一些常系數非齊次線性微分方程的復數解法

成都信息工程學院數學學院 杜先云

綿陽師范學院數學與物理學院 任秋道

一、引入

現行《高等數學》中微分方程給出了二階常系數非齊次線性微分方程

的解法，解的形式需要求待定多項式，過程較復雜。我們給出該類型微分方程的復數解法，方法簡單，還可以減少計算量。

二階常系數非齊次線性微分方程y''+py'+qy=Pm（x）eλx（λ∈C）的特解為

其中，Qm（x）是與Pm（x）同次（m次）多項式，而k要分三種情況：當λ不是特征方程的根、是特征方程的單根及是特征方程的二重根時，k分別取0、1 及2。

二、復數的解法

討論下列二階常系數非齊次線性微分方程：

或

或

的解，其中，p，q，α，β∈R，Ol（x），On（x）及Pm（x）分別為l，n及m次實系數多項式。

定理：方程（2）與（3）的解分別是復數方程y''+py'+qy=Pm（x）eλx的解的實部和虛部，它們的特解分別是

的實部和虛部，特解的共同形式：

其中，Qm（x）是m次復系數多項式，且當λ=α+βi不是特征方程的根與是特征方程的根時，k分別取0 及1。

方程（2）的解y1＊=Rey=xkeαx[Qu（x）cosβx-Qv（x）sinβx]，方程（3）的解y2＊=Imy=xkeαx[Qu（x）sinβx+Qv（x）cosβx]，它們有共通形式：y=xkeαx[cosβxRm（x）+sinβxSm（x）]。

推論：方程（4）的特解為y＊=Re[xkeλxQl（x）xk]+Im[xkeλxQn（x）]=xkeαx[cosβxRm（x）+sinβxSm（x）]，其中，Ql（x）與Qn（x）分別是l與n次復系數多項式，Rm（x）與Sm（x）是m（m=max{l，n}）次實系數多項式，當λ=α+βi不是特征方程的根與是特征方程的單根時，k分別取0 及1。

其中，Rm（x）與Sm（x）是m（m=max{l，n}）次實系數多項式，而當λ=α+βi不是特征方程的根與是特征方程的根時，k分別取0 及1。