高速列車非線性空氣懸架自適應反步控制研究

李 碩，馬 順，李艷山，王 宇，陳曉龍

（中車青島四方機車車輛股份有限公司，山東 青島266580）

高速列車的懸架系統對列車的平穩運行發揮著非常重要的作用[1-3]。傳統的列車懸架系統由一系懸架組成，不存在控制系統，平穩性相對較差。高速列車在一系懸架的基礎上增加二系空氣懸掛，使得列車舒適性大大增加，空氣懸架的應用對于提高高速列車的平順性和舒適性具有巨大的作用。

目前對于高速列車懸架系統的研究，主要集中在懸架系統控制算法以及懸架結構和參數優化方面。如鄧力等[4]針對傳統半主動控制的缺陷，提出了開閉環優化控制算法，大大提高了列車橫向運動的穩定性。曹青松等[5]考慮了列車在運行過程中的干擾，利用標準正交基函數進行預測控制。閆紅衛等[6]比較了連續型和開關型天棚阻尼控制的優缺點，提出了適用于不同場合的控制方式。于日偉等[7]建立的耦合系統包括座椅、車體和轉向架，并提出懸掛參數聯合優化方法。崔慶霞等[8]和陳志輝等[9]通過準零剛度隔振方法，在二系懸掛結構中加入一對橫向線性彈簧，使車體的垂向振動明顯減小。

以上學者在研究過程中，忽略了懸架系統非線性對于控制效果的影響。由于二系懸架為空氣懸架，存在著許多非線性因素，這些非線性因素在一定的載荷激勵和頻域范圍內表現十分突出，對控制效果具有非常大的影響，且線性控制策略并不適合于非線性系統[10]。因此本文著重研究二系空氣懸架的非線性特性，并通過仿真分析了不同速度以及干擾下的車體的振動情況，為后續高速列車的平順性控制研究奠定了基礎。

1 建立模型

1.1 系統模型的建立

二系懸掛的核心是空氣彈簧，而空氣彈簧具有典型的非線性特性[11]，采用一般的線性控制方式會產生比較大的控制偏差。因此本文通過研究空氣彈簧的非線性進而對整個懸架系統進行非線性控制。本文選用前進牌1884N 型橡膠空氣彈簧，并在文獻[12]的研究基礎上，利用其實驗得出的數據，進行空氣懸架的控制研究。本文選取高速列車2自由度非線性空氣懸架作為研究對象，并假設車輪在軌道運行過程中不脫離軌道面，其模型簡圖見圖1。

圖1 懸架系統模型

根據牛頓第二定律，其運動學方程可描述為

其中：

式中：ms為車體質量；mu為轉向架質量；Fk為二系空氣懸架剛度，k1,k2,k3為空氣彈簧的剛度系數；Fc為二系空氣懸架阻尼；bc1為空氣彈簧的阻尼系數；u為主動懸架的控制力；Fs為系統受到不確定的外部擾動，因為受到的外部擾動不可能無限大，因此該外部擾動是有界的；Ft為一系懸架剛度系數；Fb為一系懸架阻尼系數；zs為車體的位移；zu為轉向架的位移；z0為軌道激勵輸入。

1.2 路面激勵模型的建立

本文所采用的路面輸入為德國軌道高低不平順功率譜密度[7]，其表達式如下所示：

式中：z0為高速軌道路面不平順輸入，v為列車行駛速度，Ωc、Ωr為截斷空間頻率，Av為軌道粗糙度系數。

2 自適應反步控制器設計

2.1 控制器設計

式中：參數θ有界，即θmin≤θ≤θmax；Fs有界，即Fs≤D；且：

針對上述狀態空間方程設計控制器，取跟蹤誤差為

式中：x1r為參考軌跡信號，當跟蹤誤差盡可能的小，會達到控制的目標。對上式進行求導可得：

選擇x2作為誤差動態的虛擬控制輸入，其理想函數為α，則兩者之間的誤差為

則公式(5)可以重新寫為

因此，該控制器的目標是設計一個虛擬控制率α，使得跟蹤軌跡誤差e1盡可能的小，選擇第一個Lyapunov函數為

對上式進行求導可得：

選擇如下的虛擬控制率：

式中：t1為一個正常數。則式(9)可以改寫為

從上式可以看出，當e2→0 時，那么V˙1= -t1e21≤0，就可以保證e1是漸進趨近于零的。

對e2進行求導可得：

為了消除系統外部擾動對系統的影響，采用滑模控制的等效控制和切換控制的思想，選擇的控制律為

式中：t2為正實數，那么有：

取系統的自適應率為

則式(15)可以改寫為

由系統Lyapunov定律可知，隨著t→0，V2→0，則e1與e2也將趨近于0，則系統可以達到預定的目標。

為了削弱系統抖振帶來的危害，采用飽和函數代替符號函數的做法[13]，令控制律為

2.2 系統零動態響應

為了找到系統的零動態響應，令e1=0=0。因此可以得到：

將上式(19)代入到中，可以得到：

從上式可以看出，此2 階系統的所有特征根都具有負實部，具有Hurwitz 判據特征,因此該系統的零動態是漸近穩定的。

3 仿真驗證

3.1 模型參數選取

由于外部擾動信號有范圍，因此本文假設為

空氣彈簧參數選取參照前文所述文獻[12]，選取參數為0.8 MPa 下的空氣彈簧試驗擬合系數，其他系統參數選擇參照文獻[14]，具體數值如表1所示。軌道激勵參數選取如表2所示，低干擾譜采用的速度為300 km/h，高干擾譜采用200 km/h。控制器參數選取如表3所示，且控制器設計過程中的參考軌跡信號設置為0，即車體的參考信號為不振動，利用MATLAB/Simulink對系統進行控制仿真。

表1 懸架系統參數選擇

表2 軌道激勵參數選擇

表3 控制器參數選擇

3.2 低干擾300 km/h路面激勵響應

低軌道路面激勵模型如圖2所示，仿真時間為10秒。

圖3所示為車體的垂直振動位移仿真結果，圖4所示為車體的垂直振動加速度仿真結果，圖5所示為車體質量的變化曲線，圖6所示為車體的垂直振動位移功率譜密度曲線，圖7所示為車體的垂直振動加速度功率譜密度曲線仿真結果。

懸架系統的作用在于降低車體上乘客的振動，提高列車在運行過程中的平順性和舒適性。通過圖3以及圖4可以看出，在低干擾300 km/h的路面激勵下，綜合考慮了車體質量的變化以及外部擾動的影響，所設計的控制器能夠非常好地降低車體的垂直振動和位移，同時圖6和圖7的頻域仿真結果驗證了時域的仿真結果，說明所設計的控制器的有效性，突出了控制器在降低車輛位移和振動的巨大作用。

圖2 路面激勵輸入

圖3 車體垂直位移響應

圖4 車體垂直振動加速度響應

圖5 車體質量變化

圖6 車體位移PSD

圖7 車體垂直振動加速度PSD

3.3 高干擾200 km/h路面激勵響應

低軌道路面激勵模型如圖8所示。仿真時間為10 秒。圖9所示為車體的垂直振動位移仿真結果，圖10所示為車體的垂直振動加速度仿真結果，圖11所示為車體質量的變化曲線，圖12所示為車體的垂直振動位移功率譜密度曲線，圖13所示為車體的垂直振動加速度功率譜密度曲線仿真曲線。

通過分析圖9至圖13可以發現，控制器不僅在低干擾300 km/h 的情況下具有非常好的控制效果，在高干擾200 km/h的路面激勵下依然能夠保持非常好的控制效果。該控制器使得懸架系統發揮了更加明顯的作用，不僅能夠使得系統抗外部擾動的性能更強，還可以減小車體在運行過程中的位移以及振動。由此驗證了控制器的有效性。

4 結語

本文在非線性空氣懸架的試驗基礎上，利用所得到的試驗數據建立2 自由度高速列車模型，進而針對該模型進行控制研究。在控制器設計時，既考慮到車體由于乘客數量的變化而出現的范圍波動，即參數的不確定性的情況，又兼顧了高速列車在運行過程中可能出現的擾動，因此所設計的自適應反步控制器不僅能夠解決系統非線性帶來的影響，而且能夠解決系統參數的不確定性影響，還可以依靠切換控制的思想來解決系統外部擾動帶來的影響。仿真結果顯示控制器可以有效地提升懸架性能，證明了控制器的穩定性，從而滿足了懸架系統的控制性能要求，使其能應對不確定參數和擾動對系統的影響，達到控制懸架系統增強高速列車的平順性和乘坐舒適性的目的。

圖8 路面激勵輸入

圖9 車體垂直位移響應

圖10 車體垂直振動加速度響應

圖11 車體質量變化

圖12 車體位移PSD

圖13 車體垂直振動加速度PSD