全概率公式對后繼試驗的限制

王佳祺

(山西省臨汾市山西師范大學現代文理學院 041000)

全概率公式是概率論中常用且重要的公式，對樣本點的判斷及對概率的計算一直是概率論中的難點，全概率公式通過簡單易知的概率計算復雜的概率，化繁為簡，大大降低了判斷與計算的難度.然而在使用時應當注意，全概率公式不僅要求確定先行試驗的完備事件組，對后繼試驗也存在限制，下面將以一道例題的兩種解法為引，對全概率公式的這種限制進行詳細的說明.

一、全概率公式及相關定理

定義1設有樣本空間Ω及其隨機試驗E，空間內有隨機事件A1,A2,…,An,如若滿足下列條件：

(1)Ai∩Aj=?(i≠j);

(2)A1∪A2∪…∪An=Ω.

則A1,A2,…,An對樣本空間進行了分割，并稱為樣本空間的完備事件組.

為方便論述，稱事件A條件下的事件B即(B|A)為條件事件.

定理1 全概率公式.設有樣本空間Ω的完備事件組A1,A2,…,An，其中P(Ai)>0(i=1，2，…，n)，B為任意事件，則

①

我們稱事件Ai所對應的試驗為先行試驗，事件B所對應的試驗為后繼試驗，全概率公式就是通過先行試驗的概率計算后繼試驗的概率，證明這里不再論述.

二、全概率公式對后繼試驗的限制

下面請看這樣一道例題以及它的兩種解法：

例有三個一模一樣的抽屜，每個抽屜中分別裝有球的個數為10個、20個、25個，每個抽屜中有紅球和白球，球只有顏色不同，其中紅球個數分別為4個、10個、15個.先隨機選取一個抽屜，再從抽屜中依次摸兩個球.求在第一次摸到紅球的條件下，第二次還是摸到紅球的概率.

解法1記Ai={選中第i個抽屜}，i=1，2，3，C={第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球}.

由全概率公式得

P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)

+P(A3)P(C|A3)

②

解法2記Ai={選中第i個抽屜}，i=1，2，3，Bj={第j次摸到紅球}，j=1,2.

由全概率公式得

P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)

+P(A3)P(B1|A3)

由全概率公式得

P(B1B2)=P(A1)P(B1B2|A1)+P(A2)P(B1B2|A2)+P(A3)P(B1B2|A3)

由條件概率公式得

其中解法1是同濟版概率論習題全解中用到的方法.兩種方法同樣是運用條件概率和全概率公式解題，然而卻得到不同的結果，這是為什么呢？其實解法1是存在問題的，它隱含了一個公式：P(C|Ai)=P((B2|B1)|Ai)=P(B2|AiB1)，這并非定理，只是人們從理解上約定俗成的公式，而解法1在計算時用到了這一公式.雖然②形式上它是符合全概率公式的，可是我們換種方式就可以發現這種問題了.

我們也可以通過文氏圖觀察這個問題:

圖1

綜上，全概率公式中后繼試驗所對應的事件B不能是條件事件，或者說在P(B)為條件概率時全概率公式不成立，須直接應用條件概率公式解題，全概率公式只可間接應用于非條件事件.

當定義后繼試驗的事件B為某一條件下的事件時，不可使用全概率公式，這一點我們用例題中的方法對全概率公式兩端計算即可得知，這里不再贅述.最本質的原因在于：若P(B)=P(B2|B1)，我們計算時通常認為P(B|A)=P(B2|AB1)，而條件事件的運算并沒有被定義，這個公式用于計算時就會發生錯誤，造成全概率公式兩端不相等.所以，我們在解題時應當注意只把條件事件用于條件概率，避免形式正確而實質錯誤的情況.