助推兒童數(shù)學(xué)表達(dá)力進(jìn)階的實(shí)踐探尋

顧萬(wàn)全 陳 靜

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》闡述數(shù)學(xué)課程總目標(biāo)時(shí)從四個(gè)方面展開(kāi)，分別是知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度。這四個(gè)類(lèi)別中都對(duì)學(xué)生的“表達(dá)力”提出了要求：知識(shí)與技能方面要求引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究討論的過(guò)程；數(shù)學(xué)思考方面要求學(xué)生能清晰地表達(dá)自己的想法；問(wèn)題解決方面要求學(xué)生學(xué)會(huì)與他人合作交流；情感態(tài)度方面要求學(xué)生養(yǎng)成合作、交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣。表達(dá)力不僅是指能語(yǔ)言流暢地說(shuō)出自己知道的知識(shí)，更是指能正確地陳述自己的想法和觀點(diǎn)，它是學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題能力及數(shù)學(xué)思維能力成長(zhǎng)的外化，是其碰撞思維、建構(gòu)認(rèn)知、提升數(shù)學(xué)思考能力的深度學(xué)習(xí)的促進(jìn)。然而，筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，兒童普遍存在著不敢說(shuō)、不會(huì)說(shuō)、會(huì)說(shuō)但不會(huì)寫(xiě)、會(huì)說(shuō)會(huì)寫(xiě)但流于淺表層等問(wèn)題。因此，筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)中有意識(shí)地助推兒童的數(shù)學(xué)表達(dá)力進(jìn)階勢(shì)在必行。

一、兒童數(shù)學(xué)表達(dá)力進(jìn)階的內(nèi)涵與價(jià)值

數(shù)學(xué)表達(dá)力，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，基于數(shù)學(xué)知識(shí)，用口頭語(yǔ)言或書(shū)面的文字呈現(xiàn)、字母表示、符號(hào)表征等方式陳述數(shù)學(xué)觀點(diǎn)及結(jié)論，并在發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中呈現(xiàn)出的表現(xiàn)力。兒童用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界是在其用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界（外界輸入）、用數(shù)學(xué)的思維分析世界（自身處理）的基礎(chǔ)上的對(duì)外輸出。

在小學(xué)階段，兒童的數(shù)學(xué)表達(dá)力發(fā)展大致經(jīng)歷如下頁(yè)圖1所示的四個(gè)階段。兒童數(shù)學(xué)表達(dá)力的層級(jí)化進(jìn)階，是其數(shù)學(xué)思維由混沌走向清晰、由經(jīng)驗(yàn)走向理性、由淺表走向深入、由從眾走向內(nèi)省思考的過(guò)程，是其在數(shù)學(xué)化思考中，數(shù)學(xué)思維發(fā)生質(zhì)的飛躍，成長(zhǎng)為有“數(shù)學(xué)味”的人的過(guò)程。筆者所研究的表達(dá)力進(jìn)階，主要表現(xiàn)在表達(dá)情感進(jìn)階、表達(dá)方式進(jìn)階與表達(dá)思維進(jìn)階等方面。表達(dá)情感進(jìn)階指的是由不敢說(shuō)到敢說(shuō)、喜歡說(shuō)；表達(dá)方式進(jìn)階指的是由口語(yǔ)化地說(shuō)、簡(jiǎn)單地說(shuō)進(jìn)階到多元表征（文字、符號(hào)、動(dòng)作、操作）地說(shuō)；表達(dá)思維進(jìn)階指的是由淺層的兒童化思考到有數(shù)學(xué)邏輯推理、模型化思維表達(dá)的思考。推動(dòng)兒童的數(shù)學(xué)表達(dá)力進(jìn)階，有助于激發(fā)兒童的問(wèn)題意識(shí)，使他們放心說(shuō)、開(kāi)心說(shuō)；有助于兒童建立表達(dá)框架、明晰表述方式，使他們數(shù)學(xué)說(shuō)、完整說(shuō)；有助于兒童建立深層表達(dá)，使他們深度說(shuō)、思維說(shuō)。

（圖1）

二、兒童數(shù)學(xué)表達(dá)力進(jìn)階的實(shí)踐探尋

（一）從氛圍到方式，讓學(xué)生敢說(shuō)

1.營(yíng)造民主氛圍，促進(jìn)師生情感交融。

師：從左到右的轉(zhuǎn)換，參與計(jì)算的哪道式子沒(méi)變，哪道式子變了？

生1：參與計(jì)算的125×3沒(méi)變，但原式加的是125×5，被變換成了只加5。

師：你對(duì)算式的敏銳觀察和比較很讓人欣賞哎！其他同學(xué)有自己的“轉(zhuǎn)化”竅門(mén)嗎？

生2：我們二年級(jí)時(shí)就研究過(guò)“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算”，這位同學(xué)直接丟掉一個(gè)乘數(shù)，只留下了一個(gè)乘數(shù)。我想畫(huà)個(gè)線段圖（沖到黑板前畫(huà)出圖2），一目了然。所以呢，125×3+125×5=125×（3+5）。

（圖2）

師：除了線段圖，平面圖或立體圖能呈現(xiàn)出正確的思考嗎？

生3：我可以用“求長(zhǎng)方形面積”的方法試著畫(huà)個(gè)平面圖（走到黑板前畫(huà)出圖3）。通過(guò)觀察圖形，很容易發(fā)現(xiàn)，兩道乘法算式相加，其實(shí)就是兩個(gè)小面積相加。大面積=小面積+小面積，而不是只加一條寬。

（圖3）

師：你從面積的角度去思考，另辟蹊徑，很好呀！如果不畫(huà)圖，你的思考又是什么樣的呢？

生4：我會(huì)想，我們采購(gòu)表演服每件125元，男生需要3件，女生需要5件，總價(jià)肯定不可以是3件的價(jià)格加數(shù)量5呀！

1.2.1 發(fā)揮了財(cái)政農(nóng)發(fā)資金的杠桿作用和乘數(shù)效應(yīng)。全市立項(xiàng)“創(chuàng)投”項(xiàng)目通過(guò)財(cái)政補(bǔ)助或貼息投入的方式，只需約財(cái)政資金2.82億元，撬動(dòng)比例約為1∶5，發(fā)揮了乘數(shù)效應(yīng)。

師：是的，要加數(shù)量5件的價(jià)格。

…………

學(xué)生對(duì)錯(cuò)題剖析的思考表達(dá)既有生活經(jīng)驗(yàn)也有數(shù)學(xué)認(rèn)知，教師對(duì)學(xué)生表達(dá)意圖的準(zhǔn)確解讀和認(rèn)同，使得學(xué)生愿意坦率地表達(dá)出自己的數(shù)學(xué)思考。學(xué)生將觀察到的算式形式及數(shù)字特征在腦海中進(jìn)行圖式表征后，在教師“問(wèn)題鏈”的引領(lǐng)下調(diào)取長(zhǎng)時(shí)記憶中的相關(guān)圖式，更易于遞等出“125×3+125×5=125×（3+5）”這個(gè)算式，進(jìn)而鞏固對(duì)“a×c+b×c=（a+b）×c”這一字母形式的理解，從源頭上強(qiáng)化對(duì)乘法運(yùn)算律的數(shù)學(xué)化思考。

2.建構(gòu)表達(dá)框架，促使學(xué)生述有結(jié)構(gòu)。

史寧中教授指出：數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，是引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。在數(shù)學(xué)課堂中，師說(shuō)我說(shuō)（用嘴巴表達(dá)）—現(xiàn)象陳述（用眼睛表達(dá)）—發(fā)現(xiàn)規(guī)律（用頭腦表達(dá)）—反思?xì)w納（用思維表達(dá)），學(xué)生的層級(jí)式表達(dá)是其伴隨著數(shù)學(xué)思考進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的標(biāo)識(shí)，數(shù)學(xué)表達(dá)力進(jìn)階有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。為了讓學(xué)生動(dòng)口說(shuō)、動(dòng)手寫(xiě)的過(guò)程更具邏輯性和思維性，筆者與學(xué)生商定，將“我有表達(dá)”“我有思考”“我有疑問(wèn)”“我有不同意見(jiàn)”等話術(shù)作為數(shù)學(xué)課堂的引語(yǔ)，且書(shū)寫(xiě)于黑板固定處，便于他們參照。

四年級(jí)學(xué)生接觸“25×（40+8）”這道題時(shí)，筆者鼓勵(lì)他們“根據(jù)這道算式思考并列舉一個(gè)生活中的例子”，學(xué)生舉例道：一盒餅干25元，小明想跟同學(xué)們分享，第一次買(mǎi)了40盒，第二次買(mǎi)了8盒。請(qǐng)問(wèn)一共需要付多少元錢(qián)？接著，筆者提議出題小老師邀請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)解答。學(xué)生借助“我有表達(dá)”“我有補(bǔ)充”“我有不同意見(jiàn)”等話術(shù)互相啟發(fā)思考，當(dāng)先算（40+8）與先分別算25×40、25×8這兩種方法都出現(xiàn)時(shí)，筆者追問(wèn)：想一想，這兩種計(jì)算方法為什么都可以算出一共付了多少錢(qián)？請(qǐng)你聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)一說(shuō)。

生1：我先算出兩次一共買(mǎi)了多少盒，再用單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，算出一共付了多少錢(qián)。

生2：我有表達(dá)，用單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，分別算出第一次和第二次買(mǎi)要花多少錢(qián)，再相加算出總價(jià)。

生3：我有補(bǔ)充，在生活中，兩種計(jì)算方法都可以。但是，到底哪種方法更便捷呢？我們要有自己的思考。

師：誰(shuí)來(lái)猜猜“我們的思考”是什么？

生4：我覺(jué)得“我們的思考”是，當(dāng)總盒數(shù)相加的和是整十、整百或整千時(shí)，先算總盒數(shù)比較便捷；當(dāng)單價(jià)和每次購(gòu)買(mǎi)的盒數(shù)相乘能得整數(shù)時(shí)，分開(kāi)計(jì)算價(jià)格的方法比較便捷。

上述交流環(huán)節(jié)，學(xué)生單個(gè)體多頻次、單個(gè)體與同伴之間、單個(gè)體與教師之間經(jīng)歷了“現(xiàn)象陳述—對(duì)比分析—反思?xì)w納”的過(guò)程，將生活經(jīng)驗(yàn)與深度學(xué)習(xí)有效地鏈接了起來(lái)，激發(fā)了學(xué)生自發(fā)調(diào)取生活經(jīng)驗(yàn)參與思考運(yùn)算律內(nèi)在機(jī)理的意識(shí)，使學(xué)生的表達(dá)更會(huì)架構(gòu)、更有邏輯。

（二）從單一到多元，讓學(xué)生會(huì)說(shuō)

1.口頭表達(dá)與書(shū)面表達(dá)相結(jié)合。

師生對(duì)話、生生對(duì)話、生本對(duì)話均指向?qū)W生的口頭語(yǔ)言表達(dá)。在實(shí)際教學(xué)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會(huì)說(shuō)但不會(huì)書(shū)面輸出的現(xiàn)象比比皆是，其實(shí)，寫(xiě)、畫(huà)也是提升兒童表達(dá)力的重要途徑。四年級(jí)學(xué)生“初見(jiàn)”加法、乘法運(yùn)算律后，因生活情境的喚醒、數(shù)形結(jié)合等方法的使用，有教師就以為學(xué)生已經(jīng)通透地了解了算理。同時(shí)，因?yàn)閿?shù)學(xué)課堂的時(shí)間有限，教師多以“齊說(shuō)”“優(yōu)生說(shuō)”替代“個(gè)體說(shuō)”。

筆者以前教學(xué)“運(yùn)算律”時(shí)，注重學(xué)生體驗(yàn)基礎(chǔ)上的個(gè)體反饋式口語(yǔ)表達(dá)。學(xué)生在課堂上一直是活躍和互動(dòng)的，但在落筆書(shū)面表達(dá)時(shí)，亦會(huì)出現(xiàn)不少錯(cuò)誤，如：①257×31-57×31=（257+57）×31；②25×（40+8）=25×40×8；③25×32=25×（4×8）=25×4+25×8；④125×3+125×5=125×3+5；

⑤303×21=（300+3）×21=303×21。究其原因：①缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鞔饝B(tài)度；②③算理不清；④逆向思維受阻，等量意識(shí)欠缺；⑤規(guī)律感知不明。

這次教學(xué)時(shí)，筆者在保持課堂上學(xué)生口頭表達(dá)頻次的前提下，引導(dǎo)學(xué)生將口頭表達(dá)與書(shū)面表達(dá)相結(jié)合，并呈現(xiàn)上述錯(cuò)誤題目，要求學(xué)生“挑選其中的一道題，將它的錯(cuò)處說(shuō)給同桌聽(tīng)。然后重新列遞等式解答，并用自己喜歡的方法（寫(xiě)一寫(xiě)、畫(huà)一畫(huà)）表示出來(lái)”，以保證課堂上所有學(xué)生既能說(shuō)又真正參與寫(xiě)、畫(huà)、算的書(shū)面表達(dá)活動(dòng)，算理的理解、算法的掌握、算技的思考在口語(yǔ)表達(dá)與書(shū)面表達(dá)相融合的過(guò)程中得到了有效落實(shí)。

2.文字表達(dá)與符號(hào)表達(dá)相融合。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，其實(shí)也是其多元表征能力成長(zhǎng)的過(guò)程。由情境到圖形，由圖形到算式，由算式到符號(hào)，由符號(hào)到自己列舉可簡(jiǎn)算的題目，是學(xué)生數(shù)學(xué)建模思維的外顯。學(xué)生“25×（4×8）=25×4+25×8”這道題中呈現(xiàn)出的偏差思考，起碼說(shuō)明他們有“見(jiàn)到乘數(shù)25想到乘數(shù)4”的簡(jiǎn)算意識(shí)，在乘法中雜糅加法則暴露出學(xué)生在算理方面的不清晰。乘法結(jié)合律和乘法分配律的混用，與學(xué)生缺乏對(duì)“為什么能簡(jiǎn)算？用什么去簡(jiǎn)算？”這類(lèi)問(wèn)題的思考有關(guān)。教師在追問(wèn)學(xué)生“怎樣去簡(jiǎn)算”之前，以如圖4所示的引導(dǎo)性文字與多角度符號(hào)啟發(fā)學(xué)生展開(kāi)思考，可以更好地促進(jìn)他們自主挖掘知識(shí)內(nèi)涵，建構(gòu)知識(shí)模型。

（圖4）

（三）從表層到深層，讓學(xué)生說(shuō)好

學(xué)生動(dòng)口說(shuō)和動(dòng)手寫(xiě)的情感、方式的進(jìn)階，均指向?qū)W生的數(shù)學(xué)思維由混沌走向清晰、由經(jīng)驗(yàn)走向理性、由從眾走向內(nèi)觀，并最終由表層走向深層的“智說(shuō)”的過(guò)程。筆者主張教師在教學(xué)中與學(xué)生一起經(jīng)歷角色體驗(yàn)、全程互動(dòng)，強(qiáng)調(diào)民主平等、潛能激發(fā)，并注重給學(xué)生提供提一些問(wèn)題、做一項(xiàng)任務(wù)、作一次交流、當(dāng)一回老師的機(jī)會(huì)。學(xué)生對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，不能僅就知識(shí)學(xué)知識(shí)，還要知道該知識(shí)點(diǎn)的前沿后續(xù)。如運(yùn)算律的知識(shí)不是僅出現(xiàn)在四年級(jí)，不能割裂地對(duì)其進(jìn)行教學(xué)。從思維訓(xùn)練來(lái)看，它建構(gòu)于學(xué)生對(duì)三年級(jí)“減法的性質(zhì)”“除法的性質(zhì)”的體悟，廣泛應(yīng)用于六年級(jí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的學(xué)習(xí)中；從思維建構(gòu)來(lái)看，它還可以融通初中負(fù)數(shù)介入后的算理。數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)要求我們，要超越簡(jiǎn)單的具體知識(shí)，理解其背后的結(jié)構(gòu)、方法和思想。四年級(jí)學(xué)習(xí)運(yùn)算律時(shí)適當(dāng)滲透其相關(guān)知識(shí)，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的思考走向深入。教師要注意引導(dǎo)學(xué)生在交流分享中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)、智慧表達(dá)。

數(shù)學(xué)家陳省身先生說(shuō)：“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來(lái)，用自己的見(jiàn)解和別人的見(jiàn)解交換，會(huì)有很好的效果。”學(xué)生通過(guò)表達(dá)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)思考，通過(guò)思考表達(dá)世界。情感交融、建構(gòu)框架、口手融合、文符融合、文圖結(jié)合等有助于學(xué)生敢說(shuō)、會(huì)說(shuō)、智說(shuō)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)表達(dá)力的進(jìn)階式提升，從而使其數(shù)學(xué)思考逐漸走向深入。