關(guān)于“三門(mén)問(wèn)題”數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與思考

周裕燕

1“三門(mén)問(wèn)題”的來(lái)源和描述

三門(mén)問(wèn)題（Monty Hall problem）亦稱為蒙提霍爾問(wèn)題，出自一檔娛樂(lè)節(jié)目.參賽者會(huì)看見(jiàn)三扇關(guān)閉了的門(mén)，其中一扇的后面有一輛汽車，選中后面有車的那扇門(mén)可贏得該汽車，另外兩扇門(mén)后面則各藏有一只山羊.當(dāng)參賽者選定了一扇門(mén)，但未去開(kāi)啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人開(kāi)啟剩下兩扇門(mén)的其中一扇，露出其中一只山羊（主持人事先知道門(mén)后的情況）.主持人其后會(huì)問(wèn)參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門(mén).問(wèn)題是：換另一扇門(mén)會(huì)否增加參賽者贏得汽車的可能性？

2學(xué)生的思路及初步共識(shí)

這道題實(shí)際上是博弈論的數(shù)學(xué)游戲問(wèn)題，學(xué)生興致很高，教師不做任何的加工和提煉，給足時(shí)間，讓學(xué)生獨(dú)立地讀題，重述問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)分析、討論，形成以下思路：

學(xué)生1：三扇門(mén)中打開(kāi)任何一扇門(mén)，后面是汽車的概率都是1/3，換與不換贏得汽車的概率不變.

學(xué)生2：在主持人打開(kāi)門(mén)之前，事件空間即車的位置有3種可能，參賽者有1/3的可能拿到車.當(dāng)主持人開(kāi)啟剩下兩扇門(mén)的其中一扇的時(shí)候，這時(shí)候事件空間發(fā)生了變化，只有兩種可能，汽車要么在參賽者所選的這個(gè)門(mén)中，要么在剩下的未被選擇的那扇門(mén)中，因此換不換的概率都為1/2.

學(xué)生3：結(jié)果只有兩種可能，汽車要么在參賽者所選的這個(gè)門(mén)中，要么在剩下的未被選擇的那扇門(mén)中.如果不換，那么參賽者贏得汽車的概率不變，還是1/3，如果換的話，贏得汽車的概率應(yīng)是2/3.

問(wèn)題1參賽者不知道三扇門(mén)后面有什么，打開(kāi)每扇門(mén)都是等可能的，選中汽車的概率是1/3.但是主持人事先知道門(mén)后的情況，主持人開(kāi)啟剩下兩扇門(mén)的其中一扇，露出其中一只山羊，在這種情況下，剩下的兩扇門(mén)，換與不換選中汽車的概率是否還都是1/3？

問(wèn)題2在主持人開(kāi)啟剩下兩扇門(mén)的其中一扇，參賽者換與不換選中汽車的概率是否等可能？

學(xué)生4：不是等可能的.參賽者是事先就作出了選擇，不換的話，贏得汽車的概率還是1/3;因?yàn)槠囈欢ㄔ谑Ｏ碌膬缮乳T(mén)后面，所以換的話，贏得汽車的概率應(yīng)是2/3.

經(jīng)過(guò)分析、辯論，達(dá)成初步共識(shí)：在初始狀態(tài)，每扇門(mén)后有車是等可能的;若主持人打開(kāi)門(mén)是隨機(jī)的，剩下的門(mén)就保持等可能性，若主持人打開(kāi)門(mén)不是隨機(jī)的，等可能性可能被打破.

3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

教師指導(dǎo)1：三門(mén)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于決策和博弈的認(rèn)知問(wèn)題，在這個(gè)擁有信息相對(duì)較多的博弈和推理過(guò)程中，用頻率進(jìn)行推理優(yōu)于用概率進(jìn)行推理.在重復(fù)博弈的場(chǎng)合，采用符合直觀的、自然的頻率來(lái)推理比采用概率來(lái)進(jìn)行推理更為恰當(dāng)，更適用.現(xiàn)在設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，計(jì)算得到“汽車”的頻率來(lái)進(jìn)行推理.

設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)：我們用3張完全相同的卡片代替三扇門(mén)，在3張卡片上分別寫(xiě)上“羊”“羊”“車”，并將有字的那面倒扣在桌面上.三人一組，一人為參賽者，一人為主持人，一人記錄，總共16組，其中8組的參賽者選擇換，另8組的參賽者選擇不換，每組做100次實(shí)驗(yàn)，各組記錄拿到寫(xiě)有“車”字樣卡片的頻數(shù).

學(xué)生實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，根據(jù)數(shù)據(jù)，由學(xué)生分別計(jì)算選擇“換”與“不換”的頻率.

學(xué)生5：我們選擇“不換”的小組，拿到寫(xiě)有“車”字樣卡片的頻率約為33.5%.

學(xué)生6：我們選擇“換”的小組，拿到寫(xiě)有“車”字樣卡片的頻率約為66.%.

問(wèn)題3從統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)中我們發(fā)現(xiàn)前面哪位學(xué)生的結(jié)論相對(duì)比較可靠？

學(xué)生7：因?yàn)?3.5%比較接近1/3，66.3%比較接近2/2，感覺(jué)學(xué)生4的結(jié)論比較可靠.

學(xué)生自己的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，或信息技術(shù)開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、采集數(shù)據(jù)，并通過(guò)數(shù)據(jù)分析，用頻率估計(jì)概率，進(jìn)行驗(yàn)證，得出結(jié)論，體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的魅力.

4利用模型解決問(wèn)題

教師指導(dǎo)2：要解決“三門(mén)問(wèn)題”，必須要有準(zhǔn)確信息：三扇門(mén)中只有一扇門(mén)的后面有汽車，其余兩扇門(mén)的后面都是山羊;汽車事前是隨機(jī)地被放置于其中一扇后面;參賽者事先不知道門(mén)后面是什么，他在三扇門(mén)中隨機(jī)選擇一扇;主持人知道每扇門(mén)后面是什么;如果參賽者選擇了一扇門(mén)后有山羊的門(mén)，主持人必須選擇打開(kāi)另一扇門(mén)后有山羊的門(mén)，如果參賽者選擇了門(mén)后有汽車的門(mén)，主持人必須隨機(jī)在另外兩扇門(mén)中選擇一扇;參賽者會(huì)被問(wèn)是否保持他的原來(lái)選擇，還是轉(zhuǎn)而選擇剩下的那一扇門(mén).我們假定參賽者選門(mén)1，主持人從剩余兩扇門(mén)中選擇一扇門(mén)后不是汽車的門(mén)打開(kāi)，主持人問(wèn)參賽者要不要換另一扇仍然關(guān)上的門(mén).

4.1枚舉法

問(wèn)題4什么是古典概型？這道題中求“換”與“不換”的概率模型是否是古典概型？如果是，應(yīng)該怎么求概率？

學(xué)生8：滿足試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，且試驗(yàn)中每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等的概率模型稱為古典概型.

學(xué)生9：這道題中求“換”與“不換”的概率模型滿足上述條件，是古典概型，我們可以用枚舉法求概率.

因此，如果在被主持人打開(kāi)的門(mén)中，門(mén)后有汽車的門(mén)所占比例小于總體中隨機(jī)選一扇門(mén)贏得汽車的概率，那么更換選擇對(duì)競(jìng)賽者來(lái)說(shuō)可提高贏得汽車的概率;反之，堅(jiān)持原來(lái)的選擇贏得汽車的概率更高.

6總結(jié)與反思

通過(guò)對(duì)“三門(mén)問(wèn)題”數(shù)學(xué)建模教學(xué)的總結(jié)與反思，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)注重以下幾點(diǎn)方面.

（1）從讀題到形成基本思路的過(guò)程中，要給學(xué)生充足的時(shí)間、思考、交流.

（2）教師要最大限度地激發(fā)學(xué)生的興趣和探索意識(shí)，要采取循序漸進(jìn)的方法，由簡(jiǎn)到繁，由易到難的順序，滲透數(shù)學(xué)建模的思想和方法，逐步提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解和認(rèn)識(shí)，從而提高數(shù)學(xué)建模成功的機(jī)會(huì)和解決問(wèn)題的效率.

（3）應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).在數(shù)學(xué)建模中，借助計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算、證明猜想、模擬仿真、顯示圖形以及解決實(shí)際問(wèn)題、探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，有利于幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)建模中的模型求解與數(shù)值計(jì)算等難點(diǎn).

（4）教師應(yīng)重視思路引導(dǎo)和知識(shí)拓展，提高學(xué)生將現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化的能力，深化學(xué)生對(duì)模型的理解.

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力是教學(xué)的必備要求，我們要勤于實(shí)踐、善于總結(jié)，不斷提煉出具體可行的教學(xué)策略，努力提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，使學(xué)生善于用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去分析和解決問(wèn)題，使數(shù)學(xué)教育的價(jià)值真正落實(shí)到了“應(yīng)用”上.