著眼數(shù)學(xué)建模 提煉解題思路

蔣昊

1問題提出

在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.作為核心素養(yǎng)之一的“數(shù)學(xué)建模”，是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在現(xiàn)實(shí)情境的基礎(chǔ)上，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，發(fā)展“四能”，達(dá)到“三會(huì)”.由此可見，課程標(biāo)準(zhǔn)十分注重學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)，以此激發(fā)學(xué)生自主思考，促進(jìn)學(xué)生合作交流，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.應(yīng)用題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用思維，內(nèi)化數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要抓手.不僅在課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，在高考和各級(jí)的模擬考試中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題也是非常重要的題型之一.因此，研究數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)是極其重要的.本文從一道高考數(shù)學(xué)模擬題入手，嘗試闡述具有幾何圖形背景的應(yīng)用題教學(xué)的實(shí)踐和思考.

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決實(shí)質(zhì)上是主體在數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控下，擺脫情節(jié)結(jié)構(gòu)、建立并處理數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的一種數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng).通常解題流程分為：“審題——建模——解模——還原”四個(gè)步驟（見圖3）.其中“建模”和“解模”是解決應(yīng)用題最為關(guān)鍵的兩個(gè)環(huán)節(jié)，也是學(xué)生最無從入手的部分.例1是以江蘇南通傳統(tǒng)手工藝品風(fēng)箏為問題情境，以圖形為背景，以求值為目的的應(yīng)用問題.本道題的第（1）問難度小，學(xué)生操作解決較為容易，文中不再剖析.而第（2）問是屬于典型的“動(dòng)態(tài)圖形求最值問題”，相較第（1）問的靜態(tài)求值問題難度較大.本課的教學(xué)重點(diǎn)即為幫助學(xué)生解決“建模”和“解模”的困難.

2.2追根溯源，尋找“動(dòng)”因建模

在學(xué)生充分閱讀題目，理解題意后，筆者針對(duì)第（2）問設(shè)計(jì)了下列一組問題：

問題1為什么點(diǎn)A'到AB會(huì)有距離的最大值？這是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題還是一個(gè)靜態(tài)問題？

問題2追根溯源，導(dǎo)致A'到AB距離變化的“源頭”是什么？

問題3對(duì)于變化的“源頭”，能有辦法刻畫嗎？

設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)這組問題是讓學(xué)生明了本題是個(gè)動(dòng)態(tài)求值問題，A'到AB的距離是在變化的，因而才會(huì)涉及求距離最值問題.進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)距離變化的“源頭”.課堂教學(xué)中學(xué)生提出兩類想法：有學(xué)生提出“是因?yàn)锳'點(diǎn)位置的變化才導(dǎo)致A'到AB的距離變化，所以源頭是點(diǎn)A'”.教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考如何引入?yún)?shù)刻畫動(dòng)點(diǎn)A'，建系設(shè)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（x，y）的想法也就自然而然地迸發(fā)出來了，我們需要解決的就是y的最大值.至此就把一道實(shí)際的應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為解析幾何模型.

課堂教學(xué)中有學(xué)生提出“是因?yàn)椤螦EF的變化才導(dǎo)致A'到AB的距離變化，所以源頭是∠AEF”.此時(shí)教師則可以引導(dǎo)學(xué)生考慮設(shè)∠AEF=θ，將參數(shù)θ引入進(jìn)來，思考能否用θ來表示點(diǎn)A'到AB的距離，也就是將這道實(shí)際的應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為三角模型處理.

2.3緊扣圖形，緊抓“定”性解模

問題4題中要求對(duì)紙張進(jìn)行翻折，就數(shù)學(xué)本質(zhì)而言這是哪類問題？

問題5前面已經(jīng)分析過，“翻折”是個(gè)動(dòng)態(tài)過程，在此過程中有固定不變的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型之后，教學(xué)中需要考慮如何幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“解模”.在解模過程中，要引導(dǎo)學(xué)生緊扣圖形，盡管是動(dòng)態(tài)圖形，還是要能夠“動(dòng)中取靜”.引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)態(tài)過程中，尋找到固定的性質(zhì)，并以此為抓手突破解模.本題的“抓手”在于這是一個(gè)翻折問題，就其本質(zhì)而言是一個(gè)“軸對(duì)稱”問題，也可以理解為是一個(gè)“全等變換”問題.由此衍生出來的性質(zhì)特征是能幫助學(xué)生解模的.設(shè)計(jì)這組問題能讓學(xué)生明確本題動(dòng)態(tài)變換的實(shí)質(zhì)，基于不同角度觀察都能發(fā)現(xiàn)固定不變的關(guān)系.從學(xué)生建立的解幾模型出發(fā)，在翻折過程中點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于直線EF對(duì)稱是恒定不變的;從學(xué)生建立的三角模型出發(fā)，在翻折過程中△AEF≌△A'EF，即∠AEF=∠A'EF=θ是恒定不變的.這些關(guān)系都是解模的關(guān)鍵所在.當(dāng)然，學(xué)生從中也能發(fā)現(xiàn)其他不變的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合引入的參數(shù)從中甄別出有助于解題的不變關(guān)系，

基于上述兩個(gè)維度的分析，從而形成了圖4較為清晰的解題方案.

2.4實(shí)施方案，完善解題過程

在確定解題方案后，課堂上以獨(dú)立實(shí)施方案的方式解答問題，并在各自完成解答的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組合作交流，完善解題過程，從而形成以下兩種模型的解題路徑，為后續(xù)解法的遷移，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3結(jié)語

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.教學(xué)中，教師應(yīng)注重思考情境和問題的設(shè)計(jì)，這是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的支撐點(diǎn).教師應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，從自己提出問題和假設(shè)，到自己建模，到自己運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和工具求解，再到自己解釋結(jié)果.在此過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生如何開展建模活動(dòng)，如何交流合作.教師不僅要關(guān)注建模結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)習(xí)過程，要注重思考教學(xué)過程中的激勵(lì)和學(xué)習(xí)評(píng)價(jià).

本文重點(diǎn)對(duì)“幾何圖形背景”一類中“動(dòng)態(tài)圖形求最值”相關(guān)應(yīng)用題的建模、解模的教學(xué)過程做了些探索，對(duì)于其他類型的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題我們也可以對(duì)其進(jìn)行探究，嘗試形成能幫助學(xué)生突破建模、解模困境的教學(xué)范式，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)聯(lián)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.