具有網絡外部性的軟件市場的混沌動力學

劉 翠，周 偉

(蘭州交通大學 數理學院，蘭州 730070)

混沌系統是一種確定性的動態系統，它看起來是無序和隨機的[1].混沌理論的起源可以追溯到Lorenz[2]對天氣預報系統的研究.從數學上講，混沌指的是一種非常特殊的不可預測性對初始條件非常敏感的確定性行為.混沌動力系統初始條件的微小變化可能會導致動力學行為的巨大變化.在過去的幾十年中，人們研究了博弈模型的非線性動力學和混沌行為，在不同的情況下取得了顯著的成果[3].尤其在金融領域，人們已經采用混沌理論使他們的預測更有經驗上的魯棒性[4].此外，一些研究人員對供應鏈的混沌行為、決策、排隊系統等也進行了研究[5].

許多經濟市場是動態的.從Katz等[6]開始，人們對網絡外部性相關的問題進行了一系列的研究，網絡外部性是指一個產品用戶對另一個人的產品價值的影響[7].當產品對消費者的好處隨著相同或兼容產品的用戶數量的增加而增加時，就會產生這種效果[8].在軟件市場上，由于文件兼容性、可移植性、經驗共享和各種應用軟件程序的可用性，可以廣泛觀察到網絡外部性[7].

在實際環境中，軟件公司發布不同質量產品的多個版本.“質量差異”一詞是指任何軟件在總功能上的差異.例如，Adobe公司發行了PDF文件閱讀器軟件的兩個版本，即Adobe reader和Adobe acrobat[6].Adobe acrobat是一個高質量的版本，與低質量的對應產品Adobe reader相比，它具有更多的功能.Adobe reader已經發布，以吸引更多的消費者.提供低質量的版本有利于建立更大的網絡，從而提高高質量版本的網絡效用[7].與高質量的軟件相比，低質量的版本更便宜，甚至是免費的.在一定條件下，低質量版本的發行可以促進高質量版本的銷售[5].本文分析網絡外部性存在下軟件市場演化的動力學過程的目的，在于驗證在具有網絡外部性的軟件市場中，低質量版本軟件產品的發布可能導致的市場混沌現象.

1 模型構建

假設本文所建立的是一個完全壟斷市場演化模型，在這個模型中，壟斷廠商提供了同一類軟件產品的兩種不同質量版本的產品，即低質量版本的產品A和高質量版本的產品B.低質量版本通常是為了吸引消費者而生產的，它們的創建也是為了促進高質量版本的銷售，這就是為什么他們以較低的價格提供或免費提供[5].

在本研究中，低質量版本A在時間段t的市場份額用x(t)表示，而高質量版本B的市場份額用y(t)表示，并且其中x(t)+y(t)≤2.消費者從低質量版本產品A和高質量版本產品B中獲取的總效用分別為

U1(t)=M1(t)+I1,U2(t)=M2(t)+I2.

其中：Ii為消費者從軟件產品i(i=1,2)中獲得的內在效用，它是用戶從產品自身固有的特性中獲取的，為了簡單起見，在此，本文假定消費者從產品中獲得的內在效用和質量是相等的[7]；Mi(t)為消費者從軟件產品i(i=1,2)中獲得的網絡效用，它是由軟件產品的網絡外部性產生的，并且會隨著產品用戶數量的增加而增加.因為低質量版本產品受到的網絡外部性的影響不是很強烈，因此假設顧客從低質量版本產品A中獲得的的網絡效用與產品的質量成正比，從高質量版本產品B中獲得的網絡效用只與其網絡規模有關，并且高質量版本產品的網絡外部性強度高于低質量版本產品的[7].假設低質量版本產品A的網絡外部性系數為θ1(I1/I2)，而高質量版本產品B的網絡外部性系數為θ2，并且θ2>θ1>0.信息產品有一個突出的特點就是具有兼容性，因此信息產品的網絡規模與產品兼容性系數有關，在此用α∈[0,1]來表示高質量版本產品和低質量版本產品之間的兼容性系數，α=0表明兩個版本的產品是完全兼容的，α=1表明兩個版本的產品是完全不兼容的[7].因此

M1(t)=θ1(I1/I2)(x(t)+αy(t)),M2(t)=θ2(αx(t)+y(t)).

考慮在具有網絡外部性的信息產品市場中,消費者除了能從購買產品中獲得基本效用之外，還能獲得與產品網絡規模相關的網絡效用，消費者根據其購買產品所獲凈效用制定其購買決策[10].因此，根據上述分析將市場份額演化的過程定義為如系統(1)的動力學模型

(1)

其中:γ1>0和γ2>0分別表示低質量版本產品A和高質量版本產品B的市場演化速度;Q>0為所有消費者的總數量;ν1∈(0,1)和ν2∈(0,1)分別表示在每一個時間段內消費者放棄使用低質量版本產品A和高質量版本產品B的比例[7].

2 穩定性分析

為了求上述動力學模型的不動點，令

(2)

由此得到系統(1)的兩個均衡點

均衡點E1和E2稱為邊界均衡點，是一個壟斷均衡解[9].由穩定性理論，為了研究均衡點的穩定性，可以通過計算系統(模型)的Jacobi矩陣來分析[9].計算系統(1)在任意點的Jacobi矩陣為

(3)

其中：

J11=1-2γ1θ1(I1/I2)x-γ1(1+α)θ1(I1/I2)y+Qγ1θ1(I1/I2)-γ1I1-ν1;

J12=-2γ1αθ1(I1/I2)y-γ1(1+α)θ1(I1/I2)x+Qγ1αθ1(I1/I2)-γ1I1;

J21=-2γ2αθ2x-γ2(1+α)θ2y+Qγ2αθ2-γ2I2;

J22=1-2γ2θ2y-γ2(1+α)θ2x+Qγ2θ2-γ2I2-ν2.

證明：將均衡點

代入式(3)，得到

J1=J(E1)=

(4)

其中:A=γ1[αI1θ2-I2θ1(I1/I2)];B=αν1θ2;C=Qγ1θ1(I1/I2);D=Qγ2θ2.

對應的特征方程為

P(λ)=λ2-Tr(J1)λ+Det(J1)=0,

(5)

這里Tr(J1)表示均衡點E1處的跡；Det(J1)表示均衡點E1處的行列式。其中：

(6)

(7)

因此

(8)

(9)

(10)

證明：將均衡點

代入式(3)，得到

J2=J(E2)=

(11)

其中:M=γ2[I1θ2-I2αθ1(I1/I2)];N=αν2θ1(I1/I2).

對應的特征方程為

P(λ)=λ2-Tr(J2)λ+Det(J2)=0,

(12)

這里Tr(J2)表示均衡點E2處的跡;Det(J2)表示均衡點E2處的行列式.其中:

(13)

(14)

3 數值模擬

上一節對系統的均衡點進行了分析，在這一部分，本文主要討論系統在不同參數范圍下的復雜動力學現象，利用雙參數分岔圖、單參數分岔圖及對應的最大Lyapunov指數圖、吸引盆等工具來研究其動力學特性[9].在市場競爭和壟斷環境下，由于網絡外部性的影響導致低質量版本信息的產品市場混亂，因此本文主要將低質量版本信息產品A的各項參數作為主要研究對象，研究其動力學行為.

3.1 參數γ1和I1對系統穩定性的影響

本文希望低質量版本信息產品A的調整速度γ1具有一個穩定變化的趨勢，對始于穩定參數空間區域的值，隨著調整速度的增加，會失去其穩定性[9]，而且對于所構建的壟斷系統模型，低質量版本信息產品A的內在效用的相關值會產生一定的分岔，基于以上分析，為討論低質量版本產品A調整速度γ1和內在效用I1的變動對系統穩定性的影響，設定參數：I2=0.200 2，ν1=0.622 4，v2=0.622 4，Q=2，α=0.333 3，γ2=0.672 7，θ1=0.393 5，θ2=1.627 5，研究參數γ1和I1對系統穩定性的影響，如圖1所示.

圖1呈現了系統在參數空間(γ1,I1)的雙參圖，其中：1為深灰色；2為灰白色；4為淺灰色.深灰色區域表示穩定域，當(γ1,I1)的取值在這個區域時，系統將趨于一個穩定點；灰白色區域表示二周期區域，淺灰色區域表示四周期區域等等.

圖1 系統在參數空間(γ1,I1)的二維分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of the system in the parameter space (γ1,I1)

圖2是在圖1參數下關于γ1的單參圖以及最大Lyapunov指數圖.

圖2 系統(1)關于γ1的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.2 Bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent of the γ1 in system (1)

由圖2可以看出，當最大Lyapunov指數小于0時，系統是穩定的；當γ1≥0.647 9時，最大Lyapunov指數開始出現大于0的情況，并且包含有部分小于0的瞬時情況，其中當最大Lyapunov指數大于0的時候，系統處于一個混沌狀態，而小于0的時候，意味著系統出現了周期窗口.

圖3是在圖1參數下關于I1的單參圖以及最大Lyapunov指數圖.由圖3可以看出，當I1≥0.552 3時，最大Lyapunov指數開始出現大于0的情況，并且也包含有極少部分小于0的情況，其中最大Lyapunov指數大于0的情況對應于系統的混沌狀態，而小于0的情況代表著系統出現了周期窗口.

基于以上數值模擬分析，可以看出在壟斷模式下，當低質量版本信息產品的調整速度或低質量版本信息產品質量都較小時，市場會穩定一些，而當其調整速度或內在效用逐漸增大時，會導致兩個版本信息產品的市場份額發生周期變化，甚至出現混沌狀態[7].

3.2 參數ν1和α對系統穩定性的影響

這一小節，本文討論每一時間段內消費者放棄使用低質量版本產品A的比例和兩個版本之間的兼容性的變動對系統穩定性的影響，假定其他參數固定：I1=0.244 3，I2=0.579 6，ν2=0.000 016 20，Q=2，γ1=0.612 9，γ2=0.612 9，θ1=0.314 0，θ2=1.776 7，研究參數ν1和α對系統穩定性的影響.

圖3 系統(1)關于I1的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.3 Bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent of the I1 in system (1)

圖4展示了系統在參數空間(ν1,α)的雙參圖，其中：2為灰白色；4為淺灰色；8為深灰色.灰白色區域表示二周期區域，淺灰色區域表示四周期區域，深灰色區域表示八周期，黑色表示逃逸區域.

圖5是在圖4參數下關于ν1的單參圖以及最大Lyapunov指數圖.當最大Lyapunov指數小于0時，系統是穩定的；當ν1≥0.268 9時，最大Lyapunov指數開始出現大于0的情況，并且包含有小于0的瞬時情況，此時最大Lyapunov指數大于0意味著系統處于混沌狀態，小于0意味著系統出現了周期窗口.

圖6是在圖4參數下關于α的單參圖以及最大Lyapunov指數圖.

圖4 系統在參數空間(ν1,α)的二維分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of the system in the parameter space (ν1,α)

圖5 系統(1)關于ν1的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.5 Bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent of the ν1 in system (1)

由圖6可以看出，當α≥0.337 1時，最大Lyapunov指數開始出現大于0的情況，同樣也包含有極少部分小于0的情況，其中最大Lyapunov指數大于0的時候意味著系統處于混沌狀態，而當最大Lyapunov指數小于0的時候意味著系統出現了周期窗口.在其他參數固定不變時，隨著低質量版本信息產品A的每一時間段內消費者放棄使用低質量版本產品A比例ν1和兩個版本之間的兼容性系數α足夠大時，系統將出現奇異吸引子[7].

圖7是在固定參數：I1=0.244 3，I2=0.579 6，ν2=0.000 016 20，Q=2，γ1=0.612 9，γ2=0.612 9，θ1=0.314 0，θ2=1.776 7，隨著參數ν1和α的增大奇異吸引子的演化及吸引盆的變化，其中吸引盆的灰白色部分表示吸引子的吸引域，深灰色部分表示吸引子的逃逸區域.

圖6 系統(1)關于α的分岔圖和最大Lyapunov指數圖Fig.6 Bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent of the α in system (1)

圖7 吸引子的演化及其吸引盆Fig.7 Evolution of attractor and its basin of attraction

以上數值模擬結果表明，在壟斷模式下，當低質量版本信息產品被放棄的比例越多或低質量版本信息產品A和高質量版本產品B兩者兼容性都逐漸增大時，高質量版本信息產品B的市場份額會逐漸減少，接下來可能造成兩個版本信息產品的市場份額發生倍周期分岔現象，甚至出現混沌狀態[7].當完全壟斷市場提供的信息產品之間的兼容性較小時，廠商更愿意提供低質量版本的產品[7].

4 結語

本文在離散時間下，建立了一個具有網絡外部性的完全壟斷市場演化模型，分析了模型均衡點的穩定性，著重討論了低質量版本信息產品在網絡外部性條件下各項參數對產品市場份額的影響，并且對不同參數下的雙參圖、分岔圖、最大Lyapunov指數、奇異吸引子以及吸引盆進行了分析.研究表明，在競爭市場中低質量版本的信息產品的發布可能會促進高質量版本信息產品的銷量，但也有可能造成市場出現混沌現象，因此廠商在提供低質量版本信息產品時，一定要謹慎設計其質量，既要滿足消費者的基本需求，也要避免引起市場出現混沌現象[7].