基于改進粒子群算法的齒輪傳動優化設計研究*

王 純，韓加好，吉 慶

(連云港職業技術學院 機電工程學院，江蘇 連云港 222000)

0 引 言

因其具有傳動效率高、可靠性高等優點,齒輪傳動被廣泛應用在機械設備的傳動系統中。隨著可靠性設計等設計方法的迅速發展，以及粒子群算法(particle swarm optimization algorithm，PSO)等智能優化算法的出現，為齒輪傳動這類非線性優化設計問題提供了新的優化設計方法[1-5]。

粒子群算法[6]是在1995年，由美國的KENNEDY J博士和EBERHART R博士受鳥類群體行為的啟發而共同提出的一種智能優化算法。自粒子群算法被提出后，因其具有收斂速度較快、編碼易實現等優點,受到許多專家學者的關注；同時，因其參數較少，進一步降低了PSO算法的復雜度。但是該算法也存在容易陷入局部極值、早熟收斂等缺點。

許多專家學者對PSO算法進行了深入研究，并針對其缺陷進行了改進。SHI Y等[7]在算法模型中引入慣性權重系數，對速度更新方程進行了改進，這種方式隨后被廣泛應用并得以驗證。在改進慣性權值思想的引導下，研究人員EBERHART R等[8，9]提出了線性遞減權值(LDIW)策略、隨機慣性權值策略(RIW)。陳貴敏等[10]在線性遞減權值策略的基礎上，提出了3種非線性的權值遞減策略。

為使粒子群算法達到全局探索與局部開采兩者之間的有效平衡，CLERC M[11]構造了引入收縮因子的PSO模型[12]。EBERHART R等[13]分析了比較慣性權重系數和收縮因子對算法性能的影響，并認為收縮因子能更有效地控制約束粒子的飛行速度，有利于提高算法的收斂速度，增強算法的搜索能力。

為加快PSO算法的收斂速度，減小迭代次數，本文提出一種帶收縮因子的線性遞減權重粒子群算法(W-CPSO)，并利用該算法對齒輪傳動系統多目標可靠性優化設計模型進行求解，以驗證W-CPSO算法對齒輪傳動的優化設計的有效性，為齒輪傳動優化設計提供參考。

1 改進的粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

設D維函數優化問題為：

minf(x1,x2,…,xD)
s.t.ai≤xi≤bi

(1)

粒子群的基本參數如下：

粒子群中由n個粒子組成，第i個粒子表示一個D維向量xi=(xi1,xi2,…,xiD)T,{i=1,2,…,n},第i個粒子的速度vi=(vi1,vi2,…,viD)T,

個體極值為pi=(pi1,pi2,…,piD)T,全局極值pg=(pg1,pg2,…,pgD)T。

速度和位置更新公式為：

vij(t+1)=vij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+
c2r2[pgj-xij(t)]

(2)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1),j=1,2,…D

(3)

式中：c1，c2—學習因子；r1，r2—0～1之間均勻分布的隨機數。

1.2 改進的粒子群算法

1.2.1 線性遞減慣性權重的PSO算法

在基本粒子群優化算法基礎上，SHI Y等學者在1998年對公式(2)進行了修正，引入慣性權重因子ω，即：

vij(t+1)=ωvij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+
c2r2[pgj-xij(t)]

(4)

慣性權重因子ω既可以影響微粒的局部尋優能力，又可以影響微粒的全局尋優能力。這里采用線性遞減慣性權重，即：

(5)

式中：ωmax，ωmin—ω的最大值，最小值；t—當前迭代步數；tmax—最大迭代步數。

1.2.2 引入收縮因子

CLERC M等將收縮因子φ引入PSO算法，不僅證明了收縮因子有助于確保粒子群算法收斂，還提高了PSO算法的收斂速度；同時在一定程度上增強了PSO算法跳出局部最優解的能力。

因此，為加快算法的收斂速度，減小迭代次數，在公式(4，5)的基礎上引入收縮因子，即：

vij(t+1)=φ{ωvij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+
c2r2[pgj-xij(t)]}

(6)

式中：φ—收縮因子。

其中：

(7)

收縮因子φ與參數C的函數關系曲線，如圖1所示。

圖1 收縮因子φ與參數C的函數關系曲線

收縮因子φ控制粒子群算法的搜索能力。通過選取適當的收縮因子φ的值，可使PSO算法迅速搜索而快速收斂，進而提高PSO算法的收斂速度，增強算法的搜索能力。

CLERC M等提出，當C=4.1時，粒子群算法的收斂性能較好。筆者將C=4.1代入式(7)中，計算得到φ≈0.729。

綜上所述，筆者以基本粒子群算法為基礎，將線性遞減慣性權重和收縮因子引入算法中，有利于提高算法的收斂速度，增強算法的搜索能力。

1.3 改進粒子群算法的流程

為加快PSO算法的收斂速度，減少迭代次數，筆者將收縮因子和線性遞減慣性權重引入到PSO算法，故稱之為帶收縮因子的線性遞減權重粒子群算法(W-CPSO)。

其具體的流程如下：

Step1：初始化種群—設定初始種群N，種群規模D，迭代步數M。初始化種群各微粒的速度和位置，設定各微粒當前歷史最優位置pbest、微粒群全局最優位置gbest；

Step2：計算每個微粒的目標函數值，即適應值；

Step3：根據速度和位置更新式(6)和式(3)來調整微粒的速度和位置；

Step4：比較種群每個微粒當前位置的適應值與其經歷過最好位置pbest的適應值，如果當前適應值更優，則將其當前位置作為pbest；否則pbest不變；

Step5：比較每個微粒的適應值與全體微粒所經歷的最好位置gbest的適應值，如果優于gbest的適應值，則更新gbest的值，否則gbest不變；

Step6：若滿足終止條件，算法停止，否則返回Step3。

2 基于W-CPSO的齒輪傳動優化設計

此處以某二級斜齒圓柱齒輪傳動機構為例，其具體參數分別為：

功率P=6.4 kW，轉速n=1 460 r/min，總傳動比i=31.5；工況中等沖擊；每天工作10 h～12 h，使用壽命為15年；精度為8級。

2.1 確定設計變量

對于二級斜齒圓柱齒輪傳動系統可靠性優化設計來說，涉及設計參數及影響因素較多，為了使問題簡化，此處選取齒輪的主要參數作為優化設計的設計變量[14-17]：

X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7]T=
[mn1,mn2,z1,z3,i1,β1,β3]T

(8)

式中：mn1，mn2—高、低速級齒輪法向模數，mm；z1，z3—高、低速級的小齒輪齒數；i1—高速級傳動比；β1，β3—斜齒輪的螺旋角,°。

2.2 目標函數的確定

根據齒輪傳動的設計要求，在減輕重量降低成本的同時，也要兼顧傳動的平穩性、可靠性。因此，此處選取體積最小、重合度相反數最小為該設計的目標函數：

(1)體積：

(9)

式中：φd1，φd2—高速級，低速級齒寬系數；i—總傳動比。

(2)重合度：

(10)

2.3 統一目標函數

此處采用線性加權組合法將多目標問題轉換成單目標問題，權重系數分別取0.7和0.3。另外，二級斜齒圓柱齒輪傳動系統優化設計數學模型的兩個目標函數(重合度和體積)函數值數量級差異較大，即：單對齒輪的重合度函數值為1～2，而體積函數值的數量級為106。

綜上所述，統一后的目標函數為：

minf(x)=min[ω1f1(x)+ω2×106×(5+f2(x))]

(11)

2.4 約束條件的確定

(1)齒數約束

根據不發生根切最小齒數要求及設計經驗，對斜齒圓柱齒輪的齒數進行限制：

g1(x)=17cos3x6-x3≤0

(12)

g2(x)=17cos3x7-x4≤0

(13)

(2)模數約束

斜齒圓柱齒輪的模數需滿足：

g3(x)=2-x1≤0

(14)

g4(x)=2-x2≤0

(15)

(3)螺旋角約束

螺旋角的取值范圍8°≤β≤20°：

g5(x)=8-x6≤0

(16)

g6(x)=x6-20≤0

(17)

g7(x)=8-x7≤0

(18)

g8(x)=x7-20≤0

(19)

(4)幾何干涉約束

根據設計要求，高速級大齒輪(齒輪2)與低速軸(輸出軸)不發生干涉的條件為：

(20)

式中：a2—低速級中心距，mm；E—低速級軸半徑，mm；da2—高速級大齒輪齒頂圓直徑，mm。

(21)

(5)可靠性約束

根據設計要求及經驗可知：接觸疲勞強度的可靠度μ需不小于0.999，彎曲疲勞強度的可靠度μ也需不小于0.999，即：

[μ]H-μH≤0
[μ]F-μF≤0

(22)

根據應力—強度干涉理論可知：可靠度系數μR與可靠度存在一一對應關系，即：

[μ]RH-μRH≤0
[μ]RF-μRF≤0

(23)

根據給定的可靠度指標[μ]H和[μ]F的值，查正態分布表，可得[μ]RH和[μ]RF為3.093。

兩級齒輪使用的材料均為40Cr滲碳淬火，齒面硬度為55HRC，查表得:SlnσHS=0.1；σHS=1 200 MPa。

(24)

同理，查表得SlnσFS=0.2；σFS=720 MPa。

(25)

式中：SlnσFS—齒輪彎曲疲勞極限的對數標準差；σFS—齒輪齒根彎曲疲勞極限。

根據公式：

(26)

根據公式：

(27)

根據公式：

(28)

通過計算，可得：

(29)

根據公式：

(30)

計算得：

(31)

再根據公式：

(32)

(33)

代入公式并整理，可得高速級齒輪齒面接觸疲勞可靠性約束：

(34)

高速級齒輪齒根彎曲疲勞可靠性約束為：

(35)

同理，可得低速級齒輪齒根彎曲疲勞可靠性約束為：

(36)

低速級齒輪齒面接觸疲勞可靠性約束為：

(37)

2.5 優化結果分析

筆者采用PSO、W-CPSO算法對該實例中二級斜齒圓柱齒輪傳動系統進行多目標可靠性優化設計，并對設計的結果進行圓整，得到優化結果

各算法優化結果如表1所示。

表1 各算法優化結果

根據表1可知：

采用PSO算法，體積為2.31×106mm3，重合度5.56；采用W-CPSO算法，體積為1.94×106mm3，重合度5.59。

另外，高速級小齒輪當量齒數zv1=z1/cos3β1=16/cos312.2°=17.13>17(不發生根切)；

低速級小齒輪當量齒數zv3=z3/cos3β3=15/cos313.9°=16.5<17(發生根切)，為使低速級小齒輪不發生根切,小齒輪采用正變位。

PSO算法和W-CPSO算法適應度函數變化曲線如圖2所示。

圖2 PSO和W-CSO適應度函數變化曲線

根據圖2分析可知：

PSO算法在約170代時找到了最優解，而W-CPSO算法在約100代時找到了最優解，迭代次數減少，收斂速度加快。

筆者將各算法優化結果與原設計結果進行了比較，比較結果如表2所示。

表2 各算法優化結果比較表

根據表2對比可知：

(1)經PSO算法、W-CPSO算法優化后，與原設計比較，齒輪體積分別減少了28.3%、39.8%；(2)齒輪重合度分別增加了6.7%、7.3%。

優化結果表明，W-CPSO算法對二級斜齒圓柱齒輪傳動系統優化設計的結果合理，效果最好。

3 結束語

本文通過分析 ,得到了二級斜齒圓柱齒輪傳動系統可靠性優化設計的目標函數及約束條件 ,確定了該齒輪傳動系統可靠性優化設計的設計變量 ,建立了可靠性優化設計的數學模型；并利用帶收縮因子的線性遞減權重粒子群算法(W-CPSO)求解速度更快、精度更高的特點，對二級斜齒圓柱齒輪傳動系統可靠性優化設計的數學模型進行了求解。

研究結果顯示：經優化設計，齒輪傳動系統的體積減少了39.8%，重合度增加了7.3%；在實現了二級斜齒輪傳動系統輕量化的同時，也保證了傳動系統較高的承載能力，使傳動更平穩；該結果可為齒輪傳動系統的優化設計提供一定的參考。