基于二階滑模的永磁同步電機直接轉矩控制研究

周志宇，文定都，張 陽，田其章，劉建華

（湖南工業大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）結構簡單、損耗小、效率高、電機形狀及尺寸可靈活多樣。隨著材料技術的不斷發展和性能提高，PMSM 已經在民用、航天和軍事等領域廣泛應用[1-2]。然而，PMSM 是個多變量、非線性和變參數的復雜對象，為獲得較好性能，需對其采用一定的控制算法。

無傳感器控制技術采用一定的控制算法實現轉子位置及速度估算，這代表了PMSM 控制系統的發展趨勢。目前常用的算法包括滑模觀測器算法、模型參考自適應控制算法、擴展卡爾曼濾波器算法等[3]。其中，滑模觀測器算法對系統模型精度要求不高，對參數變化和外部干擾反應不靈敏，但這種算法魯棒性較強。在PMSM 控制系統中，該算法是基于給定電流與反饋電流間的誤差設計滑模觀測器（sliding mode observer，SMO），通過該誤差重構電機的反電動勢，估算轉子速度[4-5]。而實際控制量是不連續的高頻切換信號，為獲得連續的擴展反電動勢估計值，需外加一個低通濾波器，采用反正切函數來獲得轉子的位置信息。

傳統的直接轉矩控制（direct torque control，DTC）采用兩個Bang-bang 控制器分別對轉矩與磁鏈進行控制，響應速度較快、對系統參數變化和外干擾魯棒性較強，但逆變器不穩定的開關頻率，導致一個數字控制周期中所選用的有效電壓矢量無法與期望的電壓矢量一致，使得傳統DTC 中磁鏈和轉矩脈動過大[6]。為獲得連續且更多的電壓矢量，保證逆變器開關頻率的恒定，本研究采用空間電壓矢量脈寬調制（space vector pulse width modulation，SVPWM） 方法，同時引入二階滑模控制器，構建轉矩與磁鏈調節器[7-8]。基于理論與系統仿真分析表明，該算法控制精度高，抗干擾性強，增強了系統的魯棒性。

2 PMSM 數學模型

為了簡化分析，假設永磁同步電機在以下理想情況的基礎上建立簡單可行的數學模型：1）忽略鐵芯的飽和；2）忽略電機中的渦流和磁滯損耗；3）電機中電流為對稱的三相正弦波電流。

根據電機理論，將同步旋轉坐標系下的方程利用反Park 變換，可得靜止坐標系下的方程：

式中：uα、uβ為靜止坐標系下的定子電壓；iα、iβ為定子電流；R、Ls分別為定子電阻與定子電感；eα、eβ為靜止坐標系下的反電動勢，具體公式為

式中：ωe為電角速度；ψf為永磁體磁鏈；θ為轉子角度。

根據式（1）可得出PMSM 在靜止坐標系下的電流模型：

3 系統設計

3.1 滑模控制器的設計

3.1.1 速度控制器的設計

PMSM 是一個非線性、強耦合的多變量系統。控制系統受到外界擾動的影響，電機內部參數發生變化時，傳統的PI 控制方法并不能滿足實際要求[9]。因此，為提高PMSM 調速系統的動態品質，本研究利用滑模控制器（sliding mode control，SMC）對擾動與參數不敏感、響應速度快等優點，設計采用滑模速度控制器。以表貼式PMSM 為例，建立同步旋轉坐標系下的數學模型如下：

式中：ud、uq分別為定子電壓的d-q軸分量；id、iq分別為定子電流的d-q軸分量；ωm為角速度；pn為電機相數；J為轉動慣量；TL為負載轉矩；B為轉矩阻尼系數。

當id=0 時，轉子磁場定向控制方法可以獲得較好的控制效果，數學模型變為

電磁轉矩方程為

定義永磁同步電機系統的狀態變量方程為

式中：ωref為電機的參考轉速；ωm為實際轉速。

根據式（5）～（7），聯立求解可得方程組：

定義滑模面函數為

式中，c為設計參數，且c＞0。

對式（10）求導，可得出：

本研究采用指數趨近率，可得：

為了從根本上避免或削弱系統抖振，采用準滑動模態控制。將繼電特性連續化，用連續函數θ(z)取代sgn(z)，可得：

為保證PMSM 驅動系統有良好的動態品質，定義控制器的表達式如下：

參考轉矩為

容易驗證在滑模控制器的作用下，系統逐漸趨于穩定。

3.1.2 直接轉矩控制器設計

同步旋轉坐標系d-q下，求解電磁轉矩Te的表達式為

定子磁鏈矢量的方向與d軸方向相同時，ψr=ψd，定子磁鏈幅值可表示為

在二階滑模控制算法中，對于一個動態系統，其表達式如下：

式中：n為輸入變量；y為輸出量；a、b、g為未知函數。

在二階滑模控制中，一個為不連續的滑動變量函數，另一個為連續的導函數：

定義磁鏈的滑模面函數為

利用二階滑模控制原理，此時磁鏈控制器的表達式為

式中Ki、Kp為待設計參數，且Ki、Kp＞0。

同樣，利用二階滑模原理，此時轉矩控制器的表達式為

式中ST為轉矩的滑模面函數。

令設計參數r=0.5，基于滑模控制的DTC 控制框圖如圖1 所示。

圖1 基于二階滑模的DTC 控制框圖Fig.1 DTC control block diagram based on second order sliding mode

3.2 滑模觀測器的設計

滑模控制系統是一種特殊的非線性控制系統，它與常規控制的根本區別在于控制的不連續性，即一種使系統“結構”隨時變化的開關特性[10-11]。這種方法實現的關鍵在于滑模面函數的選取和滑模增益的選擇，既要保證收斂的速度，又要避免增益過大引起電機運行產生過大抖振[12]。在PMSM 控制系統中，該方法是基于給定電流與反饋電流間的誤差，并由該誤差來重構電機的反電動勢、估算轉子速度[13]。

3.2.1 電流滑模觀測器的搭建

電流SMO 算法的設計是基于靜止坐標系下的數學模型，電機方程為

式中[EαEβ]T為反電動勢，其表達式為

為方便觀察擴展反電動勢，將式（26）的電壓方程改寫為電流方程

為獲得擴展反電動勢的估計值，設計電流滑模為

將式（28）與式（29）作差，可得出電流的誤差方程為

滑模控制率設計為

式中：

觀測器的狀態變化達到滑模面后，觀測器狀態會一直保持在滑模面上，根據滑模控制基本原理，可得：

3.2.2 反正切函數的轉子位置估計

實際控制量為不連續的高頻切換信號，為提取連續的擴展反電動勢估計值，需要加一個低通濾波器：

式中τ0為低通濾波器時間常數。

在進行低通濾波處理時，濾除高頻切換信號的同時，擴展反電動勢的估計值也會相應變化，本研究采用反正切函數獲得轉子位置信息：

濾波處理獲得的反電動勢估算分量會引發相位延遲，通常需要在式（34）基礎上加一個角度補償，如式（35）所示：

式中ωc為濾波器的截止頻率。

反正切SMO 算法的實現原理框圖如圖2 所示。

圖2 反正切SMO 原理框圖Fig.2 Principle block diagram of arctangent SMO

4 系統建模仿真與結果分析

4.1 仿真模型的搭建

根據文中算法描述，在Matlab/Simulink 環境下搭建仿真模型，以此驗證基于二階滑模的PMSM 直接轉矩控制系統在動靜態性能上的優勢。其系統框圖如圖3 所示。

圖3 基于二階滑模的永磁同步電機直接轉矩控制框圖Fig.3 Direct torque control block diagram of permanent magnet synchronous motor based on second order sliding mode

根據滑模控制器的原理，滑模速度控制環仿真模型如圖4 所示，其中的參數設置為c=60、ε=200、m=300。

圖4 滑模速度控制器仿真模型Fig.4 Simulation model of sliding mode speed controller

反正切觀測器仿真模型如圖5 所示，基于反正切函數部分仿真模型如圖6 所示。基于二階滑模的永磁同步電機直接轉矩控制系統仿真模型如圖7 所示，永磁同步電機的參數設置如表1 所示。其中的仿真的條件為Vdc=311 V，SVPWM 的開關頻率為10 kHz，仿真運行時間為0.4 s。

圖5 反正切觀測器仿真模型Fig.5 Simulation model of arctangent observer

圖6 滑模觀測器中使用反正切函數仿真模型Fig.6 Simulation model use arctangent function in sliding mode observe

圖7 基于二階滑模的永磁同步電機直接轉矩控制系統仿真模型Fig.7 Simulation model of PMSM direct torque control system based on second order sliding mode

表1 永磁同步電機參數Table 1 Parameters of permanent magnet synchronous motor

4.2 仿真結果與分析

永磁同步電機傳統直接轉矩控制和基于二階滑模的永磁同步電機直接轉矩控制仿真結果如圖8～11所示。由圖8a、b 所示傳統直接轉矩系統轉速波形與改進后的控制系統轉速波形可以看出，與傳統直接轉矩控制相比，改進后的轉速觀測值較為穩定，超調量基本為0。

圖8 系統轉速波形Fig.8 System speed waveform

圖9 TL=5 N·m 時的系統轉速波形Fig.9 System speed waveform with TL =5 N·m

由圖9 可看出，系統動態加載5 N·m 時，傳統的直接轉矩轉速波形波動十分明顯，超調量σ接近10%，調節時間為0.07 s，而改進后的控制系統轉速波形響應速度快且超調量σ接近0，調節時間為0.055 s。在0.2 s 后，傳統直接轉矩由于負載較大，無法恢復到額定轉速，而改進后的控制系統能在較短時間內恢復到額定轉速，表明系統的抗干擾能力增強。

圖10 TL=5 N·m 時的系統電磁轉矩波形Fig.10 system electromagnetic torque waveform with TL =5 N·m

由圖10 可以看出，選取[0.250 s，0.260 s]時間段觀察，傳統直接轉矩波動范圍為4.0～5.5 N·m，轉矩波動為1.5 N·m，而改進后的系統轉矩波動范圍為5.0～5.6 N·m，轉矩波動為0.6 N·m，可見轉矩波動范圍明顯減小。

圖11 系統磁鏈波形圖Fig.11 Flux linkage waveform of system

由圖11 可看出，傳統直接轉矩控制系統的磁鏈波動為0.294～0.304 Wb，磁鏈脈動為0.01 Wb，而改進后的系統磁鏈波動范圍為0.297～0.301 Wb，磁鏈脈動為0.004 Wb，可見磁鏈波動范圍也明顯減小，這樣電機抖動噪聲比明顯減小。

根據上述的仿真曲線與分析可知，傳統直接轉矩控制系統產生的超調量比較大，響應時間比較長，抖振嚴重；改進后的基于二階滑模直接轉矩控制系統產生的超調量小，響應時間短，抖振很小，抗干擾性能強，具有較強的魯棒性能。

5 結語

本研究提出了一種基于二階滑模的直接轉矩控制系統。用SVPWM 空間矢量脈沖寬度調制技術代替滯環控制與開關表，獲取了更多連續的電壓矢量，使逆變器的開關頻率得到控制。采用二階滑模控制器調節磁鏈和轉矩，減少了電機參數與外界干擾對磁鏈和轉矩控制的影響。仿真實驗結果表明：基于二階滑模的直接轉矩永磁同步電機調速系統，在超調量、調節時間、轉矩和磁鏈脈動上，都優于傳統直接轉矩控制系統，能較好地消除抖振，提高了系統的抗干擾能力和魯棒性能。