程序，應用張量積模型變換的控制設計方法，得到整個系統的控制器和觀測器；通過仿真驗證該方法的有效性。

1 氣動彈性模型

1.1 氣動彈性系統建模

帶有控制面的二元機翼力學模型如圖1 所示。該模型的3 個自由度為：沉浮位移h（向下為正）、俯仰角α（迎風抬頭為正）、以及控制面偏轉角β（向下偏轉為正）。彈性軸在翼弦中點前時，a－ ＜0。表1 給出了本文相關機翼結構參數的符號表示。

圖1 機翼的力學模型Fig.1 Mechanical model of wings

表1 機翼結構參數的符號表示Tab.1 Symbolic of wings structureparameters

二元機翼的運動方程為：

其中，k(α)可通過對非線性彈簧的實測位移－力矩數據進行曲線擬合得到：

不可壓縮流下的二元機翼振動抑制采用非定常氣動力。根據Theodorsen 氣動理論，氣動升力和氣動力矩可為如下形式［19］：

其中，Ti（i＝1，4，7，8，10，11）為Theodorsen 常數，取決于彈性軸位置和控制面鉸鏈位置，C（k）為Theodorsen 函數。

控制面可用如下二階微分方程表示［19］：

根據式（17）、（18），得到包含作動系統動特性在內的機翼運動方程為：

1.2 狀態方程

為了計算的簡便性，將C（k）寫為Jones 近似形式［20］：

式中，z1＝0.007 5；z2＝0.100 55；p1＝0.045 5；p2＝0.3；s為Laplace 變量。

引入空氣動力狀態變量，C（s）對應的狀態方程為：

該系統的輸入為：

氣動力公式可以重寫為：

氣動力Fae表示為非環量部分和環量部分之和的形式，即：

根據式（24），非環量部分可表示為：

式中，

環量部分Fc可表示為：

根據式（13）、式（14）和式（16），式（6）可以寫成如下形式：

結合式（28）和式（29），得到機翼氣動彈性方程的狀態空間為：

2 控制方法

在實際應用中，系統的狀態一般難以直接測量，因此，應用到輸出反饋設計。p（t）包含所估計的狀態向量x2（t），假設只有狀態x2（t）為可測的，其余狀態都不可觀測，系統輸出為：

將上述狀態方程轉換成線性變參數（LPV）模型：

對于LPV模型，式（21）的系統矩陣S（p（t））可以通過高階奇異值分解得到如下形式的TP模型表示［5，18］：

定義［18］如果權重函數滿足式（23）、（24），并且所有權重函數的最大值為1 或者接近1，那么凸TP模型為CNO 類型。

觀測器需要滿足：當t→∞時，x（t）（t）→0，（t）為觀測器估計的狀態向量。為了實現這一目標，引入如下觀測器結構：

上式結構采用多胞模型形式為：

其中，Kr，r＝1，2，…，R為反饋增益，Kr由基于LMI 穩定性定理計算得出。

基于PDC 技術設計如下控制器：

其中，反饋增益Fr，r＝1，2，…，R，Fr由基于LMI 穩定性定理計算得出。

定理1［18］（全局漸近穩定的觀測器和控制器）如果帶觀測器和控制器的多胞模型漸近穩定，則存在P1＞0、P2＞0 和M1，r、N2，r（r＝1，…，R，R為LTI 頂點系統的數量）滿足如下線性矩陣不等式：

3 數值仿真

機翼相關結構參數見表2。選擇變參數p（t）＝（V，α），流速度V∈[15，30]m／s，俯仰角α∈[－0.15，0.15] rad。因此，Ω：[15，30]×[－0.15，0.15] 。網格密度為M1× M2（其中M1＝31，M2＝31）。在TP模型轉換過程中可以看到，離散張量SD∈在第一維上的秩為3，分別為178 081.327 6、1 052.169 57 和1.372 03，在第二維上的秩為2，分別為177 969.499 61 和6 397 014 872；對SD進行HOSVD，得到3×2＝6 個奇異值，LTI 頂點系統的數量也為6。在本例中，選擇一個接近正態類型的權重函數，權重函數w1，i（V），i＝1，…，3 和權重函數w2，j（α），j＝1，…，2，如圖2 所示。

圖2 V 和α 的權重函數Fig.2 Weighting function of V and α

表2 機翼的結構參數值Tab.2 Structural parameter values of wings

可以得到3×2＝6 個線性時不變（LTI）系統的頂點。該氣動彈性模型可以用6 個LTI 系統的有限元凸TP模型形式精確描述。實際上，可以嘗試從式（21）中解析得出權重函數和LTI 系統。此外，如果第一維度的第三奇異值相對較小，則可通過丟棄其來進一步降低維度，產生一個縮小的2×2 TP模型。但在此情況下，其只是該模型的近似值。α的權重函數可以從k(α)中提取，U 的權重函數將來流速度作為未知量來提取的。根據具體情況，生成的TP模型可能只是氣動彈性系統的近似值，并且包含不同且可能比本示例中更多的LTI 系統。然而，如果生成的結果中保留足夠數量的非0 奇異值，則生成的TP模型將具有可接受的精度。

將所得LTI 頂點系統代入定理1 的LMI 中，LMI 求解器顯示不等式組在當前情況下是可行的，控制器與觀測器的增益矩陣如下：

得到如下控制器和觀測器：

在本例中，對觀測器與控制器選擇不同的初值。來流速度為V＝23 m／s，速度已大于該模型的顫振速度（顫振速度為21.8m／s）；系統初值為x0＝[0.01，0.05，0.1，0.01，0.05，0.1，0.01，0.01]T，觀 測器初值選擇為＝[0，0，0，0，0，0，0，0]T。

在包含模型（式19）、控制器（式28）、觀測器（式29）的閉環系統中，系統各狀態的響應曲線如圖3～7 所示。為了顯示控制效果，模型（式19）開環系統的仿真結果也顯示在圖中。

圖3 控制輸入Fig.3 Control input

從這些圖中可以看出，觀測器所有的狀態估值，可以較好地跟蹤閉環系統的真實值，閉環系統可以快速穩定。由圖4 中可以看出，浮沉位移及其變化率的跟蹤效果相對于其它狀態較差，系統的真實值快速收斂到0，而浮沉位移及其變化率的估計值發生較大的震蕩。從圖5 和圖6 中可以看出，俯仰角及其變化率、控制面偏轉角及其變化率的跟蹤效果較好，控制面偏轉角的變化率約達到320。由圖7中可以看出，兩個空氣動力狀態變量跟蹤誤差較小，震蕩相對于其它狀態較為劇烈。

圖4 系統狀態h、及其估計值Fig.4 System states h，and their estimation

圖5 系統狀態α、及其估計值Fig.5 System states α， and their estimation

圖6 系統狀態β、及其估計值Fig.6 System states β，and their estimation

圖7 系統狀態xa1、xa2及其估計值Fig.7 System states xa1， xa2 and their estimation

4 結束語

本文針對具有非定常氣動力和結構非線性的機翼振動問題，建立了帶后緣控制面的機翼狀態空間方程，設計了一個觀測器來獲得不可測量狀態的估計值，并結合張量積模型變換的控制設計方法，獲得系統的控制器和觀測器。數值仿真結果表明，控制器能夠快速穩定系統，觀測器的估計值能較好地跟蹤系統的真實值，驗證了所提方法的可靠性。