基于赫茲理論的全方位MY輪穩定驅動分析

葉長龍，李延灼，陳 南，于蘇洋

(沈陽航空航天大學 機電工程學院，沈陽 110136)

隨著相關理論研究和運動控制的日漸成熟，全方位移動機器人廣泛應用于工業制造和物流等行業[1-2]。全方位移動機器人的關鍵結構為承擔全向運動的全方位輪,目前包括主動控制的萬向輪、連續切換輪、麥克納姆輪和MY系列全方位輪等[3-5]。MY輪外形類似于正交輪，2個MY輪通過串聯或并聯的方式構成全方位輪組來實現移動平臺的全方位運動。在保證全方位運動的前提下，雙球冠差動式MY輪有較好的承載能力和越障能力[6]。全方位輪本身的機械結構在實際的使用中存在抖動和打滑的問題[7-9]，主要是由MY輪在運動過程中輪子與地面接觸區域產生，所以本文將詳細分析雙球冠差動式MY輪與地面的接觸，并嘗試從接觸力學[10]的角度構建MY4輪的接觸力學模型，為全方位機器人的穩定運動控制打下基礎。

1 MY4輪接觸力學模型

1.1 MY4輪機械結構

為實現重載條件下的全方位移動，本文設計了雙球冠差動式MY輪簡稱MY4輪，由十字軸、凸臺和雙球冠構成，如圖1所示。作為輪子支撐的主動軸和被動輥軸構成了十字軸。

圖1 MY4輪

圓臺安裝在輪子內部，與球冠形成的內差動結構形成整體上的力封閉結構，如圖2所示，該結構可以有效增加輪子的承載能力。

圖2 力封閉結構

2個MY4輪并聯布置，構成一個全方位輪組，如圖3所示，通過齒輪傳動，保證2個MY4輪繞十字軸的主動軸同步轉動。在運動過程中，并聯布置方式使2個MY4輪組單元能夠連續交替地與地面接觸，有效提供驅動力矩。

圖3 全方位輪組

表1為雙球冠差動式全方位輪的結構參數表。

表1 MY4輪相關參數

1.2 MY4輪運動原理

圖4為MY4輪的全方位運動簡圖,x方向為主運動方向，在該方向上MY4輪繞十字軸回轉中心即主動軸旋轉;y方向為側向滑移方向即被動運動方向，在該方向上MY4輪球冠繞十字軸被動輥軸轉動;在x-y平面上，x與y方向的復合運動使輪子在運動過程中存在2個正交的自由度。

圖4 MY4輪全方位運動簡圖

MY4輪的使用方式類似于正交輪[11]，單個雙球冠差動式輪子只能保證y方向的運動，在x方向上由于球冠頂部被切除，會形成接觸區和非接觸區，所以無法連續運動。2個MY4輪被動軸45°并聯布置，使得接觸區和非接觸區相互錯開，保證了與地面接觸的連續性，實現了平面內的全方位運動特性，MY4輪采用并聯排布的運動方式，輪組結構簡圖如圖3所示。

1.3 MY4輪接觸分析模型

帶負載的MY4輪與水平地面接觸時，由于輪體受載發生彈性變形，接觸位置處并非是理想的點接觸，而是面接觸。當MY4輪處于靜止狀態時，施加法向載荷，輪子與地面的接觸面為圓形。隨著法向載荷的增加，MY4輪回轉軸中心會沿法向接近圓形接觸區，接觸區的面積也會不斷變大。在這一靜力學模型中，幾何尺寸較小的接觸區是全方位運動生效的關鍵位置，接觸位置處的幾何與力學變量會很大程度影響MY4輪的機械性能，因此基于赫茲接觸理論[12]建立MY4輪的靜力學模型，推導法向載荷與相關變量之間的映射關系顯得尤為重要。赫茲理論假設材料是完全彈性變形的，同時材料均勻，各向同性，接觸表面光滑連續。以此構建MY4輪在受到法向載荷時的輪廓變形方程、彈性形變方程以及靜力學平衡方程，聯合推導出MY4輪接觸靜力學模型，便可導出負載、接觸面半徑和輪心與法向位移三者的映射關系。

1.3.1 靜力學模型建立

假設MY4輪與一個彈性球面接觸，MY4輪半徑為R，彈性球半徑為R0，并于O點處添加法向載荷使得兩個球體壓近接觸。A、B兩點距離對稱中心均為d，如圖5所示。MY4輪與彈性球接觸而受約束，輪體的材料是均勻分布且存在彈性變形的，并假設球冠輪轂包覆的橡膠材料厚度遠大于輪子受法向力時接觸圓的半徑a，故可視其為彈性半空間[13]。

圖5 接觸分析模型

依據赫茲理論推導在法向受載時MY4輪與彈性體的幾何變形公式。

由弦長公式可得

R2=(R-z1)2+d2

(1)

在微變形條件下，可令MY4輪徑向壓縮量z1的高階項為無窮小量。故上式展開后z1的二次項可忽略不計，可得

(2)

對于彈性球同樣適用，因此當MY4輪上的載荷擠壓固定不動的彈性球時，A、B之間的距離可表示為

(3)

設X1為MY輪A上一點因局部變形沿Z1方向所產生的位移，X2為彈性球B上一點因局部變形沿Z2方向所產生的位移，兩球中心O1、O2的接近距離為δ。在接觸區域內，則有

δ=z1+z2+X1+X2

(4)

聯立(1)、(2)、(3)、(4)式可得

(5)

由軸對稱性且兩球形彈性體接觸,根據接觸,力學空間軸對稱問題作用在面積單元dsdφ上的位移方程可得

(6)

(7)

其中，E1、μ1與E2、μ2分別為MY4輪與彈性球的彈性模量以及泊松比，p為赫茲壓力分布，因此，MY4輪與彈性球圓心處的徑向位移表示為

(8)

按照赫茲接觸理論，接觸區域的壓力為拋物線分布形式，接觸圓中點O處的接觸應力壓力最大Pm。接觸區域邊界處的法向壓力為0，因此可得

(9)

其中，dsinφ為接觸區域內部任意一點與接觸區域中心的距離，如圖6所示。

圖6 接觸區域建模

MY4輪因其機械結構特殊，在與地面接觸時，可以將地面視為接觸分析模型中半徑無窮大的接觸圓。根據赫茲理論，可以計算得到接觸區域半徑a、MY4輪法向形變δ和最大接觸壓應力Pm

(10)

通過理論計算得出，法向載荷P與接觸圓半徑a、MY4輪法向形變δ和最大接觸壓應力Pmax呈非線性關系，如圖7所示。隨著負載P的增加，在包覆橡膠材料不失效的條件下，接觸圓半徑a、MY4輪法向形變δ和最大接觸壓應力Pm的增大趨勢逐漸為零。

圖7 不同法向載荷下MY4接觸形變與接觸應力變化曲線

1.3.2 滾動接觸

通過赫茲接觸理論研究分析了MY4輪受法向載荷時有限范圍內的接觸狀態，描述了系統靜力學模型。為了更加精確地建立MY4輪的接觸力學模型，還要考慮切向加載，將接觸問題拓展至滾動接觸[14]。

根據接觸力學三維非協調接觸滾動理論，當MY4輪在法向加載和驅動力共同作用時，MY4輪接觸區域邊緣會產生“微滑”現象，如圖8所示。

圖8 滾動接觸分析模型

通過靜力學分析可知，當MY4輪受載處于靜平衡狀態時，其與地面的有限接觸域為一圓域。當驅動力矩通過十字軸傳遞到輪子上時，在接觸位置產生的切向力會使輪體發生彈性變形，接觸圓內MY4輪和地面的重合點會產生相對位移s。當極限摩擦阻力大于這個切向力且切向力不為零時，根據接觸圓徑向的不同力學狀態，輪與地面的接觸圓域會分化為兩部分[15-16]，即“滑動區”和“黏著區”，幾何形狀上分別表現為寬度為s的環形區域和半徑為c的圓形區域。其中，“黏著區”是MY4輪與地面相對靜止的區域，“滑動區”是MY4輪與地面存在相對滑動的區域。

由靜力學分析可知，當MY4輪的法向載荷不變時，輪與地面接觸半徑a也不變。隨著驅動力矩持續增大,“滑動區”的環形寬度s向圓形接觸區的圓心不斷擴大；“黏著區”的半徑c不斷向圓形接觸區的圓心收縮。某一時刻，“黏著區”收縮至接觸圓的圓心處成為一個點，此時滑動區擴大為圓形接觸區域的去心鄰域，MY4輪處于完全打滑邊緣狀態。

MY4輪在驅動力和摩擦阻力所構成的力偶作用下會產生垂直于接觸面法線(圖8中所示點劃線)方向的微變形。圖8中虛線表示MY4輪球冠處彈性材料在力偶作用下發生的法向變形趨勢,在這種趨勢下，MY4輪與地面的接觸區與靜力學分析時的圓形接觸區不同，因此認為“黏著區”是實際為輪子提供驅動力的區域。

根據接觸力學相關基本理論推導驅動力同實際有效接觸區半徑c之間的關系。在負載P的作用下，MY4輪與地面間產生一個圓形的接觸面，其半徑的大小由式(10)確定。

MY4輪的驅動力是關于圖5所示平面對稱的，在這種情況下“黏著區”仍然為圓形并與接觸圓同心。

忽略切向力在法向上的影響，當MY4輪和地面原點處接觸時，切向力的分布為

q′(x,y)=μp(x,y)=μPm(1-r2/a2)1/2

(11)

式(11)中，q′(x,y)為法向載荷作用下接觸面產生的切向力；μ為MY4輪與地面摩擦系數；r為接觸區域內一點距離接觸中心的徑向距離。

MY4輪加載驅動力矩時，“黏著區”內的切向力分布為

(12)

式(12)中，q″(x,y)為驅動力矩作用下接觸面產生的切向力。

根據接觸力學理論，“黏著區”半徑c的數值大小可由切向力計算得到

(13)

整理可得“黏著區”與接觸圓半徑a的數學關系

c=a(1-Q/μP)1/3

(14)

由此得到MY4輪的有效驅動面，即半徑為c的圓形區域。

令μP=60 N，接觸面切向力Q與打滑程度即c/a之間的函數關系如圖9所示。當輪子有效驅動力矩達到“飽和”時，輪子將處于完全打滑狀態。

圖9 不同打滑程度下切向力變化曲線

從圖9中分析得出，在c/a=(0,0.4)時，切向力的變化范圍約為(56,60)，相對于切向力Q，c/a變化梯度為0.1；在c/a=(0.4,1.0)時，切向力的變化范圍約為(0,56)，相對于切向力Q，c/a變化梯度約為0.01。

因此，保證c/a的變化范圍在(0.4,1.0)，即使外部干擾造成切向力的突然增大，輪子依然可以提供有效的驅動力而不發生滑動。

2 MY4輪驅動穩定性分析

全方位輪的驅動力大小主要取決于越障高度和輪子運動時反力矩的大小，現在討論MY4輪在理想平面運動時的穩定驅動力矩。

由MY4輪接觸力學分析可知，驅動力矩M產生的牽引力(切向力)作用在輪與地面的接觸面時存在半徑為c的有效驅動面。為保證驅動力矩的有效性，忽略輪與地面的粘連形成的拉力及空氣阻力，即輪子與地面不存在打滑現象時“黏著區”的大小為

(15)

驅動力矩M(驅動力矩等于輪組即將運動時接觸區域邊緣產生的反力矩與系統摩擦力矩MS之間的閾值)大于等于接觸面靜摩擦產生的有效驅動力矩與系統摩擦力矩Ms時才會使機器人產生有效運動。因此可得關系式

在臨界條件下，電機啟動力矩要大于滾動摩阻M1與系統摩擦力矩之和

M≥M1+Ms=P*a+Ms

(16)

為保證有效驅動c>0，即驅動力矩的閾值為

(17)

通過式(17)可以得到穩定驅動時驅動力矩M的數值取值范圍。分析可知，在載重不變的條件下，輪子打滑是由于提供有效驅動力“黏著區”的范圍隨著驅動力矩的增大逐漸減小。

根據表1中MY4輪的參數，在法向載重P=50 kg；經計算有接觸半徑a=0.007 08 m，角加速度為50 rad/s2,并假設Ms=0時，電機驅動力矩M的取值范圍為：0.35

3 仿真與實驗

3.1 MY4輪靜力學仿真

通過ANSYS對MY4輪進行靜力學仿真，MY4輪外包覆橡膠材料屬性如表2所示。

表2 接觸材料屬性

對仿真模型進行如下簡化：地面與輪子的接觸設定為摩擦接觸，其余機械結構接觸面設定為bonded接觸模式，即視為一個焊接件；去除三維裝配體中的圓角和倒角，將軸承零件使用圓柱實體代替以減少網格劃分的難度；輪子的半徑R=75 mm。根據圣維南原理將十字軸兩端所受的軸承力簡化為輪子中心點處的法向力，并去除未與地面接觸的球冠。

圖10a為ANSYS仿真結果與理論計算結果，其中，橫坐標為輪子法向壓力P，縱坐標為接觸面最大接觸應力值Pm。

圖10 MY4輪接觸仿真

從仿真結果來看，相對于理論值，進行了模型簡化的MY4輪的靜力學仿真存在一定的誤差,但其變化趨勢與理論值一致。

3.2 MY4輪靜力學實驗

MY4輪的靜力加載實驗驗證接觸力學靜力學模型的準確性。本實驗中，地面的材料屬性與仿真實驗時選取的材料屬性一致。首先取單獨MY4輪作為加載對象并使之處于靜止狀態，沿MY4輪法向加載測得MY4輪的輪地接近距離H(MY4輪法向高度變化)。

靜力加載實驗利用控制變量法定量增加MY4輪法向載荷，并記錄每次加載后對應的地面接近距離H的大小，對得到的數據點進行多項式曲線擬合，如圖11所示。

圖11 MY4輪法向加載實驗

在單獨MY4輪靜力加載實驗基礎上，以重載全方位移動機器人為實驗對象，通過法向加載不同質量的重物統計移動平臺接地距離，并進行數據處理，如圖12所示。

圖12 法向加載實驗

從兩次實際工況下的試驗曲線可知，隨著法向載荷逐漸增加，MY4輪的接觸變形符合靜力學模型公式的非線性變化規律。

3.3 MY4輪驅動打滑試驗

在MY4輪驅動打滑試驗中，通過改變電機的加速度來實現不同的驅動力矩加載，MY4輪表現出不同運動狀態。試驗結果表明，當電機加速度為50(運動狀態1)時，MY4輪沒有明顯的打滑現象；當電機加速度調整為100(運動狀態2)及150(運動狀態3)時，MY4輪在啟動過程中有明顯的打滑現象。

圖13為不同運動狀態下電機實際電流變化曲線。通過比較各個狀態下電機實際電流變化趨勢可知，當MY4輪打滑時，電機反饋電流在電機啟動過程的某一時刻會有一個突變，即圖中的電流變化趨勢線。當MY4輪越過打滑點時，實際電機電流變化趨勢線將逐漸與實際檢測電流曲線重合，與理論分析一致。

圖13 MY4輪打滑實驗

4 結論

本文基于赫茲接觸理論，對MY4輪在法向載荷作用下與地面之間的接觸力學進行建模與分析，通過有限元仿真及靜力學加載試驗論證了接觸模型的正確性。分析結果表明：

(1)最大接觸應力并不隨負載的增加而線性增加，這種梯度遞減的變化有利于重載條件下保障MY4輪外部包覆材料的有效性；

(2)當法向載荷增大時，接觸面半徑不會因負載的增大而線性增加，保證了MY4輪的啟動力矩大小不會隨負載線性地增大，有利于保證MY4輪機械系統的驅動效率；

(3)輪心與地面接近距離的立方同負載的平方成正比，隨著負載的增加機器人底盤不會線性地隨負載增大而沉降。

(4)在MY4輪與地面滾動接觸時，“黏著區”為輪子提供了有效的驅動力，并且在輪子法向載荷不變時，隨著驅動力矩的增大“黏著區”呈非線性減小趨勢。因此可以得到MY4輪提供有效驅動的驅動力矩的參考范圍。在基于MY4輪的全方位移動平臺的控制中，根據輪子與地面滾動接觸特性建立準確的機器人運動模型,進而為提高機器人的運動控制穩定性和有效驅動提供設計依據。