脈寬調制激勵下電工鋼片動態磁滯特性測量與模擬

劉 圳，張殿海，韓 宇，薛 倩，楊朝暉，任自艷

(1. 中車大連機車車輛有限公司，遼寧 大連 116300；2. 沈陽工業大學遼寧省現代電工裝備理論與共性技術重點實驗室，遼寧 沈陽 110870;3. 北京新興東方航空裝備股份有限公司，北京 100093)

1 引言

隨著電力電子技術的快速發展，變頻供電成為現代電驅動系統廣泛采用的供電方式。與傳統正弦供電方式相比，變頻供電由于電壓、電流中存在豐富的高次諧波，在電工裝備鐵心中產生的損耗將顯著增加[1,2]。 根據磁特性測量相關標準，現有電工鋼片生產廠商僅給出標準正弦磁通密度激勵下的磁特性測量數據。這些數據無法準確表征電工鋼片在復雜工況下的磁性能[3-5]。為了在設計階段準確評估并采取有效措施降低鐵心損耗進而提高電工裝備能效，提出精確測量并模擬脈寬調制(Pulse Width Modulation，PWM)電源激勵下電工鋼片的動態磁滯特性十分必要[6]。

在電工裝備設計階段，如何計及復雜激勵條件對鐵心磁特性乃至最終性能的影響是國內外電氣行業和學術界研究的熱點問題之一。因此，電工鋼片復雜磁特性模擬問題是計算電磁學中的重要研究課題之一[7]。它的目標是使用實驗中得到的表征電工磁性材料磁特性的相關數據，用數學模型的方式來描述這些參數之間的關系，然后將數學模型與數值分析方法相結合，得到更加準確的性能分析結果[8]。在電工裝備設計和計算的過程中應該充分重視電工磁性材料磁滯特性在電工裝備性能分析中的地位，建立能夠精確模擬磁滯行為的磁滯模型，對其特定材料磁化過程中磁滯行為進行準確數值模擬，這對改善能源利用率，降低能量損耗有著至關重要的作用。

到目前為止，國內外已經發布了正弦磁通密度激勵下的電工鋼片磁特性測量標準[9]。由于PWM激勵下電工鋼片磁特性測量與較多因素有關，并且各個影響因素相互耦合，相關測量標準鮮有報道。文獻[10]提出了在逆變器供電下制定軟磁材料磁特性測量標準方法的可能性，并討論其影響因素。文獻[11-13]使用環樣測量方法分別研究激勵線圈阻值、載頻、負載對測量結果的影響。文獻[14]使用愛潑斯坦方圈，研制了PWM激勵方式下自動測試系統，推導了鐵損測量誤差的解析表達式，指出信號的相位差是影響測量精度的關鍵性因素，經校準后，重復性在3%以內。文獻[15]使用單片測量方法，考慮諧波對磁特性的影響，確定參考波形的選取辦法，對勵磁波形進行控制，得到了PWM激勵下鐵心數據。文獻[16]對PWM激勵下高頻變壓器環形鐵心的磁特性進行了測量，并構建了鐵心損耗的計算模型。

PWM激勵條件下的磁性材料磁特性模擬屬于動態磁滯建模問題。頻率依賴的動態磁滯模型是指能夠模擬寬頻范圍的磁性材料磁滯行為，在特定頻率范圍內，其計算值與測量值相近，滿足模型的精度要求。文獻[17]提出在導電磁性材料中，能夠考慮頻率因素對磁滯行為的影響的動態磁滯模型。隨后，國內外學者進一步探索磁性材料內在機理，將損耗分為：磁滯損耗、渦流損耗和異常損耗三項。隨著外場磁化頻率的增加，渦流損耗和異常損耗占總損耗的比重隨之增大，對總損耗的影響就越發顯著[18]。文獻[19]發現此理論的不足，對其進行改進，提出基于場分離的動態磁滯模型。但隨著電工鋼片種類的逐漸豐富，其磁特性越加復雜。此種方法在寬頻范圍內誤差逐漸增大，不能夠滿足建模精度要求。在2004年，烏克蘭學者S. E. Zirka首次提出粘滯模型概念，其改進主要對異常損耗部分進行修改。此后，各國學者在此基礎上研究了考慮因素更加全面的頻率依賴動態磁滯模型[20-23]。

在原有愛潑斯坦方圈測量標準的基礎上，通過對實驗平臺和測量系統加以改進，研制了電工鋼片在PWM激勵下的磁特性測量系統。測量了B35A230無取向電工鋼片在PWM電源激勵下的復雜磁特性。根據磁性材料的回轉特性，對一階回轉曲線進行建模，然后與經典JA磁滯模型結合，建立能夠精確模擬主磁滯回線中帶有局部磁滯回線的模型。結合經典JA磁滯模型和鐵耗分離理論，并根據實際測量數據，得到頻率對磁滯行為的影響趨勢，結合粘滯模型，最終構建出一種適合于電工鋼片的頻率依賴動態磁滯模型。

2 PWM電源激勵下電工鋼片磁特性測量

2.1 測量系統的硬件組成

本文所采用的PWM激勵下電工鋼片磁特性測量系統如圖1所示，主要包括：工控機、功率放大器、數據采集卡、低通濾波器、隔離放大器、精密分流電阻和改進的愛潑斯坦方圈裝置。通過工控機生成PWM激勵信號，經過功率放大器放大之后，送達愛潑斯坦方圈的勵磁線圈。為消除高頻測量時分流電阻電感效應引起的信號延遲，采用無感精密電阻作為分流器測量勵磁線圈中的電流信號。次級線圈與初級線圈并繞，增強耦合，且兩者匝數相等。分流器兩端的電阻壓降和次級線圈兩端的感應電壓經過隔離放大器的調理，由數據采集卡的模擬輸入通道同步采集，嚴格保證信號序列的對齊，然后將數據傳送給工控機進行后序處理。測量用數據采集卡的信號采樣頻率為1.25 MS/s,測量時愛潑斯坦方圈的初級線圈纏繞在絕緣骨架上。其中，激勵線圈的總匝數為700匝。隨著激勵頻率的升高，激勵繞組阻抗逐漸增大，為了實現寬頻測量，激勵線圈采用柔性連接方式，對線圈進行分層繞線，這種方法可以方便地調整激勵線圈的匝數。被測樣片尺寸為300 mm×30 mm，軋制方向和垂直方向的樣片數分別是14。樣片之間采用雙搭接方式。

圖1 改進的愛潑斯坦方圈測量系統Fig.1 Improved Epstein frame measurement system

2.2 激勵信號生成及測量原理

本文基于LabVIEW平臺編寫PWM激勵下電工鋼片復雜磁特性測量程序。程序主要由PWM激勵信號生成、磁通密度B、磁場強度H和鐵耗Pc計算等主要模塊組成。

2.2.1 激勵信號生成

本次測量所需要的PWM電壓激勵信號通過數據采集卡的模擬輸出功能實現，輸出波形經過高精度功率放大器放大后激勵愛潑斯坦方圈中的電工鋼片樣品。通過比較調制波(正弦波)和載波(三角波)的方法生成所需的正弦脈寬調制信號，該激勵源的特性主要取決于以下參數：

(1) 逆變器直流側電壓Vdc：直流側電壓的大小直接決定了輸出PWM脈寬調制信號的幅值。

(2) 調制方法：根據調制技術的不同，可以將PWM分為單極性和雙極性。單極性PWM的電壓開關在波形的正半周期是從+Vdc到0；在波形的負半周期是從0到-Vdc。雙極性PWM的電壓開關是從+Vdc到-Vdc。

(3) 載波頻率fc：載波頻率的大小決定了等效輸出波形的精度。同時，從頻域的角度看，還與高次諧波出現的位置有關。高次諧波出現的位置為載頻與基頻之比的正整數倍。

(4) 調制指數m：調制波和載波的幅值之比。

m=E0/Ec

(1)

式中，E0為調制波幅值;Ec為載波幅值;m的大小通常在0～1之間。在脈寬調制技術中，調制指數的大小，不僅決定著輸出等效基波的幅值，同時還影響波形中的諧波成分。

PWM信號生成后，不能直接輸出，而是需要通過以下順序勵磁。首先，把激勵波形復制N個周期。整個波形由黑色粗實線段分為三部分：電壓上升段、穩定段和電壓下降段，如圖2所示。需要說明的是，雖然圖2中激勵波形為正弦波，但是實際測量時是按照具體激勵波形施加的。圖中電壓上升段可以起到保護的作用，避免對功率放大器以及激勵裝置的沖擊；穩定段中間的虛線框中的階段用來提取有效波形數據，然后取平均值；電壓下降段起到對下一次測量序列退磁的作用，消除樣片內剩磁的影響。

圖2 激勵信號序列示意圖Fig.2 Sketch of sequence of excitation signal

2.2.2 測量原理

在改進的愛潑斯坦方圈中激勵線圈通以PWM電壓激勵，待測樣片中將會產生交變磁場，此時，愛潑斯坦方圈的感應線圈會產生感應電動勢。根據電磁感應定律，磁通密度b(t)波形可通過式(2)計算：

(2)

式中，N2為感應線圈匝數;AB為被測樣品截面積；eB為線圈兩端感應電動勢。

磁場強度波形由勵磁電流法測得。通過測量分流器兩端的電壓可以計算激勵線圈中的電流，再由安培環路定律，確定磁場強度h(t)為：

(3)

式中，N1為激勵線圈匝數；i(t)為激勵線圈中的電流；leff為愛波斯坦方圈中有效磁路長度，根據國標標準，此值為0.94 m。

由坡印廷定理，電工鋼片比總損耗可由實驗測得的磁場強度h(t)和磁通密度b(t)的波形得到：

(4)

式中，f0為測量頻率(基波頻率)；ρ為待測樣片質量密度。

3 電工鋼片動態磁特性模擬

第2節介紹了在脈寬調制激勵下電工鋼片磁特性的測量方法。基于上述方法測量的磁特性將用于下面動態磁滯模型的建立。

為拓展磁滯模型的應用范圍，計及復雜激勵條件對電工鋼片磁特性的影響，提出能夠精確模擬非正弦激勵和寬頻范圍磁滯行為的磁滯模型。

以經典JA磁滯模型為基礎，結合能夠反映材料回轉特性的一階回轉曲線對其進行建模，以獲得能夠模擬靜態或準靜態情況下的帶有局部磁滯回環的磁滯回線。同時以傳統的鐵耗分離理論為依據，結合粘滯模型，對異常損耗表達式進行改進，使其能夠控制動態磁滯回線的形狀，最終達到模擬任意頻率下的動態磁滯回線的目的。

3.1 經典JA磁滯模型介紹

JA磁滯模型是在充分研究磁性材料內部能量守恒基礎上推導出來的能夠描述磁滯回線的微分方程，因此具有明確的物理背景，廣泛應用于磁性材料靜態磁滯特性的建模。

本文采用經典JA磁滯模型模擬動態磁滯模型的主磁滯回環部分。JA磁滯模型中包括正模型和逆模型兩種表達形式。所謂的正模型是以磁場強度H為自變量，磁化強度M為因變量，最終可求得磁通密度B。而逆JA磁滯模型則是以磁通密度B為自變量，磁化強度M為因變量，最終求得磁場強度H。推導逆模型的意義在于與數值計算相耦合。因為，在有限元計算當中，通過矢量磁位A首先可求出磁通密度B，進而得到磁場強度H。因此下面僅介紹逆模型，逆模型可從正模型推導而來，即：

(5)

再根據文獻[17]可得逆JA磁滯模型滿足的微分方程如下：

(6)

式中，無磁滯磁化強度Man利用郎之萬函數來模擬，其數學形式為：

(7)

式中，Ms為材料飽和磁化強度，單位為A/m；a為無磁滯磁化曲線的形狀參數，單位為A/m；He為有效磁場強度，單位為A/m；α反映磁疇內部耦合的平均場參數，無量綱；μ0為真空磁導率，其值為4π×10-7H/m；k為磁疇間的牽制系數；δ為方向系數，當dH/dt>0時，其值為+1，當dH/dt<0時，其值為-1；c稱為可逆磁化系數。從上面的介紹可知，JA磁滯模型中包含5個參數。這5個參數一般通過對測量得到的磁滯回環進行辨識來確定。目前，國內外學者研究并通常采用現代優化算法實現參數的辨識，由于辨識過程不是本文討論的重點，因此不做詳細介紹。本文采用基于粒子群優化算法的參數辨識方法。

3.2 動態磁滯模型的推導

本節將以靜態JA磁滯模型為基礎，建立一種能夠模擬帶有局部磁滯回線和不同激磁頻率的動態磁滯模型。

3.2.1 計及局部磁滯回環的磁滯模型

在靜態磁化過程中，無論是正弦激勵還是非正弦激勵，在形成的磁滯回線角度上看，其二者的主磁滯回線形狀基本相同，不同點在于，非正弦激勵下在主磁滯回線上將出現局部磁滯回環。通過實驗觀察，在準靜態磁特性測量中，其局部磁滯回線的進出點為同一點，即局部磁滯回環自身是處于閉合狀態，如圖3所示。

圖3 正弦與非正弦激勵下磁滯回線對比Fig.3 Comparison of hysteresis loops at sinusoidal and unsinusoidal excitation

在準靜態磁化上升或者下降的過程中，出現回轉點，即出現局部磁滯回線，所體現出的是材料的回轉特性。基于此特點，本文使用一階回轉曲線和靜態JA磁滯模型結合的方法，建立動態磁滯模型，使其能夠精確模擬帶有局部磁滯回環的磁滯回線。一階回轉曲線(First Order Reversal Curve, FORC)定義為回轉點在主磁滯回線或初始磁化曲線上的各回轉線。圖4給出了B35A230無取向電工鋼在不同磁密回轉點Brev的一階回轉曲線。

圖4 不同回轉點下的一階回轉曲線Fig.4 FORCs at different reversal points

使用郎之萬函數對FORC建模，表達式為：

(8)

式中，Brev+、arev+、Brev-、arev-分別為一階回環曲線模型中的參數。

在建模過程中，已知磁通密度B和模型參數，即可求得磁場強度H。現對FORC模型參數進行辨識。由于FORC函數本身只能構建關于原點對稱的函數。但測量得到的一階回轉曲線并非如此。所以，要對已知各FORC進行參數辨識，首先對曲線進行平移處理。例如，如圖5所示,對B=0 T下的FORC進行建模，步驟為：

圖5 一階回轉曲線建模過程Fig.5 Modeling process of FORC

(1)對回轉曲線進行上下平移，使曲線B的最大值和最小值二者絕對值相等。如曲線①。

(2)對回轉曲線進行過原點處理。在B為零點時，可知此時的磁場強度H值，所以平移量為此時磁場強度的大小。如曲線②。

(3)根據式(8)，通過函數擬合方法，即可得到最優的模型參數。

(4)通過重復步驟(1)～步驟(3)，即可得到特定材料不同回轉點下的FORC模型參數族。

得到FORC模型參數族后，即可精確建模任意回轉點下的FORC，建模過程為步驟(1)、步驟(2)取順序相反操作，最終得到目標回轉點的FORC。

在計及局部磁滯回環的準靜態磁滯回線中，主磁滯回線用經典JA磁滯模型建模，局部磁滯回線由FORC來建模，其整體建模過程如圖6所示，其主要過程總結如下：

(1)首先分析B的波形，確定正向磁化或者反向磁化過程中的回轉點(如圖6中A點)。

(2)主磁滯回線采用JA磁滯模型建模，即Bmax-A段。

(3)當進入局部磁滯回線時，使用FORC建模。通過FORC模型，可得到局部磁滯回線進入支，如圖中AP段。根據對稱原理，即可得到完整局部磁滯回線，如圖中PC段，C點將與A點重合，即局部磁滯回線進出點重合。

(4)最后，得到帶有局部回環的磁滯回線。

圖6 局部磁滯回線的建模過程Fig.6 Modeling process of local hysteresis loop

3.2.2 基于粘滯模型的頻率依賴磁滯模型

根據損耗分離理論，將電工鋼片鐵耗分為磁滯、渦流和異常損耗三項，即：

P=Phys+Pe+Pexc

(9)

式中，Phys、Pe、Pexc分別為磁滯、渦流和異常損耗。在準靜態磁化下，一個周期內單位體積的磁滯損耗為磁滯回線的面積，其表達式為：

(10)

式中，T為交變磁場的周期。經典渦流損耗表達式為：

(11)

式中，σ為材料電導率；d為材料厚度；β是幾何系數，材料為疊片時其值為6。異常損耗表達式為：

(12)

式中，S為材料的橫截面積；G為耦合常數，其值為0.135 6；V0為統計性的耦合場參數，可通過測量得到。由式(11)和式(12)可知，渦流損耗與dB(t)/dt成正比，異常損耗與(dB(t)/dt)1/2成正比。瞬時功率與磁場強度關系為：

(13)

通過式(13)可以得到渦流和異常磁場強度的表達式如下：

(14)

(15)

式中，δ為方向系數，在磁滯回線上升支和下降支中分別代表+1和-1。因此電工鋼片中總的磁場強度可表示為：

(16)

最后，用JA磁滯模型算出磁場強度后，加上渦流場和異常場，就可得到總的磁場強度。

對式(16)進行分析可知，實質上相當于在原有磁滯損耗項基礎上增加了渦流損耗和異常損耗項。理論上，頻率對磁滯行為的影響近似正弦規律，即矯頑力處的影響最大，磁滯回線上下兩端點影響最小。但隨著電工鋼片制造工藝的改進，通過實驗測量電工鋼片磁特性發現，頻率對磁特性的影響并非如此。所以傳統的損耗分離計算方法，考慮頻率對磁特性的影響，模擬動態磁滯行為，將不再準確。因此，對此進行改進，從異常損耗項入手，通過查閱相關文獻和實驗驗證，提出基于粘滯模型的動態磁滯模型。

粘滯模型可以預測任意頻率下的磁滯行為。磁通密度B滯后于磁場強度H可由粘滯模型描述為：

(17)

式中，r(B)通常稱為動態磁導率；v是關于材料的常數，它控制模型的動態性；Hstat為靜態磁場強度。函數r(B)可表示為：

(18)

式中，Rm是材料常數；最終渦流損耗采用式(14)，而異常損耗則為：

(19)

式中，當v為2時，此時與公式異常損耗項相似。隨著研究的深入，通過建模發現式(19)存在一定弊端，早期模型并不能控制動態磁滯回線形狀。所以接下來對粘滯模型進行改進，將r(B)改為任意函數形式。目的是選用適當的函數表達式可以滿足頻率對不同牌號磁性材料所產生的不同磁滯行為的影響。所以，最終r(B)選取為任意多項式函數。基于粘滯模型的頻率依賴動態磁滯模型為：

(20)

函數r(B)辨識問題成為了是否能夠建立可靠、準確的頻率依賴動態磁滯模型的關鍵。其辨識過程總結如下：

(1)通過實驗，可獲得兩條不同外場頻率下的動態磁滯回線，以此作為建模數據。

(2)根據式(20)，推導得：

(21)

式中，Hstat(B)為靜態條件下的磁滯回線；H(B)為高頻情況下的磁滯回線。即可得到函數r(B)。再通過Levenberg-Marquardt函數擬合方法，最終得到適合表達式。

3.3 動態磁滯模型的驗證

本文提出的模擬非正弦激勵下動態磁滯模型建模過程分為兩個步驟：

(1)模擬帶有局部磁滯回環的磁滯回線。

(2)模擬不同頻率下的動態磁滯回線。

3.3.1 帶有局部磁滯回環的磁滯回線模擬分析

模擬帶有局部磁滯回環的磁滯回線主要工作就是辨識靜態JA磁滯模型中的5個參數以及不同回轉點下FORC參數族。采用粒子群算法對不同磁通密度下的磁滯回線進行參數辨識，辨識結果如表1所示。具體應用時根據待模擬的磁通密度幅值選取合適的參數。

表1 不同磁通密度下JA磁滯模型參數Tab.1 Parameters of JA hysteresis model at different values of magnetic flux density

根據測量得到的一組FORC族，結合式(8)得到不同回轉點下的參數族如表2所示。

表2 一階回轉曲線模型參數族Tab.2 Parameters of FORCs at different reversal points

利用辨識得到的參數，驗證PWM激勵條件下磁滯回線的模擬效果。圖7給出了當磁通密度幅值為1.0 T，基波頻率為10 Hz，載波頻率為200 Hz下的磁滯回線的比較。圖7中主磁滯回線中出現了16個局部磁滯回環，局部磁滯回環的個數與載頻和基頻之比有關。

圖7 PWM激勵下磁滯回線(B=1.0 T)Fig.7 Hysteresis loop under PWM excitation (B=1.0 T)

3.3.2 不同頻率磁滯回線模擬分析

隨著激勵頻率的增加，磁滯回線的面積也逐漸變大，導致損耗上升。采用粘滯表達式r(B)表征磁滯回線形狀隨頻率的改變。根據式(21)，得到頻率依賴動態磁滯模型中r(B)合適的函數，四階多項式函數即可滿足建模要求，表達式如下：

(22)

圖8給出了激勵頻率分別為400 Hz和1 kHz下磁滯回線的測量和建模分析結果。可以看出計算值和測量值基本吻合，從而驗證了所改進模型的可行性。

圖8 不同激勵頻率下磁滯回線對比(B=1.2 T)Fig.8 Comparison of calculated and measured hysteresis loops under different exciting frequencies (B=1.2 T)

3.3.3 動態磁滯回線模擬分析

3.3.1和3.3.2節分別給出了局部磁滯回線和磁滯回線的頻率效應模擬效果，將兩者綜合即可模擬PWM電源激勵下動態磁滯模型。圖9為B=1.1 T,基頻50 Hz，載頻為1 kHz時PWM激勵下的動態磁滯回線的對比，兩者損耗計算誤差僅為1.3%。

圖9 動態磁滯回線對比(B=1.1 T)Fig.9 Comparison of dynamic hysteresis loops (B=1.1 T)

4 結論

本文基于傳統的愛潑斯坦方圈法，同時考慮到PWM電源激勵的測量要求，對測量裝置進行了改進。從電工裝備實際工況出發，測量了電工鋼片在PWM激勵下的磁滯特性和鐵耗，并提出了計及局部磁滯回線和頻率影響的動態磁滯模型。

通過測量結果發現，與傳統的正弦激勵有所不同，PWM激勵由于含有高次諧波，造成主磁滯回環中帶有局部磁滯回線，導致損耗增加。

結合經典JA磁滯模型和反映材料回轉特性的一階回轉曲線對帶有局部磁滯回環的磁滯回線建模效果較好。利用改進的粘滯模型，對材料異常損耗項進行改進，能夠模擬不同頻率下的動態磁滯回線。最后，將二者綜合即可準確模擬PWM激勵條件下的動態磁滯特性。