基于模糊粗糙集的區間集決策表不確定性度量

唐鵬飛

（四川師范大學 數學科學學院，成都 610066）

0 引 言

粗糙集理論是不確定性分析與智能計算的有效數學工具［1］。目前已廣泛應用于屬性約簡、三支決策和粒度計算等領域［2－4］。

模糊粗糙集將粗糙集和模糊集理論相融合，結合了兩者在處理不確定問題方面的優點［5］。目前基于該模型已有諸多研究，例如：文獻［6］基于模糊粗糙集提出一種快速約簡算法；文獻［7］基于距離尺度提出模糊粗糙集模型，定義新的依賴度函數，進而構建其約簡算法；文獻［8］提出廣義正交模糊粗糙集模型，并構建了該模型的屬性約簡；文獻［9］引入決策熵到模糊鄰域粗糙集中，刻畫其不確定性?？梢娔：植诩且环N強健的模型結構，值得進一步推廣使用。

區間集決策表拓展了經典決策表，其屬性值為兩個精確集（即用上下邊界集來表示一個不確定概念），從而具有更好的不確定性刻畫能力，當前具有深入研究［10］。例如：文獻［11］基于優勢關系，提出4 個基于粒度的區間集信息表的不確定性度量；文獻［12］將區間集引入到概率粗糙近似中，研究區間集概率粗糙集的單調性；文獻［13］基于δ－相似關系，研究區間集信息表的不確定性度量；文獻［14］提出決策條件熵刻畫區間集決策表的不確定性；文獻［15］提出修正δ－區間決策條件熵刻畫區間集決策表的不確定性。

綜上所述，基于模糊粗糙集的區間集決策表不確定性度量研究暫未發現。因此，本文將模糊粗糙集引入到區間集決策表，研究其不確定性度量。首先，基于模糊粗糙集，提出模糊近似粗糙度和模糊近似精度；其次，在信息論視角下，提出模糊粒結構和模糊條件熵；最后，將兩者進行信息集成，提出一種基于模糊粗糙集的混合不確定性度量，并研究了相關性質。

1 預備知識

1.1 模糊粗糙集理論

模糊決策表記為FDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，其中論域U＝｛x1，x2，…，xn｝ 是一個非空有限對象集，C，D分別表示條件屬性集與決策屬性集，V＝∪a∈ATVa是屬性值集，f：U × AT→V是（x，a）→μa（x）的信息函數，這里μa（x）∈［0，1］ 表示對象x在屬性a下的屬性值。

定義1［5］在FDS中，模糊相似關系可由式（1）的相似度導出：

其中，RB（x，y）∈［0，1］ 表示對象x和y在屬性集B下的相似度。模糊相似關系可導出相應的模糊相似類，式（2）：

以及模糊相似分類，式（3）：

決策劃分U／D＝｛D1，…，Dm｝，其中Dh（1 ≤h≤m）表示決策類。實際上Dh可以看成是一個特殊的模糊集，即式（4）：

其中，如果xj∈Dh，則Rhj＝1；如果xj?Dh，則Rhj＝0，1 ≤j≤n。

定義2［5］在FDS中，對象x在條件屬性集B下，關于模糊集的模糊下、上近似分別為式（5）：

1.2 區間集決策表

定義3描述了對象之間的關系，因對象在條件屬性下的取值為區間集，帶有模糊性，考慮到模糊粗糙集模型處理模糊數據的優越性，下面將其引入到區間集決策表研究不確定性度量。為此，首先建立模糊粗糙集模型。

2 基于模糊相似關系的模糊粗糙集模型

基于定義1、3，相似關系也可視為論域U上的二元模糊相似關系。基于模糊相似關系，定義條件屬性子集的模糊相似類及關系矩陣，推廣模糊上下近似算子，并研究其相關性質。下面先給出模糊相似類的定義。

定義4設區間集決策表IDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，條件屬性子集B?C，B誘導的模糊相似關系記為為U上的決策模糊集，則模糊集關于屬性B的模糊下、上近似分別為式（7）：

3 區間集決策表的不確定性度量

經典決策表的不確定性度量是基于等價關系提出的，不適用于區間集決策表。本節基于模糊粗糙集模型，定義區間集決策表不確定性度量的相關概念和性質，并在理論上加以證明。

3.1 模糊近似粗糙度和模糊近似精度度量

基于模糊粗糙集模型，給出區間集決策表中的不確定性度量概念：模糊近似精度和模糊近似粗糙度。其通過粗糙集邊界域的視角去刻畫區間集決策表的不確定性。

定理3 表明，模糊近似精度、模糊近似粗糙度具有關于屬性的粒化單調性，能夠度量上、下近似產生的不確定性。

3.2 基于模糊條件熵的混合不確定性度量

模糊近似粗糙度從邊界域角度刻畫了區間集決策表的不確定性，忽略了知識劃分對區間集決策表不確定性的影響，下面引入模糊條件熵，提出一種基于模糊條件熵的混合不確定性度量來多角度地度量區間集決策表的不確定性。在此之前，先基于模糊相似關系，定義模糊粒結構。

定理4設區間集決策表IDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，屬性子集A，B?C，由A，B決定的模糊粒結構分別為G（A），G（B）。則下列結論成立。

（1）FH（D ｜A）≥0，FH（D ｜B）≥0

（2）如果G（B）＝G（A），則FH（D｜B）＝FH（D｜A）

（3）如果A?B，則FH（D ｜A）≥FH（D ｜B）

證明（1）由定義可知顯然成立。

定理4 表明，模糊條件熵滿足不確定性公理化定義的非負性、不變性、單調性，是一種有效的度量方式，但其只能刻畫?；Y構的不確定性。

在定義8 中，模糊近似粗糙度從代數角度描述近似分類的不確定性，本質上是衡量區間集決策表中所包含有效知識的量，而定義10 中模糊條件熵從信息角度度量?；Y構的不確定性，本質上是通過?；Y構的每個粒子平均所含信息量的大小對不確定性進行刻畫。由于模糊近似粗糙度和模糊條件熵兩者都滿足單調性，且兩者是從不同視角度量區間集決策表的不確定性，各自具有優越性。因此，為了對區間集決策表的不確定性達到一種更為全面的評估，下面提出一種基于模糊條件熵的混合不確定性度量來刻畫區間集決策表的不確定性。

定義11設區間集決策表IDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，屬性子集B?C，決策劃分U／D關于B的模糊近似粗糙度與模糊條件熵分別為fρB（U／D），FH（D ｜B）。那么基于模糊條件熵的混合不確定性度量為式（20）：

定理5設區間集決策表IDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，屬性子集A?B?C，那么混合不確定性度量滿足式（21）：

基于定義11 的乘積融合定義，定理5 所述的?；瘑握{性自然成立?；旌喜淮_定性度量融合了模糊近似粗糙度和模糊條件信息熵的優點，既能度量上、下近似產生的不確定性，又能表征?；Y構變化時不確定性的變化，該度量與單一度量方式相比更加全面，可以彌補兩種度量之間的不足。

4 舉例分析

為了更好的說明本文提出的不確定性度量方法的有效性，下面通過一個實例來說明計算方法和結果。

舉例：區間集決策表IDS見表1［14］，其中U＝｛x1，x2，x3，x4，x5，x6｝，C＝｛a1，a2，a3｝，D＝｛d｝。

表1 區間集決策表Tab.1 Interval set decision table

通過計算得到屬性a1，a2，a3的模糊相似矩陣分別為。

假設A＝｛a1，a2｝，B＝｛a1，a2，a3｝，則屬性集A，B的模糊相似矩陣分別為SMA，SMB。

通過定義8 可得決策劃分U／D關于A，B的模糊近似精度和模糊近似粗糙度分別為：

fαA（U／D）＝0.42，fρA（U／D）＝0.58，

fαB（U／D）＝0.52，fρB（U／D）＝0.48，

fαA（U／D）≤fαB（U／D），fρA（U／D）≥fρB（U／D）。與定理3 一致。

通過定義10 可得決策劃分U／D關于A，B的模糊條件熵分別為：

FH（D ｜A）＝1.01，FH（D ｜B）＝0.97.

則FH（D ｜A）≥FH（D ｜B），與定理4 一致。

通過定義11 可得決策劃分U／D關于A，B的混合不確定性度量分別為：

FMUM（D ｜A）＝0.59，FMUM（D ｜B）＝0.46。

則FMUM（D ｜A）≥FMUM（D ｜B），與定理5一致。

5 結束語

本文通過引入模糊粗糙集模型，定義模糊近似粗糙度和模糊條件熵，并將兩者進行信息融合，提出一種基于模糊條件熵的混合不確定性度量，其從兩個不同的角度刻畫區間集決策表的不確定性，是一種更加全面、有效的度量方法。實例表明，所提度量對研究區間集決策表的不確定性具有指導作用。在未來工作中，可將本文所提度量用于構建區間集決策表的屬性約簡。