基于在線參數辨識和ASR-UKF的鋰離子電容SOC估計

呂 甜， 張雪霞

(西南交通大學唐山研究生院，河北 唐山 063000)

作為新型的混合電容器，鋰離子電容器(LIC)是一項進入能量存儲市場的創新技術。鋰離子電容的陽極由類似于鋰離子電池的預先摻雜鋰的碳基材料制成，陰極采用超級電容所用的活性炭材料。正是由于這種混合架構，鋰離子電容相比于傳統的雙電層電容和鋰離子動力電池有著更高的能量密度及功率密度，并且自放電率極低(雙電層電容靜置一個月后，電壓減少了30%，而鋰離子電容電壓僅僅下降了2%)。在未來幾年中，進一步的技術開發和批量生產將使鋰離子電容器在能量存儲市場中得到大規模應用[1]。鋰離子超級電容的荷電狀態(SOC)表征著該器件的剩余容量，SOC的準確估計對機車的安全運行和能量的利用效率有著重要影響。

目前，比較常用的SOC估計方法主要有：安時積分法[2]、開路電壓法[3]、神經網絡法[4-5]和基于模型的濾波算法[6]。安時積分法依賴設備精度和初始SOC值，誤差容易累積增大；開路電壓法需要長時間靜置才能達到穩態，不適用在線估計；神經網絡法雖然能獲得一個精確估計，但計算成本太高。而且模型訓練需要大量的時間，訓練數據的數量和質量是這類智能算法估算精度的重要影響因素?；谀Ｐ偷乃惴?，例如廣泛應用的擴展卡爾曼濾波和無跡卡爾曼濾波算法，是將安時積分法與開路電壓法與非線性濾波技術結合以達到最佳的SOC估計?？柭鼮V波法是基于精確的等效模型進行迭代運算，可以有效縮小累計誤差，并且可以實時估計SOC。擴展卡爾曼濾波(extend Kalman filter，EKF)是在KF的基礎上的改進，適用于非線性系統，其實質就是通過泰勒級數展開將非線性系統近似線性化，再對線性化系統進行卡爾曼濾波[7]。然而，其雅可比矩陣估計不準確會導致濾波發散，影響其穩定性。無跡卡爾曼濾波克服了EKF的近似線性化問題，狀態向量的估計精度更高，穩定性更好[8]。在實際算法運行過程中，很難獲得過程噪聲和測量噪聲的協方差。為了改進KF算法的濾波精度，消除噪聲影響，Rahimi-Eichi等[9]提出Sage-Husa自適應濾波方法，令噪聲方差自適應調整，提高了算法的估計精度。但是，很少有學者對新型混合電容器——鋰離子電容進行SOC估計算法的研究。

本文提出將在線參數辨識與自適應平方根無跡卡爾曼濾波聯合估計算法應用于鋰離子電容的SOC估計中。為獲得LIC精確的等效電路模型，基于LIC的工作特性，進而建立等效二階RC模型，該模型既能反映超級電容的儲能特性，又表征了鋰離子電池的內部反應機理；然后，采用FFRLS在線辨識LIC的等效模型參數；最后，基于實時的參數辨識結果，運用ASR-UKF對SOC進行估計。實驗結果表明，聯合估計算法具備較高的精度。

1 鋰離子電容的等效模型

傳統的超級電容等效模型有很多種，如一階RC模型、三支路模型和傳輸線模型等[10]。但是這些模型大多是依據雙電層電容結構特點建立的，并不適用本文提出的新型電容器。文獻[11]分析了鋰離子電容的工作特性，本文根據LIC的內部反應機理的特殊性，在此基礎上建立了如圖1所示的鋰離子超級電容的等效模型。

圖1 等效電路模型

通過基爾霍夫定律，可得到圖1的二階RC等效電路模型電氣特性的表達式為：

式中：定義電池放電時的電流方向為正，充電時的電流方向為負。

由文獻[11]中的特性分析可知，鋰離子電容自放電率極低，因此忽略自放電效應對等效電路模型的影響。定義Qn為電池的實際容量，通過安時積分法可以表示電容的SOC值，得到式(2)：

令等效電路模型的輸入u和輸出y分別為電流I和端電壓UL，狀態變量為SOC、Ua、Ub，離散化后的狀態空間方程如式(3)所示：

2 在線參數辨識

2.1 開路電壓和荷電狀態關系的建立

本研究在NEWARE公司電池測試系統平臺上對Taiyo 3200F的單體鋰離子電容進行混合脈沖功率性能實驗(hybrid pulse power characteristic,HPPC)測試，通過實測數據來獲得開路電壓和荷電狀態(SOC)的關系曲線，如圖2所示。

圖2 開路電壓和SOC關系曲線

開路電壓和荷電狀態存在一定的函數關系，本文調用MATLAB中的帶最小二乘意義的Polyfit函數進行多項式擬合，經過多個階次實驗對比后，確定用7次多項式擬合效果更好。Uoc與SOC函數關系如式(4)所示。

2.2 基于遺忘因子的遞推最小二乘法在線參數辨識

模型參數精度決定SOC估計精度，本文選用帶遺忘因子的遞推最小二乘法(forgetting factor recursive least-squares，FFRLS)對鋰離子電容等效模型進行在線參數辨識[12-13]，將原有靜態模型動態化，提高電容模型精度。

基于獲得的HPPC實驗數據，運用FFRLS算法進行參數辨識，在線辨識的參數結果如圖3所示。由圖3可以看出，參數辨識值變化較為劇烈，這是因為LIC是一個非線性系統，在不同工況下，它的內部參數會受到諸多因素影響而不斷變化。當HPPC工況下脈沖電流充放電變化時，FFRLS算法會不斷迭代更新，快速辨識出最優匹配等效電路模型的參數值，從而修正因電流變化而引起的波動。

3 鋰離子電容的SOC估計算法

3.1 平方根無跡卡爾曼

無跡卡爾曼濾波是采用Kalman線性濾波框架，通過無跡變換來處理均值和協方差的非線性傳遞問題，選用一系列確定樣本來逼近已知狀態變量的概率分布。UKF沒有忽略高階項，因此在處理非線性系統問題方面有較高的計算精度。但由于實際工況復雜多變，算法運行后期協方差矩陣Pk負定的問題會逐漸顯現出來，影響濾波器收斂效果[14]。

圖3 在線辨識參數結果

因此，本文采用平方根無跡卡爾曼算法，運用QR分解和Cholesky更新的線性代數技術獲取協方差平方根，利用協方差平方根來代替協方差矩陣進行迭代運算[15]，從而保證狀態變量協方差矩陣的半正定性和數值的穩定性，克服濾波發散和算法穩定性差的問題。

平方根無跡卡爾曼算法流程如下：

首先，選擇初始協方差和狀態估計。然后，遞歸地處理步驟2到11，直到實驗結束(或輸入數據)。

3.2 噪聲自適應算法

在標準的無跡卡爾曼濾波器算法中，實際的噪聲方差是未知的。通常，過程噪聲和測量噪聲的協方差設置為固定值。這樣的人為設置有時會影響算法的估計精度，甚至導致濾波器發散。因此，為了減少噪聲影響，本文采用自適應噪聲濾波算法對噪聲協方差矩陣進行自適應調整和迭代更新，以提高算法的估計精度[16]。本文利用濾波器的新息和殘差估計更新濾波器噪聲的統計特性。因此，Q和R的估計與迭代更新如下：

其中，新息e(k)的協方差函數E(k)和殘差r(k)的協方差函數R(k)可以通過開窗法得到：

式中：W為數據的滑動窗口長度，它的取值對算法的靈敏度和穩定性影響較大。本文經過多次嘗試，確定了W的取值約為15。

通過以上方法便可實現未知噪聲方差的在線更新，相應地實時更新平方根無跡卡爾曼濾波算法的增益K，實現不斷修正和濾波的功能以獲得狀態變量中SOC的最優估計。

3.3 聯合估計算法

圖4 聯合算法估算示意圖

本文是運用FFRLS和ASR-UKF聯合估計SOC，聯合算法估算示意圖如圖4所示。在聯合算法中，基于FFRLS的在線參數識別和ASR-UKF濾波算法交替迭代進行完成SOC估計。首先，基于收集到的電流和電壓數據，運用FFRLS來完成LIC等效模型參數的在線識別。然后，將識別出的參數結果代入模型的狀態空間，以通過ASR-UKF獲得SOC估計值。再從開路電壓與荷電狀態關系中獲得開路電壓，以便可以使用FFRLS更新模型參數。通過整個更新迭代過程，可以自動校正由于初始參數引起的一些誤差，最終可以獲得精度更高的SOC估計值。

4 仿真分析

為了驗證FFRLS在線參數辨識和ASR-UKF聯合算法的有效性和估計效果，本文在NEWARE公司電池測試系統平臺上對Taiyo 3200F的單體鋰離子電容進行HPPC工況和模擬工況實驗，實驗選用恒溫箱BPHJS-060A為溫濕度可調實驗箱。所測試的單體電容的初始SOC為1，在初始值準確的情況下，本文使用安時積分法來計算實際工況各個時間點的SOC作為真值與ASR-UKF估計值進行對比。

4.1 HPPC工況仿真分析

聯合算法的SOC估計效果波形如圖5所示。將其局部放大可以看出，放電初期由于給定的初始SOC不準確，所以估計誤差較大。但ASR-UKF算法很快就能夠修正由于初值不準確所帶來的誤差，之后便能收斂至真實的SOC附近，跟隨理論值效果良好。由誤差波形圖6可以看出，放電初期鋰離子電容內部極化效應較強，ASR-UKF算法的估計誤差比后期要大，最大誤差約為0.82%，但在后期，算法估計誤差非常小，估計精度很高。

圖5 HPPC工況下聯合算法的SOC估計圖

圖6 HPPC工況下聯合算法的SOC估計誤差圖

4.2 模擬工況分析

在車輛實際運行過程中，鋰離子電容一般不以恒流方式充放電，因此本文設計一種綜合模擬工況進行仿真分析，驗證算法在動態工況下的估計效果。圖7為該工況下電流變化脈譜圖，在該工況下對鋰離子電容進行10次循環充放，得到的SOC估計效果如圖8所示。

圖7 模擬工況的電流變化脈譜圖

圖8 模擬工況下聯合算法的SOC估計圖

圖9為誤差波形。由圖9可知，算法在實驗初期誤差較大，約為1.5%。但算法很快(200 s)能夠逼近理論值，即使在電流不斷變化的情況下，聯合算法的估計值仍能夠很好地跟隨真實的SOC。并且算法估計曲線波動很小，這說明該算法在電流變化劇烈的工況下能夠有效降低噪聲的影響，具有良好的魯棒性和抗干擾性能。

圖9 模擬工況下聯合算法的SOC估計誤差圖

5 結論

本文基于鋰離子電容的二階等效電路模型，采用FFRLS方法進行模型參數的在線辨識，避免參數不精確引起的誤差。然后根據動態更新的模型，采用ASR-UKF算法對鋰離子電容SOC進行估算。實驗和仿真表明，聯合算法在HPPC工況下，最大誤差約0.82%。即使在電流變化劇烈的動態工況中，仍然能夠實時更新模型參數和SOC，算法估計誤差在1.5%以內。聯合估計算法估計精度高，并且能夠快速有效地消除初始誤差，收斂至SOC真值附近，抗擾動性能優良。