基于模型參考自適應的球形機器人運動控制①

余晨雨 章 政 郭慶瑞 張艦棟 金 震

(*武漢科技大學機器人與智能系統研究院 武漢430081)

(**武漢科技大學冶金自動化與檢測技術教育部工程研究中心 武漢430081)

(***武漢科技大學信息科學與工程學院 武漢430081)

0 引言

球形機器人是一種具有封閉球形外殼、一體化機械結構的移動機器人,其驅動方式主要有質心偏移驅動、動量輪驅動和電機直接驅動等方式。相比于傳統的輪式、履帶式移動機器人,球形機器人具有全封閉、運動靈活、平衡能力及自我恢復能力強等特點,在星球探索、危險環境探測等領域具有顯著優勢和廣泛的應用前景[1]。

球形機器人是一個典型的欠驅動、非鏈式、強耦合和非線性的復雜系統,由于其獨特的機械結構和行走方式,導致球形機器人的機理模型存在結構復雜、參數不確定等問題,因此運動控制一直是球形機器人領域研究重點之一。文獻[2]在非完整約束的條件下,分別建立球形機器人的運動學和動力學模型,通過輸入變換將動力學模型變換為一個兩輸入的二階系統,并基于非線性滑模控制方法分別設計了橫向姿態控制器和縱向速度控制器,保證被控系統的運動狀態收斂到期望的鄰域。文獻[3]基于動力學模型設計了一個狀態反饋控制器,利用李雅普諾夫定理驗證了控制率的穩定性,并通過外殼跟蹤預期角速度函數來使機器人完成預期運動。文獻[4]研究了球形機器人在坡面上的建模和運動控制問題,利用拉格朗日方程建立了系統的動力學模型并通過比例積分微分(proportional-integral-derivative,PID)控制器實現了球形機器人在坡面上的穩定控制。上述控制方式在一定程度上保證球形機器人穩定控制。然而,由于球形機器人環境感知能力不足,易受外部和內部的不確定性因素影響,導致球形機器人的運動參數變化大。因此,依賴準確性模型進行控制系統設計的方法存在一定的局限性,特別是當系統受到較大的干擾時,系統的控制效果將大大降低。

模型參考自適應控制(model reference adaptive control,MRAC)能夠有效解決系統模型參數變化導致控制效果下降的問題,使系統獲得較好的控制性能[5]。本文以自主搭建的球形機器人為被控對象,設計并實現了一種基于MRAC 的球形機器人運動控制系統。首先,采用拉格朗日方程建立球形機器人的動力學模型;然后,根據球形機器人的性能參數和運動過程信息,設計了模型參考自適應控制系統,按照李雅普諾夫穩定性理論設計自適應控制率,使系統的控制效果得到優化;最后,實驗驗證了本文所設計的基于MRAC 的球形機器人系統的可行性和有效性。

1 球形機器人的動力學模型

1.1 球形機器人結構設計

本文搭建的球形機器人實驗平臺由球形外殼、驅動平臺和全向輪組成,外觀和驅動平臺結構如圖1所示。

圖1 球形機器人

圖1 中,球殼為亞克力透明球,球殼內部是由三個互成120 °分布的全向輪和控制全向輪轉動的驅動平臺組成;全向輪采用直角電機驅動,其額定電壓為12 V,轉速為120 r/min;主控芯片采用的是RT1064;基于捷聯慣性測量單元(intertial measurement unit,IMU)設計了姿態檢測傳感器,其中磁力計采用IST8310 傳感器,加速度計和陀螺儀為MPU6050 整合性六軸姿態傳感器。

球形機器人主要硬件參數數據如表1 所示。

表1 主要硬件參數

1.2 系統建模

為了便于進行動力學分析,本文對球形機器人進行如下簡化和假設。

(1) 由于球形機器人為軸對稱結構且全向輪與球殼內壁相切,在進行直線運動時,將3 個全向輪直接等效為1 個驅動輪,驅動輪質量m2與全向輪質量m的關系為m2=3m。

(2) 考慮到驅動平臺質量主要集中在電機和電池部分,在實際安裝過程中,電機和電池主要集中在全向輪中心附近,因此將驅動輪半徑等效為(R -l)。

(3) 球形機器人所有運動部件均為剛體。球形機器人在運動中無滑動摩擦,球殼與地面的滾動摩擦可以忽略不計。

(4) 球形機器人外殼等效為一個半徑為R、質量為M的薄壁球殼。

當球形機器人沿直線運動時,其簡化模型如圖2所示。圖2 中,OXY為固連于球形機器人初始位置地面的正交坐標系。設x為球形機器人球心位移,θ為內部驅動平臺擺角,τ為驅動電機輸出力矩。

圖2 球形機器人簡化模型

由于球形機器人球心位移x和內部驅動平臺擺角θ唯一確定,因此選取廣義坐標變量為

球形機器人球殼、驅動平臺和全向輪產生的動能分別為

式中,J1為球殼轉動慣量,;J2為驅動平臺轉動慣量,J2=ml2;J3為驅動輪轉動慣量,J3。

選取地面為零勢能點,球殼、驅動平臺和全向輪產生的勢能分別為

因此,球形機器人系統的拉格朗日函數L為

根據虛功原理,可得球形機器人系統所受的廣義力Q為

拉格朗日方程的一般形式為

式中,qk為廣義坐標q的第k個分量,Qk表示廣義力Q的第k個分量。

將式(5)～式(9)代入式(10)得到球形機器人系統的動力學方程:

當球形機器人穩定運行時,球形機器人運動加速度和驅動平臺擺角變化均很小,即都很小,此時內部驅動平臺擺角θ滿足:

將式(13)表示為關于廣義坐標q的二元二階方程形式,則球形機器人動力學方程為

式中:

式中,A為系統矩陣,,B為輸入矩陣,B=[0b10b2]T,C為輸出矩陣,C=,[g1g2]T=-V-1N(q),[b1b2]T=V-1E。

2 模型參考自適應控制系統設計

由于球形機器人系統較為復雜,不能精確建立其系統模型,且在球形機器人運動過程中,系統模型參數可能發生變化,常規依賴于被控對象模型的控制算法將會產生誤差,控制效果不能達到預期[6-12]。因此本文采用模型參考自適應控制算法對球形機器人系統進行運動控制,以取得較好的控制效果[13-15]。

本文搭建的基于MRAC 的球形機器人控制系統框圖如圖3 所示。圖中,為參考模型,G和F分別為被控系統的前饋增益矩陣和反饋增益矩陣。當球形機器人模型參數發生變化時,系統輸出y與參考模型輸出ym之間會產生誤差e,自適應機構將利用誤差來對G和F進行動態調整,從而使被控系統能夠實時跟隨參考模型。

圖3 基于MRAC 的球形機器人控制系統框圖

2.1 參考模型選取

參考模型是系統期望的輸出響應,因此參考模型的選取影響著系統的動態性能,本文采用極點配置的方式設計球形機器人的參考模型。根據式(15)所示的球形機器人狀態空間模型,設期望的極點為s1、s2、s3和s4,對應系統模型的反饋向量為K,則球形機器人的參考模型為

2.2 自適應機構設計

在模型參考自適應控制中,利用李雅普諾夫方法設計自適應機構能夠保證系統具有全局漸進穩定性,且該方法已經得到廣泛使用[16]。本文基于李雅普諾夫方法設計球形機器人的自適應機構。

由圖3 可知,引入前饋增益G和反饋增益F后,球形機器人的狀態方程為

根據式(16)可知,被控系統和參考模型輸出矩陣為單位向量,因此:

那么廣義誤差的狀態方程為

設G和F的理想值分別為,則當和時,滿足:

則由式(19)可得:

在以廣義誤差e與可調參數誤差Φ和Ψ組成的增廣狀態空間中,定義李雅普諾夫函數為

式中,P、Γ1和Γ2均為正定矩陣。

由于:

則由式(22)可得:

因為Am為穩定矩陣,為了可以選定對稱矩陣Q使得對任意e成立,式(25)右側第2 項和第3 項必須恒為零,因此選

當A和B為常值或變化緩慢時:

由此可得:

由式(26)～式(28)可得,前饋增益G和反饋增益F的自適應律為

式(29)確定的自適應律就可以保證李雅普諾夫函數V正定和負定,此時對于任意分段連續輸入向量函數r都能夠保證模型參考自適應控制系統是全局漸進穩定的,即limt→∞e(t)=0。

3 仿真與實測實驗

將表1 中的數值代入式(15)中,可得球形機器人系統的動力學模型參數為

選取球形機器人系統的期望極點為-10,-10,,則其參考模型參數為,Bm=B。

由式(22)可知,式(29)中P、Γ1和Γ2均為正定矩陣。在實際應用中,一般Γ1和Γ2取單位矩陣,P矩陣需要根據廣義誤差狀態方程取合適的矩陣,本文經過反復仿真實驗,當對稱矩陣,此時廣義誤差收斂效果最好,其響應曲線圖如圖4所示,圖中e1、e2、e3和e4為廣義誤差向量e的4 個狀態分量。

圖4 廣義誤差

為驗證控制器性能,將本文所設計的基于MRAC 的球形機器人控制系統與基于狀態反饋控制的球形機器人控制系統進行對比。其中,狀態反饋控制器的期望極點與MRAC 控制器中參考模型期望極點相同。

3.1 控制性能驗證

圖5 和圖6 分別為球形機器人在階躍響應下球心位置x和驅動平臺擺角θ的變化曲線。

由圖5 和圖6 可知,本文算法與狀態反饋控制輸出基本相同,都能夠在3 s 左右快速達到指定位置并穩定下來。由于狀態反饋控制的期望極點與MRAC 控制器中參考模型期望極點相同,且在MRAC 控制器中,系統輸出是利用參考模型與系統模型輸出之間的誤差,調節反饋增益和前饋增益,使系統模型能夠跟隨參考模型,因此該實驗結果表明本文搭建的模型參考自適應控制系統中系統模型輸出能夠很好地跟蹤參考模型輸出,具有較好的控制效果。

圖5 球心位移變化

圖6 驅動平臺擺角變化

同時,通過球形機器人球心位移曲線和驅動平臺擺角曲線可知,在球形機器人運動過程中,驅動平臺首先快速向前運動到最大擺角位置,使球形機器人重心前移,并開始加速向前運動;當即將到達給定位置時,驅動平臺擺角開始反向增大,使球形機器人開始減速,最終,通過內部驅動平臺的幾次調整,球形機器人速度為0,并達到給定位置。這與球形機器人實際運動情況相符合,也說明了本文建立的動力學模型的正確性。

3.2 抗擾動驗證

為測試系統的抗擾動能力,本文在仿真中第3 s時加入沖激信號。圖7 和圖8 分別為在有擾動情況下球心位置x和驅動平臺擺角θ的變化曲線。

由圖7 和圖8 可知,當在第3 s 產生擾動時,雖然內部驅動平臺開始出現一定程度的擺動,但球形機器人幾乎沒有產生位移,并在經過大約2 s 后,球形機器人系統就能夠完全恢復穩定。由此可以得出,模型參考自適應算法在擾動作用下也能夠快速跟蹤參考模型,有效對抗擾動,在短時間內就能恢復系統穩定,具有與狀態反饋控制器相當的抗干擾能力。

圖7 球心位移抗擾動實驗

圖8 驅動平臺擺角抗擾動實驗

3.3 魯棒性驗證

考慮到在球形機器人運動過程中,系統參數可能產生變化,為模擬系統參數發生20%的變化情況,本文將表1 中各參數數值擴大1.2 倍,控制器參數和結構不變。圖9 和圖10 分別為參數不確定情況下使用本文算法和狀態反饋控制方法,球心位移和驅動平臺擺角變化情況。

由圖9 和圖10 可以看出,當系統受到一定程度的不確定參數的影響時,模型參考自適應控制算法仍然能夠具有較好的控制效果,球心位移和內部驅動平臺擺角雖然相對于參考模型產生了一定的誤差,但是仍然能夠大致跟蹤參考模型的輸出,并且能夠在3 s 左右恢復穩定,并收斂至與參考模型相同的位置。但是狀態反饋控制在參數發生20%的變化時已經開始產生震蕩,系統的穩定性大大降低。因此,實驗結果可以證明本文所設計的MRAC 控制器對于系統參數不確定性具有很強的魯棒性。

圖9 參數不確定下球心位移

圖10 參數不確定下驅動平臺擺角

3.4 實際運行驗證

基于圖1 所搭建的球形機器人,本文分別進行了直線軌跡跟蹤運動和圓形軌跡跟蹤運動實驗,并通過離線方式將運動曲線記錄下來,驗證所設計MRAC 的球形機器人控制系統的運行效果。

圖11 和圖12 為球形機器人直線運動實驗,直線軌跡長度為240 cm,球形機器人運行時間為6 s。球形機器人的直線軌跡跟蹤結果如圖11 所示,圖中實線為預期軌跡、虛線為球形機器人的實際運動軌跡。圖12 為4 個不同時刻球形機器人的位置。由圖11和圖12 可以看出,在球形機器人啟動時,雖然由于滑動摩擦以及自身慣性等影響產生了較小偏差,但是能夠較快調節到期望位置,在整個運動過程中,球形機器人能夠較為精確地按照預定軌跡滾動。

圖11 直線運動軌跡

圖12 不同時刻球體位置

圖13 為球形機器人在圓周運行軌跡,圖14 是在圓周運動中不同時刻相應位置。圖中,圓環半徑為75 cm,實線為預期軌跡、虛線為球形機器人的實際運動軌跡,球形機器人整體運行時間為30 s。在圓形軌跡運動過程中,由于軌跡較為復雜,內部全向輪與球殼之間存在滑動摩擦,因此在運動過程中出現了一定偏差,但是總體仍能夠按照預定軌跡運行。因此,根據實驗可知,模型參考自適應控制算法能夠有效地應用于球形機器人實際系統中。

圖13 圓形運動軌跡

圖14 圓周運動不同時刻位置

4 結論

本文針對全向輪驅動的球形機器人系統,建立了其拉格朗日動力學模型,并利用模型參考自適應控制算法,設計了運動控制系統。實驗表明,本文所采用的模型參考自適應控制能夠有效應用于球形機器人控制系統,在有干擾的情況下能夠快速恢復穩定,特別在球形機器人系統參數不確定的情況下,模型參考自適應控制算法仍然能夠很好地對球形機器人進行控制,達到了預期的效果。