借助“幾何畫板” 突破函數難點

豆向東

根據“幾何畫板”制作的數學課件，可以動態演示畫函數圖像的過程，用函數值隨自變量的變化而變化的過程，可以讓抽象的函數變得直觀形象，有利于學生理解函數的概念、圖像和性質。本文就反比例函數和二次函數的部分難點，探討“幾何畫板”在函數教學中的應用。

一、利用“幾何畫板”輔助畫函數圖像

1.直觀感受反比例函數的圖像

課前準備：教師在“幾何畫板”中繪制函數y=[1x]的圖像，分別在一、三象限的分支上取點P、Q，追蹤點P、Q并生成動畫，隱藏函數y=[1x]的圖像。

部分學生在初次接觸反比例函數圖像描點時，因為受正比例函數的圖像是一條直線的定式影響，在描點后發現描出的點不在同一直線上而懷疑自己的做法是否正確;還有一部分學生會想是不是和原點連線呢？這部分學生可能和原點連接起來畫成放射狀的圖像，也有些學生會對這一做法提出異議：反比例函數[y=kx（k≠0）]中[x]、[y]的值不為0，圖像應該沒有（0，0）這一點。那么反比例函數的圖像到底是什么樣的呢？這時，教師打開課前制作的“幾何畫板”課件，先后生成點P、Q的動畫，用光滑的曲線繪制出反比例函數的圖像，排除學生的錯誤認知，引導學生直觀認識反比例函數的圖像是一條“雙曲線”。為了讓學生更清楚地觀察雙曲線無限靠近坐標軸的趨勢，可以進一步把圖形局部放大。

2.數形結合理解二次函數圖像

學習“二次函數y=ax2的圖像”時，教師先引導學生結合平方的含義得出“二次函數y=ax2中，當x=0時，y有最小值0”的結論，接著提出問題：二次函數y=ax2的圖像是不是有最低點（0，0）呢？此時，學生用懷疑的眼光看著教師，想進一步探究的興趣也因此調動起來。教師趁熱打鐵，讓學生通過列表、描點、連線畫出二次函數y=ax2的大致圖像，用”幾何畫板”展示二次函數y=ax2的圖像，解除學生的疑惑，增強學生對二次函數圖像的感性認識。教師重點引導學生觀察圖像的“最低點”及向兩邊延伸的走勢，讓學生知道圖像是一條光滑的曲線;提醒學生注意畫二次函數時容易出現的錯誤，如“最低點”沒有畫對位置，圖像向兩邊延伸不規范，用直的折線連接描出的點等。

二、利用構造出的函數圖像，探究函數的性質

1.動態的演示反比例函數的增減性

不少學生難以理解反比例函數的增減性，極易出現認不清“在y=[1x]中，y隨[x]的增大而減小”的知識錯誤。教師采用以下方法糾正學生的認知偏差：（1）用”幾何畫板”畫出函數y=[1x]的圖像，在第一象限的分支上取一點P，并用”幾何畫板”度量點P的橫、縱坐標，從左到右移動點P，讓學生觀察點P的坐標的變化，得出“在第一象限內，y隨x的增大而減小”的結論;再在第三象限的分支上取點Q，用同樣的方法得出類似的結論;（2）接著讓學生分析點P、Q的橫、縱坐標，并思考“在y=[1x]中，y隨[x]的增大而減小”是否正確？經過以上兩步的演示觀察，學生對反比例函數的增減性有較為深刻的認識。

2.探究二次函數y=ax2中a與拋物線的開口方向、開口大小的關系

按照常規方法，取a的不同值，畫出不同的拋物線，在分析觀察的基礎上得出結論。這樣做，一是需要不少時間，二是重復畫圖容易降低學生的學習欲望。用“幾何畫板”可以快速達到教學目標。課前教師準備課件，用”幾何畫板”以a為參數畫二次函數y=ax2的圖像;課堂上，用拖動或生成動畫的方式從大到小改變a的值，快速畫出不同形狀的拋物線，學生邊觀察邊思考：（1）拋物線的開口方向與a的值有什么關系？（2）a=0時，二次函數y=ax2的圖像還是拋物線嗎？（3）拋物線的開口大小與a的值有什么關系？

3.探究二次函數的性質

部分學生對于二次函數y=[12x2-6x+21]的性質感到迷茫。教師通過“幾何畫板”化靜為動，能給學生帶來直觀上的感受，給學生以最直接的理性認識，學生的疑惑可以在教師的動態演示下得到解決。過程如下：在引導學生將y=[12x2-6x+21]化成y=[12]（x-6）2+3后出示課件（課件中提前用“幾何畫板”畫出y=[12]（x-6）2 +3的圖像，在其上任取一點P，并度量點P的橫、縱坐標），從左到右拖動點P，在點P沿拋物線移動的過程中，讓學生觀察點P坐標的變化，可以發現：（1）圖像的最低點是（6，3），當x=6時，y有最小值3;（2）在對稱軸左側即x<6時，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側即x>6時，y隨x的增大而增大。

“幾何畫板”參與下的函數教學，使學生很容易看到各個變量之間的關系，使函數的圖像與性質直觀化、形象化。教學中還可以讓有一定計算機基礎的學生在教師做好的圖形上進行探索，增強學生學習的主動性。教師要正確把握演示的時機，讓學生參與到函數的圖像與性質的探究中來，要在學生充分動手與思考之后給予演示，否則學生會成為觀看“電影”的觀眾，缺少深入的思考，“幾何畫板”反而會剝奪學生動手與思考的機會，這與教學目標相悖。

（作者單位：襄陽市東津新區世紀城中學）

責任編輯? 張敏