淺析分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性討論中的應(yīng)用

黃麗

摘要：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用性最廣的思想之一，也是最近幾年數(shù)學(xué)科目高考的熱門考點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點之一。在函數(shù)相關(guān)的試題中主要涉及求函數(shù)的最值、零點、單調(diào)性等知識點時，由參數(shù)的變化以及一些條件限制而引起的分類討論。本文從函數(shù)單調(diào)性討論中分析分類思想的應(yīng)用，理清思路，讓學(xué)生能更好的理解分類討論思想，從而提高學(xué)生的解答問題的能力。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;應(yīng)用步驟;函數(shù)單調(diào)性

在學(xué)習(xí)分類討論思想的過程中，首先需要對分類討論思想有一定的認知。其學(xué)習(xí)的實質(zhì)是學(xué)生需要構(gòu)建其認知結(jié)構(gòu)，并將其納入到已有的數(shù)學(xué)知識體系中，使學(xué)生的思維更具有條理性。在對學(xué)生訪談的過程中認識到，學(xué)生對分類討論思想的認知和運用其解決數(shù)學(xué)問題時存在困難。

一、簡析分類討論思想

在數(shù)學(xué)解題過程中，有些題目的結(jié)果不是唯一確定的，而且有些數(shù)學(xué)方法的使用也有其限定的條件。當在解決這些問題時，就需要先根據(jù)題目的特性和條件，分成若干種情形，將題目轉(zhuǎn)化成若干個小的問題去解答，然后總結(jié)歸納得出結(jié)果，這種化整為零、化繁為簡的解題思路就是分類討論的思想。分類討論思想可應(yīng)用于整個高中數(shù)學(xué)的階段的學(xué)習(xí)之中，要求學(xué)生的思維具有較好的靈活性和條理性。

二、明確分類討論思想運用的步驟

2.1確定討論對象

在解答分類討論問題時，首先我們需要搞清楚分類討論的對象。而在我們探討的函數(shù)的單調(diào)性討論中，需要討論的主要是兩方面的內(nèi)容：第一個是討論函數(shù)的性質(zhì)，特別是針對其奇偶性在區(qū)間上的單調(diào)性進行討論;第二個是分段函數(shù);函數(shù)單調(diào)性討論本質(zhì)上還是因為參數(shù)的不確定性而產(chǎn)生的討論。

2.2依據(jù)一定的準測對討論對象進行分類

對討論對象進行分類有助于解題的條理性和準確性，分清主次，另外，分類討論要做到不重復(fù)、不遺漏，例如，對于一些函數(shù)圖像隨參數(shù)變化而產(chǎn)生位置變化的題目，需將圖像按照一定的順序，從左到右或者從上到下，減少漏解。

2.3歸納總結(jié)

任何數(shù)學(xué)問題都具有一定的完整性，而分類討論思想是將一個完整的問題分解成一個個小的問題進行解答。所以為保證數(shù)學(xué)問題最終的完整性，歸納總結(jié)就顯得尤為重要。學(xué)會按順序整合討論的結(jié)果也是非常關(guān)鍵的，在整理的過程中，及時發(fā)現(xiàn)自己的問題特別是重復(fù)或者遺漏之處。通常來說，分類討論思想最后歸納總結(jié)的方法有：并列總結(jié)法、并集歸納法、交集歸納法。

三、分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性討論中的應(yīng)用

分類討論思想在高中數(shù)學(xué)具有很重要的地位，應(yīng)用非常廣泛，最近幾年在數(shù)學(xué)科目高考命題中亦是熱點。下面幾個典例就充分展示了分類討論思想如何在函數(shù)單調(diào)性討論中得到應(yīng)用的。

例1、已知函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)性;

解：先對函數(shù)求導(dǎo)，

，

（1）當時，，由得：，

由，得：，故此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）當時，令得：或

由得：，此時

由得：或，此時

故此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為

綜上：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;

當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.

分析：在對原函數(shù)求導(dǎo)后得到函數(shù)g（x）=-ax2+（2a-1）x+2，其函數(shù)特征為：二次項系數(shù)含有參數(shù)，針對其系數(shù)變化的不確定性進行討論。根據(jù)研究對象的特征，需進行兩個層次的討論。第一層次：討論a=0或者a>0，從而確定函數(shù)的類型。當a=0時，該函數(shù)為一次函數(shù)，求解較為簡單，應(yīng)先求出。當a>0時，函數(shù)為二次函數(shù)，那么第二層次就需通過g（x）的符號進行討論，g（x）>0，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;g（x）<0，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;最后再將求得的結(jié)果進行歸納總結(jié)，得出結(jié)論。在解答這類問題時，我們需要掌握好分類的對象以及分類的準則，然后分層依次討論，就能解答成功。

結(jié)束語

綜上所述，分類討論思想是眾多數(shù)學(xué)思想中極為重要的一種數(shù)學(xué)應(yīng)用思想，不僅在學(xué)習(xí)上，在實際生活中分類討論思想亦是應(yīng)用廣泛。隨著素質(zhì)教育的深入發(fā)展，分類討論思想的重要性愈發(fā)明顯。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師應(yīng)更加重視分類討論思想的培養(yǎng)。

參考文獻：

[1]陳蓬.分類討論思想在含參函數(shù)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（09）：62-63.

[2]胡昌安.分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2016（Z2）：6-7.