小學數(shù)學算理教學探析

李娟 韋宏

【摘要】本文以“多位數(shù)乘一位數(shù)”教學為例，基于數(shù)學思想方法對算理進行分析，即以數(shù)形結合思想方法分析算理，幫助學生發(fā)展“數(shù)式”表征，用“形”理解“數(shù)”；以轉化的數(shù)學思想方法理解算理，幫助學生化難為易，理解算理；以變中有不變的思想方法分析算理，幫助學生把握數(shù)學算法的本質。

【關鍵詞】小學數(shù)學教學 數(shù)學思想方法算理多位數(shù)乘一位數(shù)

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）41-0133-02

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《新課標》）指出：學生需獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?；舅枷胱鳛椤八幕敝?，滲透數(shù)學的思想方法，有利于促進學生知識的遷移，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。學生理解算理的過程是從具體到抽象的探究過程，數(shù)學課程要關注過程性目標和結果性目標。在計算教學中，學生不僅需要掌握計算方法，還要理解為什么這樣計算。算理教學有助于學生理解數(shù)本身的意義，促進思維能力的提高?！岸辔粩?shù)乘一位數(shù)”是基于乘法口訣表，是進行筆算乘法的開端，這部分內(nèi)容在小學運算中起到重要的作用。為此，教師需要基于數(shù)學思想方法，以“多位數(shù)乘一位數(shù)”教學為例，加強對算理的分析，提高學生的運算興趣和學習能力。

一、算理教學及數(shù)學思想方法

算法是計算的步驟和程序。算理即計算的道理，它解釋了為什么這樣計算，是理解算法的前提，是對每一個計算步驟的解釋。在“多位數(shù)乘一位數(shù)”的教學中，其算理主要運用了位值概念和乘法分配律的運算率。在位值概念中，一個數(shù)字的位置代表了它所呈現(xiàn)的值?！岸辔粩?shù)乘一位數(shù)”可以利用“幾個十，幾個一乘幾”的方式來理解算理；而乘法算式是將幾個計算步驟合起來的簡便運算?！岸辔粩?shù)乘一位數(shù)”的計算，可以依賴乘法分配律將多位數(shù)拆分，再分別與一位數(shù)相乘，最后合起來計算，是以“分割”的方式來理解算理。教師運用概念和運算率兩種形式分析算理，在教學中通過直觀的演示和操作，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，加深對算法的理解。

數(shù)學思想是數(shù)學學科的核心，具有層次性?！缎抡n標》要求學生獲得數(shù)學基本思想，主要包括抽象思想、模型思想、推理思想，它是教師教學的主線，是數(shù)學學科內(nèi)容邏輯框架的內(nèi)在體現(xiàn)。數(shù)學基本思想和數(shù)學思想二者之間有著緊密的聯(lián)系，在解決問題時更多的是一種操作性的應用。本文在分析算理時，主要運用數(shù)形結合、轉化、變中有不變的思想方法，對算理教學展開分析。

二、基于數(shù)學思想方法的算理分析

（一）基于數(shù)形結合思想方法的算理教學分析

數(shù)形結合是一種常見的思想方法?！皵?shù)”和“形”是數(shù)學學習的兩大主體。數(shù)形結合的思想方法，是利用了“數(shù)”和“形”的對應關系來解決問題。“數(shù)”和“形”是認知表征理論中外部表征的具體應用。這兩種表征傳遞給學生的信息是不一樣的?！皵?shù)”屬于數(shù)式表征，傳達給學生較為準確具體的信息；“形”屬于圖形表征，傳達給學生直觀的信息。在小學階段，“形”多指圖表和實物。教師通過圖形表征幫助學生理解數(shù)式表征，兩種表征相互補充，符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，有利于促進學生的多元表征發(fā)展。算理屬于數(shù)式表征，相對抽象和晦澀，學生要真正理解算理是比較困難的。教師借助直觀的圖形，有利于引導學生理解數(shù)的計算方法。教師在教學時要依據(jù)學生的已有認知經(jīng)驗，用數(shù)形結合的方法，借助圖形表征幫助學生理解數(shù)量關系，解決復雜的問題。

如在“多位數(shù)乘一位數(shù)”第一課的口算乘法教學時，教師需重視算理教學，讓學生知道運算背后的原理。在探究“20×3=? ?”時，教師通過小棒理解“幾個十”的位值概念，以數(shù)形結合幫助學生理解算理。動手操作可以調(diào)動學生的多種感官經(jīng)驗，在實踐中將內(nèi)隱的算理以直觀的圖形展現(xiàn)出來，以“形”助“數(shù)”。教師呈現(xiàn)6捆小棒，10根為一捆，2捆為一組，一共有3組。2捆表示2個十，即20，“20×3”根據(jù)乘法的意義表示3個20相加（如圖1）?！?0×3”用小棒表示為6捆小棒，即60根小棒。學生小組合作擺小棒，呈現(xiàn)了算理過程，2個十乘3等于6個十，因此口算結果為60。

數(shù)學中的動手操作是將抽象的數(shù)直觀化，用圖形表征理解數(shù)式表征?；跀?shù)形結合的方法，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學活動經(jīng)驗、厘清算理，發(fā)展多種表征，促進多元智力發(fā)展。

（二）基于轉化思想方法的算理教學分析

轉化的思想方法是將復雜的問題化繁為簡，是“一種學習對另一種學習的影響”。遷移理論是轉化思想的理論基礎。當已有的認知結構不能解決新問題時，學生會轉變認知結構，運用舊知和原有認知結構解決新問題。這個轉變和調(diào)整的過程就是轉化。轉化的思想方法在理解算理中要把握兩個原則，一個是化復雜為簡單，一個是化整體為若干。教師需要遵守原則，選擇合適的算理教學策略。對學生來說，多位數(shù)乘一位數(shù)口算乘法和筆算乘法是新的知識，教師在教學筆算“12×3”時，引導學生獨立思考解決的方法，會根據(jù)已有的知識想到以下幾種計算方法。

生1：筆算豎式12+12+12=36。

生2：用筆算乘法的方式列豎式計算如下：

學生1將筆算乘法轉化為筆算加法，利用乘法的意義來理解乘法的算理，化繁為簡，有助于學生理解乘法的本質。筆算乘法的計算法則是基于口算乘法的算理，教師需充分利用學生的已有經(jīng)驗進行算理教學。在教學時，教師需引導學生回憶口算乘法的算理，利用乘法分配律將“12”分成“10”和“2”，再將“10”和“2”分別與“3”相乘，最后將結果合起來，即“2×3=6，10×3=30，30+6=36”。

筆算轉化成口算，讓學生感受到筆算中有口算，在口算中理解筆算豎式算理。教師需對比圖2兩種筆算豎式的區(qū)別，讓學生感受數(shù)學的簡潔美，從而掌握筆算的算理和算法。

（三）基于“變中有不變”的思想方法算理教學分析

在運算時，在不斷變化的數(shù)中找到數(shù)學的本質，掌握不變的規(guī)律，這就是變中有不變的思想。從宏觀上看，數(shù)學本質是指思想、精神等；從微觀上看，數(shù)學本質是數(shù)學知識的本真。基于學生的認知特點，教材的編排是分散的，并遵從由易到難的順序編排。乘法的運算分布在不同的學年段，學生對乘法運算的理解有可能是片面的、割裂的，這就要求教師在教學時滲透變中有不變的思想方法，讓學生在變中把握不變，更好地認識運算的本質?？谒愕乃憷硎墙⒃谖恢抵聘拍钆c運算意義的基礎上；筆算的算理以口算為基礎，而“多位數(shù)乘多位數(shù)”就是“多位數(shù)乘一位數(shù)”的延伸。計算的“算理”是有結構的整體，教師在教學之前，要充分研究本次授課中的“算理”與以往學習過的算理的聯(lián)系，將知識放入橫向與縱向的知識系統(tǒng)，讓學生在知識聯(lián)系和變化中探尋數(shù)學本質。

在“多位數(shù)乘一位數(shù)”的計算中，學生在表內(nèi)乘法和筆算加減法的基礎上學習筆算乘法。在運算的步驟和順序上，筆算加減法和筆算乘法有很多不同，學生在初學時容易出現(xiàn)錯誤。教師需引導學生注意區(qū)分筆算乘法和筆算加減法的同與不同、變與不變，減少負向的思維定勢。十進制是學生認識數(shù)、數(shù)的運算的重要知識。筆算乘法利用位值概念和乘法分配律，幫助學生理解算法。比如“18×3”，先算“3×8”得“24”，學生容易把進位中的“2”忽略掉。學生出現(xiàn)錯誤的原因是不理解“2”的具體意義，缺乏對位值概念的認識?！?8×3”的列豎式計算，是利用乘法分配律理解算法，先計算“3×8”得“24”，再算“3×1”?！?4”表示2個十，4個1，在列豎式時，根據(jù)位值概念將“4”放在個位上、“2”放在十位上?！?8”中的“1”在十位上，表示1個十，3×1得3，3表示3個十，加上進位的2個十，得5個十，因此計算結果為54。知識是學生把握數(shù)學本源的載體，教師在教學時需從微觀角度分析算理內(nèi)容，厘清相關知識的邏輯關系，幫助學生把握知識的本質。

總之，“算理”在計算教學中占據(jù)舉足輕重的地位。學生在探究算理的過程中，在學習遷移理論、認知表征理論的基礎上，通過對數(shù)形結合思想方法、轉化思想方法、變中有不變的思想方法進行分析，學生思維能夠經(jīng)歷直觀思維向抽象思維發(fā)展的過程，進一步提升計算技能。

【參考文獻】

［1］張銀靜.數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教學中的問題研究［D］.太原：山西大學，2020.

［2］陳琦.當代教育心理學［M］.北京：北京師范大學出版社，2007.

［3］王永春.小學數(shù)學與數(shù)學思想方法［M］.上海：華東師范大學出版社，2014.

【作者簡介】李娟（1998—），女，廣西桂林人，南寧師范大學2020級初等教育學院碩士研究生，研究方向為小學教育；韋宏（1968—），男，漢族，廣西上林人，理學碩士，南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授，碩士研究生導師，研究方向為學科教學（數(shù)學）。

（責編楊春）