等距素數對再探

河南封丘 魏一凡

一、幾個定義

定義5：若a˙被相對應的連續素數連續作用后，存在一個非作用對象N，使得a-N=1，a+N＜2a為素數，那么N叫a˙的素數黑洞（其中a≥2）。

定義6：若自然數a≥3 被素數p≥3 除，余數為b（b=1，2，…，p-1），自然數x且0 ＜x＜a被p除也余b，且a-x=p與a+x皆為素數，那么x叫a與p的素數同余差，簡稱同余差。

定義7：若a≥2 為素數，被相應的素數p作用后刪去，那么a叫p的棄素數，簡稱棄素數。易知，所有的素數均為棄素數。

定義8：任給自然數a≥2，若存在自然數x且0 ≤x＜a，使得a-x與a+x同為素數，則稱a-x與a+x是a的等距素數對，記作（a，±x），只有a是素數時，x才等于0。

二、大篩法公式的產生

這個公式存在如下幾個問題：

①φr的整數部分是否全部是非作用對象。

②若φr中的非作用對象就一個素數黑洞怎么辦？所以φr的整數部分一定要大于等于2。

③非作用對象被a減或加，其差與和是否同時為素數。

所以就有了以下的幾個定理。

三、幾個定理

定理1：a˙≥2 被連續素數p1，p2，…，pr連續作用的結果與作用順序無關（其中p1=2）。

與①同理，φ（a˙，r）的整數部分沒有pi的作用對象。

故，a˙在連續素數p1，p2，…，pr連續作用下，φ（a˙，r）的整數部分完全是非作用對象。

定理4：若0 ＜x＜a是φ（a˙，r）中整數部分的任一個，且x不是素數黑洞， ＜2a＜ ，那么a-x與a+x同為素數。

證明：因為0 ＜x＜a是φ（a˙，r）中整數部分的任一個，所以由定理3 知，x為連續素數p1=2，p2，…，pr的非作用對象，而a為作用對象，所以易知a-x與a+x都不能被p1，p2，…，pr整除。假 設a+x是 合 數，所 以a+x=pq，所 以p≥pr+1，q≥pr+1，所 以a+x=pq≥ 。因為0 ＜x＜a，所以a+x＜2a。因為2a＜ ，所以a+x＜ ，這與a+x≥ 矛盾，故a+x是素數。因為x不是素數黑洞，同理，a-x是素數。

定理5：當a≥2 為自然數時，每一個a都至少存在一對等距素數對。