基于波束域實值HOSVD的雙基地MIMO雷達測角算法

徐保慶 剡熠琛 同 非 任哲毅

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

多輸入多輸出(Multiple-input multiple-output, MIMO)技術最早的概念出現在通信領域中[1]，近年來開始在雷達中進行應用。作為一種新興體制的雷達，MIMO雷達本身有許多潛在的優勢，尤其是在提高測量精度和分辨力[2]、抗干擾[3]以及雜波抑制[4]等方面。MIMO雷達處理維數高，從單基地MIMO雷達的角度來講，虛擬孔徑的拓展能夠有效提高目標的空間角度分辨率，提高雷達抑制雜波的能力。另一方面，雷達有抗干擾的需求，多個發射波形能夠有效增加波形被截獲的難度。結合MIMO與雙基地雷達的技術優勢，可以形成一種新體制的雙基地MIMO雷達。作為一種新體制雷達，雙基地MIMO雷達已經成為雷達技術發展的一個新的契機[5-7]。雙基地MIMO雷達利用發射和接收陣列信號具有的方向相關性，可實現對目標波離方向(Directional of departure, DOD)和波達方向(Directional of arrival, DOA)的有效估計，由于結合了雙基地雷達和MIMO技術的優勢，具有極大的發展潛力。

經典的Capon算法[8]、MUSIC算法和ESPRIT算法[9-10]是相控陣測角算法在雙基地MIMO雷達體制下的延伸。子空間類算法需要對接收信號的自相關矩陣進行特征分解求得信號子空間或者噪聲子空間。該類算法由于需要對子空間進行估計，因此會受到低信噪比或者低快拍的制約而出現較大的性能損失。另外，由于子空間類算法需要對矩陣進行特征分解，尤其是MUSIC算法需要進行兩維的角度搜索，計算量往往很大，給雷達系統的實時處理造成很大的壓力。在文獻[11]中，G. Zheng等人將酉ESPRIT算法應用到雙基地MIMO雷達中去。由于在實值轉化的過程中應用了前后平滑技術[12]，所以該算法在兩個相干目標的情況下依然可以保持良好的測角性能。在文獻[13]、文獻[14]中，G. Xu和M.D. Zoltowski將空域濾波技術應用于相控陣雷達目標角度估計。常用的空域濾波器由離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)矩陣生成，在實現數據維度降低同時可以提高目標的信噪比，空域濾波算法要求目標的大體空間位置已知。M.D. Zoltowski等人在文獻[15]中又將酉ESPRIT算法拓展到了矩形陣列用于二維角度估計。文獻[16]采用Bayes稀疏表示方法對雙基地MIMO雷達多目標角度進行估計，這是CS技術在雙基地MIMO雷達角度估計領域中的又一經典應用。上述算法都是基于矩陣信號模型，本身并沒有利用雙基地MIMO雷達接收信號的多維信息，測角精度存在一定的損失。

為了解決這個問題，D. Nion在文獻[17]中首次提出平行因子(Parallel factor, PARAFAC)算法用于雙基地MIMO雷達目標DOD和DOA估計。在該文獻中，D. Nion首先給出雙基地MIMO雷達的接收信號的PARAFAC張量模型，然后對其分解的唯一性條件進行討論。在分解唯一性條件滿足的情況下，各個目標的DOD和DOA信息就可以被單獨提取出來，無需角度配對。常用的PARAFAC張量分解算法是交替最小二乘(Alternating least squares, ALS)算法[18]，其本身是一種迭代算法，收斂速度取決于多方面原因，且并不保證收斂到一個穩定的點，尤其是在目標相干的時候，收斂速度非常的緩慢。雖然PARAFAC分解算法計算量大，但是不需要對子空間進行估計，因此在估計相關及鄰近目標時具有獨特的優勢。Dimitri Nion等人在文獻[19]中詳細系統地討論了多種結構的MIMO雷達系統的張量分解及角度估計方法，充分利用了觀測信號的多維幾何結構。由于張量分解技術在雙基地MIMO雷達多目標角度估計中的獨特優勢，基于張量的角度估計算法也被應用于色噪聲條件下的多目標角度估計[20]。M. Haardt采用高階奇異值分解(Higher-order singular value decomposition, HOSVD)算法[21]對張量進行分解用于多維頻率估計。高階奇異值分解屬于張量子空間類算法，用HOSVD分解得到的信號子空間比傳統矩陣分解擁有更高的準確度，這也是該算法優于傳統算法的主要原因。Y. Cheng等人提出多維奇異值分解算法[22]，其本質上是HOSVD算法的在雙基地MIMO雷達兩維角度估計方面拓展。

本文提出一種波束域實值HOSVD雙基地MIMO雷達測角算法，所提算法通過凸優化方法對發射和接收波束域矩陣進行優化設計，可以靈活設置波束主瓣寬度并抑制副瓣電平，發射和接收波束的主副瓣比能夠得到很大提高，從而達到提高回波信噪比的目的。相比于傳統的矩陣信號模型，通過HOSVD獲得的張量信號子空間可以得到更高的測角精度，所提算法對發射和接收波束矩陣的結構進行設計以構造實值張量信號模型。最后，通過建立映射關系的方法對插值誤差進行補償，仿真結果驗證所提算法的有效性。

這里給出文中常用符號的定義：(·)T、(·)H和(·)*分別表示矩陣或矢量的轉置，共軛轉置以及共軛；diag(·)表示對角化操作；vec(·)表示矢量化操作；⊕和⊙分別表示Kronecker積和Khatri-Rao積；Re{·}和Im{·}分別表示取矩陣或者矢量的實部和虛部；ΙM表示M×M維的單位矩陣；符號·表示外積，即(a·b·c)ijk=aibjck，其中(X)ijk表示張量X的第(i,j,k)個元素，ai表示向量a的第i個元素。

1 信號模型

1.1 張量運算

為便于讀者理解，首先對本文用到的張量運算進行簡單介紹。

1)定義1(張量的矩陣展開)

2)定義2(HOSVD分解)

對于N階張量X∈CI1×I2×…×IN的HOSVD可以表示為

X=S×1U(1)×2U(2)…×NU(N)

(1)

其中，S∈CJ1×J2×…JN稱為核心張量，模式-n矩陣U(n)是一個半正交矩陣，即U(n)HU(n)=IJn，且Jn≤In。圖1給出了三階張量HOSVD分解示意圖。

圖1 三階張量的HOSVD分解

3)定義3(n-模式矩陣積)

X×mA×nB=X×nB×mA(m≠n)

(2)

X×mA×mB=X×m(BA)

(3)

[X×1A1×2A2×…×NAN](n)
=A(n)X(n)[An+1?…?AN?A1…?An-1]T

(4)

1.2 張量信號模型

假設M個發射陣元發射正交信號S=[s1,s2,…,sM]T∈CM×T，T表示單個脈沖的采樣點數。在傳統雙基地MIMO雷達體制下，由于發射信號彼此完全正交，滿足等式關系SSH=IM。假設遠場目標的個數為K，第k個目標的DOD和DOA分別用θk和φk表示。一個相干處理間隔(Coherent processing interval, CPI)內的脈沖數為Q，則接收陣列接收到的第q個脈沖信號可以表示為

(5)

(6)

第k個目標的接收導向矢量為

(7)

式(5)中，Nq表示均值為零的高斯白噪聲矩陣。將式(5)寫成矩陣形式

Xq=BΛqATS+Nq

(8)

以上面的張量理論為基礎，接下來對雙基地MIMO雷達張量信號模型進行構建,由式(8)可知，雙基地MIMO雷達第q個脈沖經匹配濾波后可以表示為

(9)

不同于矩陣信號模型的構造方法，我們將Yq，q=1,2,…,Q，沿著第三維進行排列，得到N×M×Q的張量信號模型X。根據文獻[19]，該張量信號模型可以表示為

(10)

其中，C=[d1,d2,…,dQ]∈CQ×K，K表示目標的個數，向量dk表示矩陣C的第k列。N∈CN×M×Q表示接收數據中的噪聲項。

2 實值波束域HOSVD測角算法

2.1 張量運算

(11)

(12)

(13)

2.2 角度估計

(14)

(15)

在采用前后平滑技術后，張量Z是中心厄米特張量。

(16)

(17)

其中，矩陣Q為酉矩陣，當下標為偶數時具有式(18)形式為

(18)

當下標為奇數時具有式(19)形式

(19)

U[s]=S[s]×1Q1s×2Q2s

(20)

(21)

(22)

U[s]×1Kr,1×3Φr=U[s]×1Kr,2

(23)

U[s]×2Kt,1×3Φt=U[s]×2Kt,2

(24)

Φr=TΨrT-1

(25)

Φt=TΨtT-1

(26)

其中，T∈CK×K為實值非奇異矩陣。矩陣Ψr和Ψt為分別包含目標DOA和DOD信息的對角矩陣，其表達式分別為

Ψr=diag{tan(πsinφ1/2),
tan(πsinφ2/2),…,tan(πsinφK/2)}

(27)

Ψt=diag{tan(πsinθ1/2),
tan(πsinθ2/2),…,tan(πsinθK/2)}

(28)

根據式(23)和式(24)求解矩陣Φr和Φt，該問題可以轉化為兩個張量最小二乘問題

(29)

(30)

式(29)和式(30)等價于

(31)

(32)

求解式(31)和式(32)得到

(33)

(34)

假設矩陣Φr和Φt采用同時對角化方法得到的第k個的特征值分別用μk和γk表示，則第k個目標的DOD和DOA估計值為

(35)

(36)

2.3 誤差補償

(37)

(38)

3 仿真實驗

圖2 發射空域濾波器幅頻響應

圖3 接收空域濾波器幅頻響應

仿真1：假設兩個非相關信源分別位于(θ1,φ1)=(15°,5°)和(θ2,φ2)=(35°,25°)。提出算法與ESPRIT算法、酉ESPRIT算法、波束域ESPRIT算法、酉PARAFAC張量算法以及CRB進行比較。圖4給出了RMSE隨著信噪比的變化情況，此時的脈沖數固定為50。圖5給出了RMSE隨著脈沖數的變化情況，此時的信噪比固定為0dB。從兩幅圖中可以看出，基于HOSVD和PARAFAC分解的空域濾波測角算法在低信噪比時要優于其它實值處理算法。

圖4 非相關信源RMSE隨信噪比變化情況

圖5 非相關信源RMSE隨脈沖數變化情況

仿真2：假設兩個相關信源分別位于(θ1,φ1)=(15°,5°)和(θ2,φ2)=(35°,25°)，相關系數為0.99。圖6給出了兩個相關信源情況下RMSE隨著信噪比的變化情況，此時的脈沖數固定為50。圖7給出了兩個相關信源情況下RMSE隨脈沖數的變化情況，此時的脈沖數依然固定為50。從圖7中可以看出，ESPRIT算法在處理兩個相關信源時存在很大的性能損失，這是因為ESPRIT算法沒有對雙基地MIMO雷達的接收數據進行前后平滑處理。

圖6 兩個相關信源情況下RMSE隨信噪比變化情況

圖7 相關信源檢測概率隨信噪比變化情況

4 結束語

本文將改進的空域濾波方法與張量分解方法相結合，在此基礎上對雙基地MIMO雷達角度估計算法進行了研究，提出了波束域實值HOSVD雙基地MIMO雷達測角算法。由于改進的空域濾波器能夠靈活控制波束寬度和抑制旁瓣電平，能提高空域濾波器主副瓣比，而張量分解方法能夠利用雙基地MIMO雷達接收數據的多維信息，提高信號子空間估計精度。由于從陣元域到波束域的轉換，改變了信號子空間的旋轉不變結構，必須對估計結果進行誤差補償。仿真實驗驗證了本文算法的有效性。