基于EEMD 與HAR-RV 模型的已實現波動率研究

（上海理工大學 管理學院，上海 200093）

0 引言

金融市場中波動率的估計與預測問題一直以來都是金融計量領域的研究熱點。自從已實現波動率（Realized Volatility，RV）概念被提出后，Andersen 等［1］首次提出使用高頻數據作為一種全新的波動率度量方法。同時，許多金融學者在研究中發現，相較于傳統以日、周、月、年等為采集頻率的低頻數據，高頻數據能夠持續反映股票市場的信息，并且在頻率達到一定水平后，甚至能夠反映連續的信息。因此，高頻數據在降低信息丟失率的同時，能更有效地反映股票市場中股指價格波動的內在規律。但由于受到技術水平的限制，對于高頻數據的收集十分困難，大多數學者仍使用低頻數據進行研究。

近年來，隨著科技和互聯網的迅猛發展，有效降低了高頻數據的記錄與儲存成本。因此，基于高頻數據波動率的測量再次在學術界引起了廣泛關注。隨著已實現波動率理論的逐漸完善，研究者們發現已實現波動率具有尖峰厚尾，且右偏的特征，并且存在長記憶性，表明有效市場假說是失效的。為進一步解釋已實現波動率的長記憶性，Andersen 等［2］首先提出了ARFIMA-RV 模型；Corsi［3］通過進一步研究簡化了模型估計的復雜度，提出HAR-RV 模型；Mastro［4］分別用ARCH 族模型和HAR-RV 模型對SPX、UKX、DAX、NKY 全球4 個主要的股票指數預測波動率及實際波動率進行樣本內與樣本外的比較，發現HARRV 模型優于ARCH 族模型；Ma 等［5］比較分析了多重分形波動率模型和HAR-RV 模型的預測效果，發現HAR-RV模型具有更高的預測精度。由于HAR-RV 模型具有較強的可拓展性和明確的經濟含義，因而逐漸成為了預測已實現波動率的基準模型。

然而，數據中的噪音也會隨著采樣頻率的提高而增加，從而使高頻金融數據的有效性大幅降低。因此，許多學者開始考慮從數據降噪的角度提升高頻金融數據的有效性。如蘭秋軍等［6］比較分析了傳統濾波方法在金融數據降噪過程中的缺陷，提出了小波分析（WA）方法對金融數據進行降噪；高靜等［7］通過使用小波分析對上證指數10 分鐘收盤價數據進行實證分析后發現，經小波分析處理后的模型可以提高預測精度；張維等［8］通過實證研究發現小波分析在處理高頻數據方面的有效性，但在進行小波分析之前，需要預先給定小波基、分解尺度以及分解層數，會導致實驗結果受到人們主觀因素的影響；Huang 等［9］提出一種自適應信號時頻處理方法，即經驗模式分解方法（EMD），特別適用于非線性與非平穩信號處理，但其剛開始主要運用于工業降噪領域。隨后，劉海飛等［10］將經驗模式分解方法（EMD）引入金融市場數據預測中，發現其相較于小波分析（WA）擬合精度更高、預測能力更強。這吸引了越來越多學者將EMD 應用于金融領域，但EMD 方法存在以下兩點不足：①本征模函數（IMF）分解時存在著模態混疊現象，即一個本征模函數（IMF）中或許會存在不同時間尺度的特征成分；②分解本征模函數（IMF）過程中需要迭代多次，但缺乏一個停止迭代的標準。為抑制各本征模函數（IMF）分量之間出現的混頻現象，Wu 等［11］在EMD 分解中運用添加零均值的高斯白噪聲進行輔助分析，即集合經驗模態分解方法（EEMD）。目前，EEMD 在金融領域也有少量研究［12-15］，這些研究主要是將機器學習和深度學習方法與EEMD 相結合，對金融資產價格進行分析與預測，并取得了不錯的效果，但使用機器學習和深度學習方法只能考慮短期對未來的影響，無法考慮到金融時間序列的長記憶性。

因此，本文將從金融高頻數據的角度進行降噪處理，從而考察在對股指波動率進行預測的過程中，能否通過集合經驗模態分解方法（EEMD）對HAR-RV 模型的預測效果進行優化。近年來，為響應中央提出的“去杠桿”號召，金融機構對金融收益波動率的度量精度要求越來越苛刻。由于大量時間區間內股指波動率的基數都較小，使得微小的誤差能夠影響后續研究的準確性，因此預測精度的提高對于后續探索具有重要意義。

1 研究方法

1.1 集合經驗模態分解法

集合經驗模態分解法（EEMD）實質上是對EMD 方法的改進，主要根據白噪聲均值為零的特性，在原始信號中加入白噪聲，使得頻率分布趨于均勻，接著仍采用EMD 方法進行分解，最終得到的效果是相同的時間尺度分布在不同的IMF 中。具體分解步驟如下：

（1）將噪聲信號w(t)加入到原始信號X(t)，得到信號X'(t)=X(t)+w(t)。

（2）確定X'(t)的局部極大值和極小值點，并利用三次樣條函數將局部最大值和最小值的點連接起來，形成上下包絡線分別為U1和L1，計算上下包絡線的均值m1=。

（3）用X'(t)減去m1，得到新序列h1=X'(t)-m1。判斷h1是否滿足IMF 的兩個特征：①極值點與過零點數目相等或最多相差1 個；②在任意時刻，其上下包絡線均值必須為0。若滿足，則令c1=IMF1=h1，否則重復步驟（1）-（3），直到滿足上述兩個特征為止。

（4）用信號X'(t)減去c1，得到一個去掉高頻成分的新信號r1=X'(t)-c1。

（5）對r1重復得到c1的過程，得到第二個IMF 分量c2，一直反復進行到ri小于預設值或為單調函數（常量）為止。最終，X'(t)分解得到：

由于IMF 分量是由高頻到低頻依次排列，所以一定存在著第i個分量，使得噪音都集中在前i-1 個分量里，而有用信息則集中在第i～n個分量里。因此，對ci進行均值為零的T 檢驗，直至ci的均值顯著異于零，將c1～ci-1加總作為原序列的高頻部分，將ci～cn加總作為原序列的低頻部分，rn作為原序列的趨勢部分，對分解后的信號進行重構。

1.2 HAR-RV 模型

HAR-RV 模型是在市場異質性假說基礎上提出的，該假說主要描述了不同市場參與者對金融市場造成的不同方面的影響。例如，根據信息的不對稱性，可將市場中的交易者分為噪音交易者、正反饋交易者和知情交易者，正是由于這3 類交易者對相同信息的反應與預測不同，才使得股價在基本面范圍內波動。若異質交易者數量增加，不同交易者對信息反應的差別也會增大，導致價格的波動率增大。因此，Corsi［3］提出了HAR-RV 模型，假設未來的日實現波動率與短期、中期、長期的已實現波動率之間存在關系。

在無風險套利的金融環境中，金融資產的對數收益率Rt,i服從一個特殊的半鞅過程。因此，某金融資產的日內高頻對數收益率為：

第t 個交易日的日收益率可表示為：

由于高頻采樣數據下的收益率平方和是已實現波動率的無偏估計，因此第t個交易日的已實現波動率可表示為：

分別用日、周、月的已實現波動率代表短期、中期、長期3 個不同的時間尺度，則得到HAR-RV 模型如下：

2 實證研究

2.1 數據來源及說明

滬深300 指數作為反映滬深兩個股票市場運行情況的跨市場指數，自推出以來運行穩定，為指數化投資和指數衍生產品創新提供了基礎條件。因此，本文選擇滬深300 指數作為研究對象，觀測窗口設定為2016 年1 月11日-2020 年1 月17 日，共計981 個交易日，采樣頻率為5min，選取每個交易日9：30-11：30 及13：00-15：00 的交易數據，每天共48 個交易數據。

2.2 滬深300 綜合指數EEMD 分解

本文根據上述方法分別計算出日已實現波動率（RVt）、周已實現波動率（RVWt）、月已實現波動率（RVMt），運用MATLAB 軟件設置EEMD 的噪聲添加次數為100，加入高斯白噪聲的標準差設為0.2，分別對上述3 種股指波動率進行集合經驗模態分解，得到處理結果如圖1-圖3 所示。

Fig.1 Decomposition of daily realized volatility圖1 日已實現波動率分解

Fig.2 Decomposition of weekly realized volatility圖2 周已實現波動率分解

Fig.3 Decomposition of monthly realized volatility圖3 月已實現波動率分解

從圖1-圖3 可知，對日、周、月已實現波動率進行EEMD 處理后，均得到8 個IMF（由高頻到低頻排列）和1個殘余項，同時也可看出相較于長期的已實現波動率，短期已實現波動率呈現出較為劇烈的震蕩。3 個不同時間尺度的已實現波動率在2018 年2-3 月波動較大，主要由于2018 年2 月初，美股大幅下跌，海外投資者資金大幅流出，國內機構出于風險控制被動跟隨減倉導致的。

為了進一步對波動中的噪聲進行處理，分別對3 個不同時間尺度已實現波動率的IMF 分量進行零均值檢驗，結果如表1-表3 所示。

Table 1 The zero mean test of IMFs of daily realized volatility表1 日已實現波動率的IMF 零均值檢驗

由表1 可知，IMF1～IMF5 在5% 的顯著性水平上都是不顯著的，而IMF6 在5% 的顯著性水平上均拒絕均值為零的原假設。由于只要出現一個IMF 拒絕原假設，則剩余的IMF 分量均被看作低頻信號。因此，將IMF1～IMF5 加總得到高頻部分信號HIMF_D，IMF6～IMF8 加總得到低頻部分信號LIMF_D。

Table 2 The zero mean test of IMFs of weekly realized volatility表2 周已實現波動率的IMF 零均值檢驗

由表2 可知，IMF1～IMF4 在5% 的顯著性水平上都是不顯著的，而IMF5～IMF8 在5% 的顯著性水平上均拒絕均值為零的原假設。因此，將IMF1～IMF4 加總得到高頻部分信號 HIMF_W，IMF5～IMF8 加總得到低頻部分信號LIMF_W 。

Table 3 The zero mean test of IMFs of monthly realized volatility表3 月已實現波動率的IMF 零均值檢驗

由表3 可知，在5% 的顯著性水平上，IMF1～IMF4 是不顯著的，IMF5～IMF8 是顯著的。因此，將IMF1～IMF4 加總得到高頻部分信號HIMF_M，IMF5～IMF8 加總得到低頻部分信號LIMF_M。

最后，將各個時間尺度的殘余值加上低頻部分信號，得到各個時間尺度降噪后的波動率RV1、RVW1、RVM1。

2.3 滬深300 綜合指數預測

在降噪之后，本文分別用降噪前的數據與降噪后的數據建立HAR-RV 模型進行比較。首先，對降噪前后的各時間尺度已實現波動率進行單位根檢驗，避免出現偽回歸現象。

降噪前后各時間尺度已實現波動率的單位根檢驗結果如表4 所示，每個變量都在5% 的顯著性水平下拒絕原假設，滿足平穩性檢驗。因此，降噪前后各時間尺度的已實現波動率均為平穩的時間序列。

Table 4 Unit root test表4 單位根檢驗

利用Python 分別將降噪前與EEMD 降噪后的已實現波動率數據按4∶1 的比例分為訓練集和測試集，建立異質自回歸模型進行回歸估計，分別記為HAR-RV1 和HARRV2，得到兩個模型的測試集預測結果如圖4 所示（彩圖掃OSID 碼可見）。

Fig.4 Comparison of prediction results before and after EEMD noise reduction圖4 EEMD 降噪前后預測結果對比

如圖4 所示，降噪前已實現波動率構建HAR-RV1 模型預測值與真實值的趨勢是一致的，其擬合優度為0.432 3，而經EEMD 降噪后構建的HAR-RV2 模型在反映股票市場實際序列變動趨勢方面效果不佳。這是由于在股票市場交易活動中，投資者受市場情緒影響較大，而高頻部分信號雖然包含了大量噪聲，但同時也反映了市場中隨機擾動對信號產生的影響，因此不能完全忽略高頻部分信號中包含的有效信息。

小波分析作為“數學顯微鏡”，能夠在時域上對高頻成分采用逐步精細的取樣步長，可滿足分析數據信號任何細節的要求，因此小波分析在具有強噪音背景下的微弱數據信號分析中得到了廣泛應用［16］。考慮到高頻金融數據經EEMD 分解后得到的高頻部分信號分量符合強噪音背景下的微弱數據信號這一特征，因此本文將使用小波分析（WA）方法，進一步對采用EEMD 方法降噪后得到的高頻部分信號進行有效信號提取。

根據蘭秋軍等［6］的分析，由于收益率數據具有奇異點密度大的特點，所以選取db2～db4 和sym2～sym4 的小波函數分解，同時尺度小于4 比較恰當。因此，本文經比較分析后，選擇尺度為3 的小波分解函數sym4 對EEMD 處理后的高頻部分信號進行分解并單支重構，最后將小波重構數據與EEMD 降噪后的低頻部分信號和殘余值加總起來，得到重構好的日、周、月已實現波動率分別為RV2、RVW2、RVM2，并分別對其進行單位根檢驗。在其均通過單位根檢驗后，構建HAR-RV3 模型，得到的預測結果如圖5 所示（彩圖掃OSID 碼可見）。

Fig.5 Prediction results of HAR-RV3 model圖5 HAR-RV3 模型預測結果

由圖5 可知，HAR-RV3 模型真實值與預測值擬合較好，且滿足股票市場實際序列變動趨勢，因此效果優于HAR-RV1 和HAR-RV2 模型。為更直觀地比較HARRV1 和HAR-RV3 兩個模型的預測效果，本文繪制兩個模型的多指標評估結果如表5 所示。

由表5 可以看出，使用EEMD+小波分析方法降噪后的HAR-RV3 模型預測準確度有了較大程度提高，其中均方誤差（MSE）下降了93.92%，均方根誤差（RMSE）下降了75.35%，平均絕對誤差（MAE）下降了76.94%。由此可以發現，采用EEMD 與小波分析相結合的降噪方法對于波動率模型預測具有明顯的改進效果。

Table 5 Model effect evaluation表5 模型效果評估

3 結語

本文在HAR-RV 模型基礎上，將自然科學領域的信號處理方法，即集合經驗模態分解方法（EEMD）和小波分析方法引入到已實現波動率預測中，比較了未降噪的HARRV 模型、經EEMD 降噪的HAR-RV 模型以及經EEMD+小波降噪的HAR-RV 模型預測效果，結果表明，經EEMD+小波降噪的HAR-RV 模型預測效果最佳。這對于在保證波動率走勢的情況下，降低高頻數據中噪音對波動率估計的影響具有重要價值，為金融高頻數據處理提供了一種有效的降噪方法。在未來的研究中，還可對EEMD+小波降噪后的高頻數據進行跳躍檢測，探究各類事件對跳躍風險的影響。