災害事件中三支決策的魯棒選址優化研究

賈 哲，趙敬華，紀 穎

（1 上海理工大學 管理學院，上海 200093；2 上海大學 管理學院，上海 200444）

0 引 言

新冠疫情的爆發對人民的生命安全造成了極大的威脅，防疫物資需要在災害發生后立即發放。臨時轉運中心可以短期內將緊急救援物資存儲、分類、整合和分發到災害需求場所。因此，轉運中心的選址問題成為災害救援的一個重要研究方向。

在選址決策中，傳統的網絡模型考慮了定量因素，旨在最小化成本或者最大化覆蓋范圍。但非量化標準，如交通狀況、勞動力可用性、地理特征等因素，在決定位置時也很重要。此外，Montibeller 和Yoshizaki 指出無形因素可以改變數學模型產生的網絡配置［1］。針對災害事件中決策情況的復雜性、不確定性、環境混亂以及信息時間有限性等特點，雖然選址優化方法可以評估定量因素，但這種對定性因素的評估往往伴隨著模糊性和不明確性［2］。在此情況下，決策者在應對緊急情況時，必須做出無數的反應性操作決策，來解決幾乎沒有信息的復雜困境。

模糊多屬性決策方法，以其在評價不精確屬性方面的實用性而著稱，其利用模糊集理論來處理決策中的模糊性和不精確性。如：文獻［3］中提出一種直覺模糊多屬性決策的威脅評估方法，為防空目標威脅進行排序；文獻［4］針對投資決策中模糊偏好信息，對決策方案排序，解決投資決策中的沖突問題，形成偏好一致的決策方案；文獻［5］構建AHP－模糊TOPSIS模型，對電子商務環境的倉儲應急管理能力進行綜合評價；文獻［6］對城市辦事服務的便捷度評價，建立指標評價體系，采用熵權TOPSIS法進行評價研究；文獻［7］為克服指標難定量問題，提出三參數區間灰數，對物流供應商評價等。在此基礎上，本文彌補了多屬性決策的二選一決策結果，為轉運中心進行排序與分類。

三支決策的出現，為設施中心提供了一種三等分行動框架，同時也為政府提供客觀優選目標。對三支決策的研究中，文獻［8］提出模糊三支算子及逆算子處理模糊環境難題；文獻［9］在模糊形式下，結合模糊集合理論，將對象與屬性的關系用隸屬度表示，解釋模糊三支概念在實際生活中的應用；文獻［10］為了適應復雜動態任務環境的問題，提出了基于VIKOR 和三支決策的多目標威脅評估方法。

因人道主義救援守則規定，必須將減輕人類痛苦放在首位，所以本文的首要目標是最大限度地減少未滿足需求差的值，這與Lin 等［11］最小化成本研究相反。Rennemo 等［12］最大化效用，考慮一個災難響應的三階段混合整數隨機規劃，但也只使用了基于選址優化的純定量方法。本文使用魯棒優化與三支決策方法，解決設施選址問題。對魯棒優化的研究中，文獻［13］提出了一個線性優化模型來構造所有屬于凸集數據的可行解。但此模型為了保證魯棒性，放棄了太多標稱問題的最優性，產生的解太過保守。文獻［14］Tal 考慮具有橢球形式數據不確定性，求解以錐二次問題形式出現的標稱問題的魯棒對應。這種方法的缺點是產生的模型盡管是凸的但卻是非線性的，在計算方面有更高的要求。

典型的選址問題包括：確定開放設施的數量、空間位置和需求分配。然而在災害救援期間，建設轉運中心還需要確定材料有限時，設施建立的順序。因為材料需要具備可組裝性、可拆卸性、可移動性、阻燃性、防水性、防腐性和防紫外線等特點，而很多發展中國家材料數量有限。如2015 年尼泊爾地震救援初期，由于可用移動材料有限，導致救援物資堆積在機場，有效建立轉運中心面臨困難［15］。

針對上述情況，本文提出的多面體集魯棒優化是一種具有線性結構且易于控制不確定度的魯棒構架，同時降低了保守度。為了響應受災地區緊急需求，并使稀缺材料能夠得到有效利用，本文提出了三支決策中的接受正區域、拒絕否定區域和不承諾邊界理念，將每個備選設施進行排序并分類為：優先建設類別、非優先建設類別、是否優先建設類別。實驗結果表明，優化的穩定性有了較大提高，可以處理不確定需求，并自動為政府提供優選方案。

1 魯棒優化模型

在選址優化中，考慮災害需求的不確定性，采用魯棒優化，以未滿足需求最小化為目標，同時均衡考慮分配設施數量約束和最大容量約束，確定應急臨時中心的位置和臨時中心與需求點之間網絡配置的拓撲結構。

1.1 不確定集合

不確定集合的大小與含有不確定系數約束成立的概率有密切關系。模型中約束條件不成立的概率越小，魯棒性越好。研究魯棒問題，首先需考慮一般線性規劃問題：maxcTxs.t.Ax≤b，l≤x≤u。

假設系數矩陣A的第i行元素僅不確定，令表示系數的實際值，分別表示參數名義值和波動，ξij為不確定因素，屬于一個不確定集E，并且可以取集合中的任意值。因此，約束可以重新表示為：

多面體集不確定集合是根據1 范數（l1）定義的：EP＝E1＝｛ξ：‖ξ‖1≤Γ｝＝｛ξ：

其中，Γi為可調整的不確定水平參數，表示不確定集合的不確定水平，代表優化模型的風險偏好程度。

基于上述條件，建立應急物資需求不確定性的魯棒線性整數優化模型前，給出基于確定性需求整數規劃模型。

1.2 定義符號與變量

假設：需求點位置已知；所有候選應急臨時中心的位置已知，且有容量限制；供應倉庫必須將救援物資運輸至臨時物流中心，而不是直接運輸到需求點。

符號定義如下：

I：災害需求點集合，i∈｛1，2，…，m｝

J：候選臨時物流中心集合，j∈｛1，2，…，n｝

K：候選供應倉庫集合，k∈｛1，2，…，h｝

M：一個很大的數

di：需求點i的需求

p：臨時物流中心總數量

ti：分配給需求點i的臨時中心數量

qji：從臨時中心j運輸至需求點i的量

rkj：從供應倉庫k運輸至臨時中心j的數量

Qsk：供應倉庫k可提供的最大數量

Qhj：臨時中心j可提供的最大數量

變量參數設定：

1.3 確定性優化模型

在大型災害事件發生之后，應急部門會對受災地區進行初步規劃，確定候選設施的集合。本文的目標是最大限度地減少未滿足需求差的值，約束保證候選設施的容量限制能力，其模型如下：

1.4 多面體集魯棒模型

在實際疫情中，各救助點的需求無法準確獲取，在此假設需求點的需求為隨機變量，為擾動量）。根據定義可得不確定集合：

根據定理1 可獲得魯棒模型。

定理1：

由此可得：當數據不確定時，且不確定需求集合為多面體集，可得魯棒配置模型。

其中，Γu為目標函數不確定需求水平參數；為約束中不確定需求的參數；θu，分別為其對應的對偶變量。

2 直覺模糊多屬性與三支決策

專家根據所選評估的屬性，對臨時中心進行評估。首先給出直覺模糊集的概念、性質以及直覺模糊Topsis 法的步驟，然后計算每個備選中心的條件概率進行排序；根據對每個設施的屬性整體進行評估，對每個屬性進行構造目標損失函數；最后通過聚合多屬性損失函數得到決策閾值，對選中設施進行分類。

2.1 基本概念與性質

直覺模糊集定義1：

2.2 直覺模糊Topsis 法

基于理想解的直覺模糊多屬性決策，是通過將集中備選方案與理想解的距離進行比較，對集中備選方案按優劣順序進行排定的決策方法。

假設評估方案集T＝｛T1，T2，…，Tu｝ 由u個評估對象組成，評價每個方案的屬性集A＝｛A1，A2，…，Av｝ 由v個屬性組成。

w＝（w1，w2，…，wv）為屬性的權重向量，屬性的權重之和為1。評估矩陣可以表示為Z＝（zxy）uv，x∈｛1，2，…，u｝，y∈｛1，2，…，v｝。其中，zxy是方案Tx屬性Ay的評估值。在本研究中，評估屬性值zxy由直覺模糊數表示，即。

基于直覺模糊Topsis 多屬性決策方法實現步驟如下：

步驟1確定多屬性決策評價集和屬性集，獲得決策問題中對方案關于屬性的直覺模糊數，構建直覺模糊決策矩陣。

在實際復雜的決策問題中，專家給出的評價信息可能是直覺模糊語言評價值或者為區間數，因此需要對區間數決策值進行歸一化處理。

步驟2根據文獻［3］的方法，確定正理想方案與負理想方案。

步驟3求方案與正、負理想方案的直覺模糊相似度。

方案Tx與正理想方案的相似度計算如下：

方案Tx與負理想方案的相似度計算如下：

步驟4方案排序

D（Tx，Z＋）越大，表明方案Tx與理想方案越接近；D（Tx，Z－）越小，說明方案Tx與負理想解越遠。根據Topsis 法計算每個方案的相對貼近度：

2.3 三支決策

三支決策是以決策理論的粗糙集為依據，假設U是一個有限且非空的集合，R?U × U是等價關系，U可以被R分開，形式為U／R＝｛［x］｜x∈U｝，且閾值需滿足0 ≤β ＜α≤1。因此，集合U可以被閾值分為3 個區域，分別表示為：

Yao［16］深入對閾值和3 個區域的語義做出補充解釋，利用最小風險貝葉斯理論提出了由2 個狀態和3 個行動組成的決策理論粗糙集。Ω＝｛A，? A｝為設施的狀態集，對于?A?U，Pr（A ｜［x］）＝｜［x］ ∩A ｜ ／ ｜x ｜，其表示條件概率，是x可能處于狀態A的可能性，而相對貼近度表示的是方案Tx處于狀態A的可能性。因此，用RC（Tx）來估計設施中心的條件概率Pr（A ｜Tx）。AA＝｛aP，aB，aN｝ 為行動集，其中，aP、aB、aN分別表示x∈POS（A），x∈BND（A）、x∈NEG（A）。不同行動風險的損失函數λ見表1。

表1 損失函數Tab.1 Loss function

根據貝葉斯理論，將3 個區域即三支決策規則和對應閾值表示如下：

如果Pr（A ｜［x］）≥a，x∈POS（A）；

β ＜Pr（A ｜［x］）＜a，x∈BND（A）；

Pr（A ｜［x］）≤β，x∈NEG（A）；

則閾值定義為：

決策閾值是通過專家對設施的屬性評估計算的，其步驟如下：

（1）對每個評估屬性構造損失函數矩陣。本文評價屬性是用直覺模糊數zxy＝（UA，VA）表示。Jia等人［17］指出需為每個屬性確定最大值與最小值，效益型屬性形式為：zmax＝（1，0）、zmin＝（0，1），成本型屬性形式為zmax＝（0，1）、zmin＝（1，0）。然后構造每個選中設施中每個屬性的損失函數矩陣如下：

其中，風險規避系數0 ≤σ ＜0.5，突發災害事件下收集的信息越多σ越大。為了方便計算，在不同的屬性評估下，σ取值相同。分別表示第y個屬性最大和最小評估值。

（2）綜合多屬性損失函數，將第x個設施的多個屬性聚集，得到損失函數矩陣為：

（3）計算決策閾值。對綜合的損失函數矩陣，可以獲得每個設施中心的決策閾值，表示為：

依據閾值可以得出三支決策規則：

如果Pr（A ｜Tx）≥ax，Tx∈POS（A），說明設施中心首先需要進行建設；如果βx ＜Pr（A ｜Tx）＜ax、Tx∈BND（A），表明設施中心為第二梯度，需要更多的信息進行建設分析；如果Pr（A ｜Tx）≤βx、Tx∈NEG（A），意味著設施作為第三梯度，無需先進行建設。

3 算例分析

為了驗證所構建模型及決策的可行性，本文通過新冠疫情數據進行優化與決策分析，確定最優選址方案和評估順序方案，確定建立的應急臨時中心點選址布局的拓撲結構。

3.1 參數設置

以2020 年湖北武漢新冠疫情救援為例，截止2020 年11 月，在該疫情中全國已有92 476人感染新冠病毒，導致多人死亡，給國家和人民帶來了巨大災難。其中湖北武漢的災害最為嚴重，災害期間的救助意義非凡。為了協調防護物資的高效便捷快速發放，以醫院作為需求點（武漢市的16 個大型醫院），而臨時中心的位置需要交通順暢，靠近需求醫院。根據條件，篩選了8 個符合條件的設施中心，倉庫需要能夠大量存儲救助物資，采用租賃3 個物流園區作為供應點。供應點、備選設施中心、需求點的地理位置關系及序號如圖1 所示。

圖1 需求點與備選點地理位置示意圖Fig.1 Geographic location diagram of demand points and alternative points

根據各醫院的救助數量、疫情嚴重程度，并結合各醫院請求的數據，預估各醫院的名義需求數量，即確定性模型數量d，16 個醫院需求點需求di。

8 個備選臨時中心的服務能力Qhj和3 個候選供應倉庫的服務能力Qsk見表2。運用CPLEX 編程分支－切割算法，求解確定性模型與多面體不確定需求集的魯棒模型，具體結果見表2。

表2 模型數據Tab.2 Model data

3.2 結果分析

通過CPLEX 對優化模型求解，確定性模型最優解見表3。在受到擾動時顯得無能為力，其優化解也往往偏離實際情況，對模型的質量和可行性有著巨大影響，不能滿足優化過程中所面臨的風險和不確定性環境。

表3 確定性優化方案Tab.3 Deterministic optimization scheme

多面體集魯棒優化解隨著不確定水平參數Γu的變化，建立的臨時中心見表4。隨著Γu的增加，需求差發生明顯的變化，且開放的臨時中心數目也有增加。當3＞Γu≥0 時，模型的需求差為0，所選的臨時中心可以滿足需求點需求；當Γu ＞3 時，雖然需求差值為0，但還需要增加臨時中心數量來滿足需求波動；當不確定水平大于5 時，需求差值顯著增加，說明不確定程度越大，醫院的需求越難以滿足，擾動比例越小，模型的魯棒性越強。

表4 多面體集的最優方案Tab.4 The optimal scheme for polyhedron set

本文對Γu＝8 時的方案進行評估，對優化的備選方案進行排序。通過救災文獻調查以及專家討論，確定了土地可用性、貨車可達性、飛機可達性、安全性、基礎設施供應性、勞動力供應性、位置可選性、感染數量等8 個屬性。依據文獻［16］的研究，將專家的原始直覺模糊語言評價值轉化為直覺模糊數，將數量區間值標準化，再將標準化的區間值轉化為直覺模糊數，得到直覺模糊決策矩陣。可從決策規則和表5 中進一步獲得三支決策分類結果。

表5 σ＝0.4 的條件概率和決策閾值Tab.5 Conditional probabilities and decision thresholds σ＝0.4

分類結果POS（A）＝｛T3，T1，T2｝，BND（A）＝｛T6｝，NEG（A）＝｛T8，T7｝。結果表明，應該首先建設轉運中心T3，T1，T2；需要更多的信息對T6進行是否首先建設分析；T8，T7設施作為第三梯度，無需先進行建設。優化的設施中心－分配服務網絡的拓撲結構如圖2 所示。

圖2 Γ＝8 時選址－分配網絡的拓撲結構Fig.2 Location－distribution network topolog when Γ＝8

本文對文獻［11］ 中直覺模糊信息下基于VIKOR 的目標評估方法做了對比分析。以設施選址評估為例，驗證本文的有效性。兩種目標評估方法在相應參數設置下的評估結果如圖3 所示。

圖3 評估結果Fig.3 Evaluation results

可以看出，本文評估得到的目標排序結果與VIKOR 算法得到的排序結果完全一致，在不同決策機制系數下的一致性較好。T1、T2、T3都是緊急的方案，說明本文方法的合理性，但VIKOR 算法無法自動給出目標的客觀分類結果。本文在得到目標排序的基礎上，可以進一步得到客觀的分類結果，無需主觀劃分等級和人為選擇優先方案數量，更加適應于復雜多變的災害疫情態勢。

4 結束語

本文為應急設施選址的決策提供了魯棒優化模型和求解方法，相比于確定性模型，魯棒模型符合實際，可以滿足不確定性，優化最差情形的解。本文首先以總需求差最小化為目標，均衡多重約束條件建立魯棒整數規劃模型后，運用直覺模糊Topsis 法對設施中心進行評價，并利用三支決策對設施中心進行分類；最后以武漢臨時轉運中心選址為例，對不同的安全參數進行靈敏度分析，分別獲得設施選址集，給出應急設施－分配的拓撲結構。驗證了魯棒優化和三支決策的可行性，突出三支決策的優勢，為決策者提供不同風險偏好的優先方案。