蟻群算法在高階時(shí)滯系統(tǒng)頻域辨識中的優(yōu)化

（上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

0 引言

工業(yè)生產(chǎn)過程中，要想良好的控制被控對象，首先要確定被控對象模型，但工業(yè)過程如伺服電機(jī)控制系統(tǒng)、爐內(nèi)脫硫系統(tǒng)等往往會產(chǎn)生一些非線性、復(fù)雜、高階的［1-3］時(shí)滯對象。而工業(yè)控制中最重要的控制器就是PID 控制器［4］，但對于高階時(shí)滯系統(tǒng)的PID 參數(shù)設(shè)計(jì)非常繁瑣。為了方便控制器設(shè)計(jì)，需以低階簡易的模型進(jìn)行擬合。系統(tǒng)辨識是工業(yè)建模中的常用方法，一般先選取合適的傳遞函數(shù)模型，然后加上激勵(lì)信號，通過分析系統(tǒng)輸入輸出特性，采用一定的辨識方法得到對象的等價(jià)模型［5］。

傳統(tǒng)的辨識方法主要有極大似然法、頻域響應(yīng)法、最小二乘法。工業(yè)生產(chǎn)對于辨識高階系統(tǒng)所采用的模型，主要以基于最小二乘法的一階時(shí)滯模型［6-8］和基于1/1Pade逼近的二階模型［9］為主。由于對象的復(fù)雜性，實(shí)際應(yīng)用這些方法會與原系統(tǒng)存在較大誤差，并且在擬合精度上較差。為了提高模型擬合精度，Wang 等［10］提出了一種通過對信號進(jìn)行分解，選取10 個(gè)頻率點(diǎn)來擬合二階純滯后模型的閉環(huán)辨識方法，該方法對于一些強(qiáng)耦合、大時(shí)滯的復(fù)雜對象具有很好的辨識效果；文獻(xiàn)［11］采用二階時(shí)滯模型對含積分環(huán)節(jié)的對象進(jìn)行辨識；文獻(xiàn)［12］利用頻域分析及選點(diǎn)，通過二階時(shí)滯模型對含微分環(huán)節(jié)的對象進(jìn)行辨識；文獻(xiàn)［13］通過二階時(shí)滯模型對具有振蕩特性或者非振蕩特性的高階時(shí)滯模型進(jìn)行辨識。這些學(xué)者的實(shí)驗(yàn)均驗(yàn)證了二階時(shí)滯模型的優(yōu)越性，但他們的研究均是在重要頻率段內(nèi)隨機(jī)選取一定數(shù)量的頻率響應(yīng)點(diǎn)，由于選點(diǎn)的隨機(jī)性及選點(diǎn)個(gè)數(shù)的局限性，模型參數(shù)的精度仍有很大提升空間。

本文提出采用蟻群算法實(shí)現(xiàn)高階時(shí)滯系統(tǒng)辨識優(yōu)化，是在二階時(shí)滯模型基礎(chǔ)上，充分利用蟻群算法的特點(diǎn)，通過尋優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)極小值，找到在重要頻率段內(nèi)的最佳頻率響應(yīng)點(diǎn)，即通過較少的頻率響應(yīng)點(diǎn)，求出二階時(shí)滯模型的各參數(shù)，利用MATLAB 仿真并與傳統(tǒng)工業(yè)方法作比較。通過結(jié)果可知，本文方法得出的幅頻特性曲線與原曲線擬合程度更高。

1 對象的頻域建模方法

1.1 頻率響應(yīng)特性

控制系統(tǒng)中的信號經(jīng)常出現(xiàn)從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的情況，兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化過程中包含了極為重要的頻域特性［14］。一般的系統(tǒng)響應(yīng)信號f（t）是由瞬態(tài)部分Δf(t)和穩(wěn)態(tài)部分fs(t)組成，如式（1）所示。

由于兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)之間的變化信號通常不滿足絕對可積條件，考慮對等式兩邊進(jìn)行Laplace 變換，得到式（2）。

若系統(tǒng)輸出信號在t=Tf時(shí)刻達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)Δf(t)的值為0，由式（2）可得式（3）。

控制系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號可由式（3）近似得出當(dāng)前工作點(diǎn)的傳遞函數(shù)。

若系統(tǒng)對象輸入為階躍信號時(shí)，?u(t)值為0，輸出則為瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩個(gè)部分。令s=jω，由式（4）可得式（5）。

將式（5）的積分部分分成N 個(gè)長度為Δtk的子區(qū)間，展開成積分累加的形式，如式（6）所示。

其中，Nf為數(shù)據(jù)的采樣個(gè)數(shù)。

在式（6）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)整理，得到對象各重要頻率點(diǎn)的頻率響應(yīng)特性。

這樣對于任意給定頻率ω，都可根據(jù)式（7）求出該頻率點(diǎn)時(shí)對象的幅值和相位。

1.2 重要頻率段確定

假設(shè)對象模型收斂，由于系統(tǒng)穩(wěn)定性主要由中低頻段決定，而高頻段幾乎不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定，所以重要頻率段位于Nyquist 圖的第二、三象限，即從零開始到對象的臨界頻率點(diǎn)是其重要的頻域范圍。構(gòu)建弦截迭代公式如式（8）所示［15］。

相角與頻率間的函數(shù)關(guān)系如式（9）所示。

初值ω0和φ0均為零，ω1取一個(gè)極小的數(shù)，例如0.000 01；其中G(jωn)可由式（7）得到，φ1通過式（9）計(jì)算得到。經(jīng)過數(shù)次的反復(fù)迭代后，可以求出對象的臨界頻率ωc（對應(yīng)相角為-180°），則（0，ωc）為確定的重要頻率段。

1.3 傳遞函數(shù)模型

實(shí)際生產(chǎn)過程中的工業(yè)控制非常復(fù)雜，文中采用具有任意極點(diǎn)的二階時(shí)滯模型去擬合高階時(shí)滯對象，傳遞函數(shù)模型如式（10）所示。

其參數(shù)是在重要頻率段內(nèi)選取多個(gè)頻率響應(yīng)點(diǎn)，本文利用蟻群算法，在重要頻率段內(nèi)通過選取5 個(gè)較優(yōu)點(diǎn)求取，再通過幅值和相角關(guān)系擬合此模型。幅值關(guān)系如式（11）所示。

可用矩陣表示如式（12）所示。

其中：

根據(jù)線性最小二乘法式（13）：

從而得到式（14）。

可求得參數(shù)a、b、c，若對象的輸出隨著系統(tǒng)輸入增加而增加，則參數(shù)值取正，反之取負(fù)。相角關(guān)系如式（15）所示。

同樣采用最小二乘法求出參數(shù)L 如式（16）所示。

2 蟻群算法

2.1 算法介紹

蟻群算法最早由Dorigo 等［16］于1991 年提出，他們在研究新型算法的過程中，發(fā)現(xiàn)蟻群在尋找食物時(shí)，通過分泌一種稱為信息素的生物激素交流覓食信息從而能快速找到目標(biāo)，據(jù)此提出了基于信息正反饋原理的蟻群算法。

蟻群算法主要應(yīng)用于求解01 背包問題、最優(yōu)解問題、TSP 問題等，目前已逐漸應(yīng)用于其它領(lǐng)域。作為啟發(fā)式優(yōu)化算法，其以較佳的全局搜索能力、較快的收斂速度而廣泛應(yīng)用于各類尋優(yōu)案例中。其優(yōu)點(diǎn)：①采用正反饋機(jī)制，使得搜索過程不斷收斂，最終逼近最優(yōu)解；②每個(gè)個(gè)體可以通過釋放信息素來改變周圍環(huán)境，且每個(gè)個(gè)體能夠感知周圍環(huán)境的實(shí)時(shí)變化，個(gè)體間通過環(huán)境進(jìn)行間接通訊；③搜索過程采用分布式計(jì)算方式，多個(gè)個(gè)體同時(shí)進(jìn)行并行計(jì)算，極大提高了算法計(jì)算能力和運(yùn)行效率；④啟發(fā)式的概率搜索方式不容易陷入局部最優(yōu)，易于尋找到全局最優(yōu)解。

其算法步驟如下：

步驟1：初始化參數(shù)，包含蟻群規(guī)模N*D，信息素?fù)]發(fā)程度因子Rho，信息素常數(shù)Q，轉(zhuǎn)移概率常數(shù)p0，最大迭代次數(shù)iter_max，信息素因子Alpha，啟發(fā)函數(shù)因子Belta。

步驟2：構(gòu)建解空間，將各螞蟻隨機(jī)置于不同位置，對每個(gè)螞蟻，按照轉(zhuǎn)移概率計(jì)算公式，確定其下一個(gè)位置。

步驟3：更新信息素，計(jì)算各螞蟻所在位置的信息素含量，根據(jù)信息素迭代公式對各位置上的信息素濃度進(jìn)行更新，同時(shí)記錄當(dāng)前迭代次數(shù)的最優(yōu)解。

步驟四：判斷是否終止，若達(dá)到最大迭代次數(shù)，則終止計(jì)算，輸出最優(yōu)解，否則，返回步驟2。

利用蟻群算法進(jìn)行優(yōu)化的參數(shù)為重要頻率段中的D個(gè)頻率點(diǎn)，即算法隨機(jī)生成N*D 維種群，代入到設(shè)定的適應(yīng)度函數(shù)中求解出適應(yīng)度值，再通過不斷更新種群位置，迭代求解出適應(yīng)度全局極值以及對應(yīng)的最佳D 個(gè)頻率點(diǎn)。

2.2 適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度函數(shù)的好壞直接影響著智能優(yōu)化算法性能好壞［17］，時(shí)間乘以誤差絕對值積分是工程中常用的誤差積分準(zhǔn)則之一，由于其調(diào)節(jié)時(shí)間短，并且系統(tǒng)參數(shù)的細(xì)微改變可以使得指標(biāo)有明顯變化，能夠很好地反映控制系統(tǒng)性能，因此具有良好的選擇性和實(shí)用性［18］。ITAE 是時(shí)間乘以誤差絕對值積分的性能指標(biāo)，本文中的ITAE 值代表著曲線的擬合度，值越小代表擬合程度越高，以ITAE 為參考指標(biāo)對求得的參數(shù)進(jìn)行分析，ITAE 表達(dá)式如式（17）所示。

采用累加和形式，在采樣時(shí)間（0，T）內(nèi)將積分區(qū)間等分成n 個(gè)子區(qū)間，可近似表示成如式（18）所示。

式（18）中，y1 表示原始系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，y2 表示辨識后模型的階躍響應(yīng)，δi為[ti-1,ti](t0=0,tn=T)中的某個(gè)數(shù)，Δti為一個(gè)極小值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證通過本文改進(jìn)方法得到的辨識參數(shù)具有更好的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，考慮文獻(xiàn)［19］給出的串級系統(tǒng)外環(huán)高階時(shí)滯對象如式（19）所示。

假定輸入信號u（t）為階躍信號，通過上述提到的頻率辨識方法，可求出G（s）的穿越頻率為0.030 8，即蟻群算法中個(gè)體位置范圍為［0，0.030 8］。由于蟻群算法受其參數(shù)選取的嚴(yán)重影響，文獻(xiàn)［20-21］對蟻群算法的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，并對比了多組實(shí)驗(yàn)，得出最佳參數(shù)組合的取值范圍。依據(jù)此文獻(xiàn)，對各參數(shù)進(jìn)行選值：蟻群規(guī)模N 為50，D 為5，Rho 為0.7，Q 為100，p0 為0.2，Alpha 為2，Belta 為5，最大迭代次數(shù)為100。依次運(yùn)行5 次后，每次得到5 個(gè)最優(yōu)頻率點(diǎn)，計(jì)算出其平均值和方差如表1 所示。

Table 1 Algorithm data表1 算法數(shù)據(jù)

由表1 方差可得，該算法求出的最優(yōu)點(diǎn)比較穩(wěn)定，選取表1 中5 個(gè)點(diǎn)的平均值，計(jì)算出二階時(shí)滯模型各參數(shù)如表2 所示。

Table 2 Model parameter表2 模型參數(shù)

對于高階系統(tǒng)，工業(yè)中普遍采用一階時(shí)滯模型進(jìn)行建模，利用最小二乘法計(jì)算模型參數(shù)［22］，也常使用基于1/1Pade 逼近的二階模型擬合法［9］。表3 分別為采用傳統(tǒng)一階模型辨識法、1/1Pade 逼近法、傳統(tǒng)二階加時(shí)滯模型法及由本文方法所得出的傳遞函數(shù)模型。求出ITAE 指標(biāo)，本文的ITAE 值代表曲線擬合度，ITAE 值越小擬合程度越高。

Table 3 Results of four identification methods表3 4 種辨識方法結(jié)果

圖1 為上述4 種辨識方法所得出的Nyquist 圖，其中黑色實(shí)線是模型原型，藍(lán)色虛線為傳統(tǒng)一階方法，綠色實(shí)線為1/1Pade 逼近法，紅色實(shí)線為傳統(tǒng)二階加時(shí)滯方法，紅色虛線是本文方法，圖2 為其部分放大圖（彩圖掃OSID 碼可見）。

Fig.1 Nyquist diagram圖1 Nyquist 圖

Fig.2 Partial enlarged view of Nyquist圖2 部分Nyquist 放大圖

同樣，考慮文獻(xiàn)［19］中給出的串級系統(tǒng)內(nèi)環(huán)高階對象如式（20）所示。

采用上述同樣的方法，可求出G（s）的穿越頻率為0.025，即蟻群算法中個(gè)體位置范圍為［0，0.025］。分別為采用傳統(tǒng)一階模型辨識法、1/1Pade 逼近法、傳統(tǒng)二階加時(shí)滯模型法及本文方法，所得出的傳遞函數(shù)模型如表4 所示，并在此基礎(chǔ)上求出ITAE 性能指標(biāo)。

Table 4 Results of four identification methods表4 4 種辨識方法結(jié)果

圖3 為上述4 種辨識方法所得出的Nyquist 圖，其中黑色實(shí)線是模型原型，藍(lán)色虛線為傳統(tǒng)一階方法，綠色實(shí)線為1/1Pade 逼近法，紅色實(shí)線為傳統(tǒng)二階加時(shí)滯方法，紅色虛線是本文方法，圖4 為其部分放大圖（彩圖掃OSID 碼可見）。

Fig.3 Nyquist diagram圖3 Nyquist 圖

Fig.4 Partial enlarged view of Nyquist圖4 部分Nyquist 放大圖

由圖1—圖4 的Nyquist 圖及ITAE 指標(biāo)可知，本文基于二階加時(shí)滯模型的改進(jìn)方法與傳統(tǒng)一階方法、Pade 逼近法、二階時(shí)滯方法相比，與實(shí)際對象模型的擬合精度更高，在某些頻率上能夠達(dá)到完全擬合的效果，并且有效避免了傳統(tǒng)二階時(shí)滯方法中特征頻率選取點(diǎn)的隨機(jī)性對最終結(jié)果的影響，可以通過使用較少的頻率點(diǎn)獲得更優(yōu)的模型參數(shù)。

4 結(jié)語

本文將蟻群算法運(yùn)用在高階時(shí)滯系統(tǒng)的辨識中，是對普通二階時(shí)滯模型方法的一種改進(jìn)，根據(jù)系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，求取對象的重要頻率段，再通過蟻群算法，獲取較少的特征頻率點(diǎn)，最終通過幅頻特性確定最終模型，并使得最終模型的參數(shù)更接近最優(yōu)值。Matlab 仿真結(jié)果表明，該方法對高階時(shí)滯對象具有更好的辨識效果，與傳統(tǒng)的一階方法和二階時(shí)滯方法相比，具有更高的模型精度，可應(yīng)用于實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)模型辨識。