重視研究過程 探索數(shù)之規(guī)律

譚又英

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。本文以高中數(shù)學(xué)人教A版《必修五》第二章《數(shù)列》教學(xué)為例，探討如何更好地探索數(shù)的規(guī)律。

一、用數(shù)學(xué)眼光看問題，抽象數(shù)之“一般性”

數(shù)學(xué)的眼光就是要把現(xiàn)實(shí)世界中與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，需要忽略事物一些表面的、特殊的、非本質(zhì)的性質(zhì)，通過細(xì)致地觀察，尋求規(guī)律，將其共性剝離出來，形成概念、判斷、推理等思維形式。

例如：已知數(shù)列[an]的前幾項(xiàng)，寫出下面數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（1）[34]，[23]，[712]，[12]...

（2）0.3，0.33，0.333，0.3333...

出示題目后，教師說：“由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是要找出每一項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就需要大家仔細(xì)觀察，從數(shù)的結(jié)構(gòu)、形式、變化趨勢(shì)等方面將共同規(guī)律抽象出來。”一名學(xué)生說：“（1）中前兩個(gè)數(shù)的分子和分母都減少‘1，但是第三、第四項(xiàng)不是這個(gè)規(guī)律。”另一名學(xué)生說：“整個(gè)分?jǐn)?shù)值是越來越小的，如果將第四項(xiàng)寫成[612]，那就是在第三項(xiàng)的基礎(chǔ)上分子減少‘1，我認(rèn)為可以將四個(gè)數(shù)通分之后再作比較。”

教師將學(xué)生提出的思路板書如下：

項(xiàng)數(shù)[n]：1????? 2?????? 3????? 4

↓???? ↓????? ↓???? ↓

項(xiàng)[an]： [912]??? [812]???? [712]??? [612]

板書后，學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每一項(xiàng)的分子與對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)之和為10，通項(xiàng)公式為[an]=[10-n12]。

接著，教師出示第二道例題：某地區(qū)為防洪抗旱大面積植樹造林， 如下圖， 在區(qū)域[（x，y）x≥0，y≥0]內(nèi)植樹，第1棵樹在點(diǎn)[A1]（0，1），第2棵樹在點(diǎn)[B1]（1，1），第3棵樹在點(diǎn)[C1]（1，0），第4棵樹在點(diǎn)[C2]（2，0），按照?qǐng)D中箭頭方向，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度種一棵樹，第2020棵樹所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是???????? 。

在完成等差數(shù)列的前[n]項(xiàng)和的學(xué)習(xí)之后，教師提出上面的問題讓學(xué)生解決。一部分學(xué)生很快計(jì)算出正確結(jié)果，還有部分學(xué)生完全沒有頭緒。教師請(qǐng)已經(jīng)完成的學(xué)生講解自己的思路，一名學(xué)生說：“按照樹的種植位置的規(guī)律，可以放在一個(gè)個(gè)“正方形”中來考慮，第一個(gè)正方形上有三棵樹，第二個(gè)正方形上有5棵樹，第三個(gè)正方形上有7棵樹……以此類推，根據(jù)等差數(shù)列前[n]項(xiàng)和公式，找出和最靠近2020的[n]值，確定這棵樹的位置，然后寫坐標(biāo)。”教師肯定了該學(xué)生的觀點(diǎn)：“根據(jù)樹的種植位置找規(guī)律，很容易結(jié)合等差數(shù)列進(jìn)行求解，我們一起嘗試計(jì)算。”

第1個(gè)正方形? 第2個(gè)正方形? 第3個(gè)正方形? 第[n]個(gè)正方形

↓??????? ↓??????? ↓????????? ↓

3棵樹??????? 5棵樹?????? 7棵樹??????? 2[n]+1棵樹

前[n]個(gè)正方形共種植樹的棵數(shù)為3+5+7+……+（[2n]+1）=[n（3+2n+1）2]=[n（n+2）]，而44×46=2024，可知前44個(gè)正方形共種植樹木2024棵。由種植方向得出第2024棵樹在[y]軸上，其點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，44），往回?cái)?shù)四個(gè)點(diǎn)，即第2020棵樹的坐標(biāo)為（4，44）。

教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：“根據(jù)前面的探究我們發(fā)現(xiàn)，樹在種植排列時(shí)很有規(guī)律，我們要寫出某棵樹所在點(diǎn)的坐標(biāo)，往往會(huì)借助坐標(biāo)軸上的點(diǎn)變動(dòng)得到。大家觀察落在坐標(biāo)軸上‘樹的棵數(shù)與其所在點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，能否發(fā)現(xiàn)什么？”學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：第4、16、36棵樹在[x]軸上，它們的坐標(biāo)分別為（2，0），（4，0），（6，0）;第1、9、25棵樹在[y]軸上，坐標(biāo)分別為（0，1），（0，3），（0，5）。由[452=2025]類推可知，第2025棵樹在[y]軸上，其坐標(biāo)為（0，45），往回?cái)?shù)五個(gè)點(diǎn)，即第2020棵樹的坐標(biāo)為（4，44）。

二、用數(shù)學(xué)思維想問題，推理數(shù)之“嚴(yán)謹(jǐn)性”

“邏輯推理”是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方法，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從概念、公理、定理出發(fā)，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)，方可獲得正確的結(jié)論。

例如：已知數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]，若[a1]=1，[an+1]=[13Sn]，求[an]。這是數(shù)列中的高頻考點(diǎn)，考查[Sn]與[an]的關(guān)系，[an=S1，n=1Sn-Sn-1]，[n≥2]。學(xué)生對(duì)這一類題目的解法很熟悉，可以順利解答。

當(dāng)[n=1]時(shí)，[a2=13a1=13]

當(dāng)[n≥2]時(shí)，由[an+1=13Snan=13Sn-1]作差可得[an+1]-[an]=[13an]，即[an+1]=[43an]。

而看到[an+1]=[43an]時(shí)，學(xué)生就顧不上多想了，立即判定[an]是以[43]為公比的等比數(shù)列，然后求出其通項(xiàng)公式。這樣不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論會(huì)得出錯(cuò)誤答案，解題中學(xué)生忽略了非常重要的一點(diǎn)，[Sn]與[an]的關(guān)系在運(yùn)用時(shí)原本就是分類處理，所以[an+1]=[43an]的關(guān)系只能適用于[n≥2]時(shí)，還需要補(bǔ)充考慮[n=1]時(shí)，[a2]與[a1]的關(guān)系。由[a2=13a1=13]可知，數(shù)列[an]的第二項(xiàng)與第一項(xiàng)并不滿足比值為[43]，由等比數(shù)列的定義，就不能下結(jié)論說[an]是以[43]為公比的等比數(shù)列。接上述過程，正確規(guī)范的后部分解答應(yīng)該是這樣的：

當(dāng)[n≥2]時(shí)，[an+1]=[43an];且[a2=13a1=13]不滿足上式;故[n≥2]時(shí)，[an=13·43n-2];

綜上[an=1，n=113·43n-2，n≥2。]

三、用數(shù)學(xué)語言答問題，建模數(shù)之“廣泛性”

數(shù)學(xué)的語言就是模型，在構(gòu)建模型的過程中，往往需要從錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)背景中抽象出本質(zhì)的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言表達(dá)。

對(duì)于第一道例題中（2）的數(shù)字，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律——依次在小數(shù)點(diǎn)后多添加一個(gè)“3”。但是，如何通過一個(gè)式子正確表達(dá)第[n]項(xiàng)[an]與項(xiàng)數(shù)[n]之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？教師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，逐層遞進(jìn)，讓他們親身經(jīng)歷探究過程，體驗(yàn)解決問題的成就感。

轉(zhuǎn)化一（小數(shù)化整）：3，33，333，3333...

轉(zhuǎn)化二（簡(jiǎn)化倍數(shù)）：1，11，111，1111...

轉(zhuǎn)化三（體現(xiàn)位數(shù)變化）：1，10，100，1000...

轉(zhuǎn)化四（相關(guān)數(shù)的表示）：9，99，999，9999...

在整個(gè)探究過程中，無論是整數(shù)還是小數(shù)，依次添加一個(gè)數(shù)字的變化本質(zhì)是“數(shù)位的變化”，只要掌握了“轉(zhuǎn)化三”中數(shù)列通項(xiàng)公式的寫法，再進(jìn)行倍數(shù)及和差等運(yùn)算，這一類題目就迎刃而解。由1=[100]、10=[101]、100=[102]、1000=[103]可知“轉(zhuǎn)化三”中數(shù)列的通項(xiàng)公式為[an]=[10n-1]。于是可得：

轉(zhuǎn)化四：[an]=[10n-1]

轉(zhuǎn)化二：[an]=[19（][10n-1]）

轉(zhuǎn)化一：[an]=[39（][10n-1]）

所以，數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333……的通項(xiàng)公式為[an]=[39（][1-][10-n]）。

（作者單位：洪湖市文泉中學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏