均布載荷下四邊固支矩形薄板的撓度

摘要：? 為求解四邊固支矩形薄板在均布載荷作用下的撓度表達式，以利維解為基礎(chǔ)利用疊加法將復(fù)雜問題分解為多個簡單問題，然后進行疊加，獲得四邊固支矩形薄板在均布載荷作用下的撓度表達式。利用有限元模擬驗證表達式的正確性，發(fā)現(xiàn)有限元結(jié)果與公式結(jié)果吻合較好。

關(guān)鍵詞：? 疊加法; 均布荷載; 矩形薄板; 四邊固支; 撓度; 有限元

中圖分類號：? TU392; TB115.1文獻標志碼：? B

Deflection of rectangular thin plates fixed on four sides

under uniform load

MA Renxiang

（College of Civil Engineering， Shandong Jianzhu University， Jinan 250101， China）

Abstract： In order to solve the deflection expression of quadrilateral fixed rectangular plate under uniform distributed load， based on levy solution， complex problems are decomposed into several simple ones by superposition method， by superposition， the deflection expression of the rectangular plate with four sides fixedly supported under uniform load is obtained. The finite element simulation is used to verify the correctness of the expression.

Key words： superposition method; uniform load; rectangular thin plate; fixed on four sides; deflection; finite element

收稿日期： 2021-11-25修回日期： 2021-11-11

作者簡介： 馬仁香（1996—），女，漢族，山東濟南人，碩士研究生，研究方向為結(jié)構(gòu)工程，E-mail： 1378167471@qq.com0引言薄板作為一種常見的結(jié)構(gòu)形式，廣泛應(yīng)用于建筑領(lǐng)域，對于薄板的研究多集中于理論。YU等[1]利用疊加法研究變平面剛度、寬徑比和不同邊界條件對撓度和彎矩的影響;FEDOSEYEV等[2]研究集中載荷作用在矩形薄板自由邊時板的撓度，并給出計算方法;鐵摩辛柯等[3]利用簡單的三角級數(shù)，通過傅里葉級數(shù)展開，推導(dǎo)出集中載荷作用下四邊簡支板的簡化表達式;董文堂[4]研究均布載荷作用下四邊固支薄板的撓度計算問題，利用實用傅里葉級數(shù)乘展法進行簡化并得出計算方法，但只有板中心精度較高且只驗證中心點位置，其他位置誤差偏大;江濤等[5]應(yīng)用辛疊加方法研究相鄰兩邊固支其余邊自由矩形正交各向異性薄板在均勻載荷作用下的彎曲問題;董文堂等[6]利用半解析法研究對邊固支對邊自由板殼大撓曲變形問題并給出計算表達式;高俊等[7]基于平面閘門研究兩對邊簡支一邊固支一邊自由以及三邊固支一邊自由矩形薄板在靜水載荷作用下的撓度、內(nèi)力、應(yīng)力的分布規(guī)律。對薄板的研究，學(xué)者們采用不同方法：吳連元[8]利用疊加法得出均布載荷作用下兩端固支薄板的撓度計算表達式;陳英杰等[9]利用修正后的功的互等法，研究一邊固定三邊簡支大撓度矩形薄板在均布載荷作用下的撓曲面問題，推導(dǎo)大撓度彎曲矩形薄板的廣義位移解;鄭妍等[10]利用伽遼金法分別計算四邊簡支和夾支2種邊界條件下的等厚度和變厚薄板的撓度。目前，四邊固支矩形薄板在均布載荷作用下的研究還較少，也沒有系統(tǒng)的求解公式，納維葉解法是解決薄板小撓度問題比較簡便、有效的方法。其采用簡單的三角級數(shù)表示撓度表達式，能用于多種情況的載荷，但只局限于簡支邊界。在固支邊界條件下，為滿足邊界條件，撓曲函數(shù)通常設(shè)為復(fù)合三角函數(shù)，但其多階偏導(dǎo)數(shù)組成的彈性微分方程不能合并提取待定系數(shù)的撓度表達式。本文以利維解為基礎(chǔ)，嘗試利用疊加法，獲取四邊固支矩形薄板的撓曲函數(shù)表達式。

1理論推導(dǎo)如圖1所示，四邊固支矩形薄板承受均布載荷q，撓度計算可采用疊加法，由均布載荷作用下四邊簡支板Ⅰ、y=±b/2端作用力矩另兩端簡支板Ⅱ、x=±a/2端作用力矩另兩端簡支板Ⅲ疊加。圖中：a為薄板長邊，b為薄板短邊，q為均布載荷，Mx、My均為力矩。

2有限元驗證

2.1算例1圖2（a）所示為四邊固支矩形薄板，長4 800 mm，寬2 400 mm，作用有面載荷q=1 N/mm2。利用Abaqus有限元軟件，采用殼單元建立模型，材料為理想彈塑性模型，彈性模量E=206 GPa，泊松比υ=0.3。有限元計算的位移云圖見圖2（b），部分節(jié)點的位移見表1。表中給出由式（4）計算的撓度，二者最大偏差11.7%、平均偏差7.5%。

2.2算例2圖3（a）所示的四邊固支方形薄板長4 200 mm，有限元計算的位移云圖見圖3（b），部分節(jié)點的位移見表2，表中給出由式（4）計算的撓度，最大偏差13.2%，平均偏差7.8%。

以上2個算例的精度較高，大部分節(jié)點撓度與推導(dǎo)公式計算的撓度偏差在10%以內(nèi)，只有小部分偏差在10%以上但不超過14%，偏差較大可能是因為疊加法只是簡單地分解后再進行疊加，無法計算板Ⅰ與板Ⅱ之間的相互影響。

3結(jié)論疊加法是一種建立在簡單問題基礎(chǔ)上求解復(fù)雜問題的實用方法，盡管疊加法比較累贅，工作量較大，但可把求解的困難分解，利用已有結(jié)果解決復(fù)雜問題。本文利用疊加法給出均布載荷作用下四邊固支矩形薄板的撓度表達式，運用有限元軟件建立模型，獲得矩形薄板任一點撓度，驗證公式的準確性。從上述的理論推導(dǎo)與算例驗證結(jié)果可知，公式具有較高的求解精度，且表達式具有良好的收斂性，可在以后的相關(guān)工程中起到一定作用，但公式比較繁瑣，更簡化的公式還有待研究。參考文獻：

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