《人教版2019選擇性必修一第三章第三節(jié) 拋物線》教學(xué)案例

王治軍

教學(xué)內(nèi)容：

本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用坐標法在拋物線的結(jié)合特征基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出有關(guān)拋物線的標準方程，并讓學(xué)生掌握拋物線的幾何性質(zhì)。

教學(xué)目標：

1.引導(dǎo)學(xué)生從幾何情境中認識到有關(guān)拋物線的特征，掌握拋物線的定義。

2.正確運用坐標法對拋物線的標準方程進行推導(dǎo)，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

教學(xué)要點：

學(xué)生對于拋物線的認知程度主要是源于對二次函數(shù)圖像的感知，但是卻并不清楚拋物線的幾何特征，拋物線吉幾何要素的確定是一條直線與一個定點，與以往確定雙曲線的要素存在一定差別，由于拋物線本身的幾何特征在情境中過于隱蔽，學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)其特征。

教學(xué)重點：幫助學(xué)生掌握拋物線的解題方法，提高學(xué)生對問題進行分析、解決的能力。

教學(xué)難點：在幾何問題的解析中應(yīng)用坐標法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征。

教學(xué)方法：

數(shù)字模擬實驗教學(xué)法、自主探究教學(xué)法

一、實驗教學(xué)

1.帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)雙曲線和橢圓在形成方面的一致內(nèi)容，引出如何形成拋物線的問題

2.借助幾何畫板向?qū)W生展示有關(guān)拋物線形成的過程，同時確認曲線的存在。

3.增加適量的實踐性實驗，使學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生加深對拋物線定義的理解，突破教學(xué)重點。

二、探究教學(xué)

1.通過折紙活動讓學(xué)生探尋拋物線存在的對稱關(guān)系，之后利用開口向右的拋物線方程推導(dǎo)出其他標準方程。

2.設(shè)計課堂互動環(huán)節(jié)

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生掌握拋物線標準方程的四種形式，突破教學(xué)難點。

教學(xué)過程：

提出問題→探究實驗→得到定義→建立標準方程→掌握標準方程與性質(zhì)→應(yīng)用→小結(jié)

一、提出問題

教師：同學(xué)們，通過學(xué)習(xí)前面的知識，我們發(fā)現(xiàn)如果動點M到定點F之間的距離與M到定直線l（不經(jīng)過定點F）距離的比為k（如圖1），假如01，M的軌跡就是雙曲線。如果k=1，也就是M到F的距離等于M到l的距離，那么M會出現(xiàn)什么樣的軌跡？

設(shè)計意圖：通過問題引發(fā)學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生對拋物線知識的學(xué)習(xí)興趣。

二、探究實驗、得到定義

1.借助幾何畫板，確定雙曲線的存在。

2.引導(dǎo)學(xué)生進行實際操作，感受拋物線形成的過程。

互動：由教師對H進行拖動，向?qū)W生展示M的實際運動過程，進而得到拋物線定義。

理論定義：一個平面內(nèi)的直線l并沒有經(jīng)過定點F時，線與點距離相等點的運動軌跡成為拋物線，其中F點為焦點，準線就是直線l。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用已知條件與圖形掌握拋物線集合特征，得到拋物線概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

三、建立標準方程

教師：現(xiàn)在我們比較雙曲線與橢圓標準方程的建立過程，大家覺得怎樣建立坐標系才能得到拋物線的方程？

互動：如果老師給學(xué)生們介紹了有關(guān)拋物線的基本概念，并且確定了拋物線的幾何要素：拋物線、焦點、準線。那么，就可能會發(fā)生以下三種情形：以拋物線焦點F作為原點建立坐標系（圖1）;以拋物線準線l作為原點，建立坐標系（圖2）;由焦點F向準線l作一條垂線，將拋物線與垂線的交點當(dāng)作原點，將垂線以x軸建立坐標系（圖3）。

同時向?qū)W生說明通常會選擇第二種方式建立坐標系，并正確推導(dǎo)拋物線的標準方程。

設(shè)計意圖：通過建立坐標系的方式推導(dǎo)方程，讓學(xué)生體會方程的魅力。

布置折紙活動，讓學(xué)生利用已知圖形間存在的對稱關(guān)系得到拋物線方程。

設(shè)計意圖：加強學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想意識，提高學(xué)生的理解能力與記憶能力。

四、應(yīng)用

教師：同學(xué)們，現(xiàn)在將教科書翻到第132頁看例題1。

互動：教師向?qū)W生展示解題過程，學(xué)生在觀看的同時進行思考。

設(shè)計意圖：利用以下例題，向?qū)W習(xí)者們展示了拋物線中的三種要素：拋物線標準方程、拋物線焦點坐標和拋物線準線方程的推導(dǎo)方式。使學(xué)生了解使用標準方程式，可以把拋物線的焦點坐標與準線方程加以確定。

練習(xí)題：

（1）拋物線的焦點F為（3，0）;（2）準線方程為x=-;（3）其焦點F到準線l的距離為2.

互動：向?qū)W生展示解題過程，引導(dǎo)學(xué)生思考。

設(shè)計意圖：通過練習(xí)題對學(xué)生解析拋物線標準方程的能力進行鞏固，加深學(xué)生對拋物線幾何特征的認識。

五、小結(jié)并布置課后作業(yè)

引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容：

1.拋物線的定義

2.拋物線標準方程的四種表現(xiàn)形式、焦點坐標以及準線方程。

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的知識，強化拋物線的訓(xùn)練，加強學(xué)生理論結(jié)合實踐的能力。

課后作業(yè)：數(shù)學(xué)課本第138頁的練習(xí)題3.3第1題、第四題。

六、板書設(shè)計

1.拋物線的定義

2.拋物線的標準方程（書寫推導(dǎo)過程）

教學(xué)總結(jié)：

將幾何對象轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)對象，通過代數(shù)工具對問題加以解決并得出結(jié)論。

教學(xué)反思：

在實際教學(xué)中利用多媒體營造教學(xué)情境，借助類比法讓學(xué)生進行交流，感受數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。本節(jié)課主要圍繞例題進行訓(xùn)練，讓學(xué)生在討論的過程中掌握拋物線標準方程與幾何性質(zhì)，讓學(xué)生形成屬于自己的思想方法。但在教學(xué)中并沒有真正強化學(xué)生對拋物線的理解，倘若在總結(jié)進行深化，例如“在知道拋物線標準方程的條件下，怎樣才能畫出有關(guān)拋物線的簡圖”，或許能夠讓學(xué)生更好的掌握拋物線的知識，同時應(yīng)該圍繞學(xué)生的情況對教學(xué)內(nèi)容加以調(diào)整，進而提高教學(xué)效率。