毫米波大規模MIMO 系統基于等效信道的全連接混合預編碼設計

曹海燕，馬智堯，智應娟，劉仁清，許方敏，方昕

（杭州電子科技大學，浙江 杭州 310018）

1 引言

毫米波因波長較短使得其在很小的空間內封裝大量天線成為可能[1-2]。同時，巨大的天線陣列能夠提供顯著的波束成形增益，可以有效地補償毫米波的路徑損失[3]。因而毫米波與大規模MIMO（multiple-input multiple-output，多輸入多輸出）技術相結合是第五代通信系統的關鍵技術之一。傳統的全數字預編碼方案需要與天線數量相等的RF（radio frequency，射頻）鏈，直接應用于收發端具有大量天線的大規模MIMO 系統，會使硬件成本與功耗急劇增加[4]。而傳統的模擬預編碼方案，采用移相器代替RF 鏈，雖降低了成本，但也導致了系統性能損失過多。因此，一種將RF 鏈和移相器相結合的數字模擬混合預編碼方案被提出，其可以在降低硬件成本的同時保證系統的性能不會損失過多[5-6]。

根據RF 鏈與天線的連接方式不同，混合預編碼方案主要分為全連接、部分連接以及混合連接。部分連接混合預編碼中每個RF 鏈只連接部分天線，每根天線連接一個移相器。參考文獻[6]針對部分連接混合預編碼提出一種基于 SIC（successive cancellation，連續干擾消除）的混合預編碼方案，預先設定數字預編碼矩陣為對角陣，進而將總的優化問題分解為一系列天線子陣的子優化問題。但是此算法只適用于數據流與RF 鏈相等的情況下，適用范圍太小。混合連接混合預編碼是全連接與部分連接的折中，通過RF 鏈將天線分為多個子陣，每個子陣采用全連接。參考文獻[8]針對混合連接混合預編碼提出一種持續干擾消除的混合預編碼方案，根據發送數據流與RF 鏈數量的關系，先將數字預編碼矩陣的形式設計出來，進而利用模擬預編碼矩陣的塊對角特性將其分解為子陣依次設計，最終得到混合預編碼矩陣，該方案優于部分連接混合預編碼方案。與部分連接與混合連接相比，全連接混合預編碼因其所有RF鏈均連接到發送端每一根天線上，可以為發送信號提供更高的自由度，因而具有更好的性能，更加接近全數字預編碼方案。參考文獻[9]提出一種OMP（othogonal matching pursuit，正交匹配追蹤）算法的混合預編碼方案，通過不斷地從候選矢量集合中找出與殘差矩陣相關性最大的矢量更新模擬預編碼矩陣，最后通過最小二乘準則獲得數字預編碼矩陣，該方案能夠接近最優全數字預編碼方案，但其復雜度過高。參考文獻[10]提出一種交替迭代混合預編碼算法，通過依次固定數字和模擬預編碼矩陣，交替迭代使其逼近全數字預編碼矩陣。但是，每次迭代前都要更新模擬和數字預編碼矩陣，導致其復雜度過高。參考文獻[11]提出了一種利用毫米波散射體路徑增益最大的發送角與離開角設計模擬預編碼矩陣，之后構造等效信道矩陣，通過RZF 算法獲得數字預編碼矩陣，該方案復雜度較低，但其接收端僅考慮純模擬合并器導致性能較差。參考文獻[12]提出了一種基于信道SVD 的混合預編碼方案，模擬部分取信道矩陣右酉陣的相位，數字部分通過最小二乘準則逼近全數字預編碼矩陣，但由于其模擬部分恒模約束的特性，因而無法逼近理論上最優全數字預編碼方案。

總之，部分連接混合預編碼復雜度最低，但是犧牲部分天線增益，因此其性能較差。混合連接則是部分連接與全連接的結合，實現了復雜度與性能的折中。全連接可以提供更大的天線增益，獲得接近全數字預編碼算法的性能。因此，伴隨著人們對通信質量和傳輸速率要求的提升，全連接混合預編碼將更加適用于未來天線的部署。

基于上述分析，本文提出一種全連接混合預編碼算法，以系統頻譜效率最大化為目標，聯合設計收發端預編碼矩陣和組合矩陣。首先，以等效信道增益最大化為目標設計模擬預編碼矩陣和模擬組合矩陣，之后將總的混合預編碼矩陣和接收端組合矩陣寫成分塊矩陣的形式，利用最小二乘準則，使其依次逼近最優全數字預編碼矩陣和組合矩陣的每一列，可以達到理論上誤差的最小化。仿真結果表明，本文所提算法優于參考文獻[9]所提OMP算法與參考文獻[12]所提基于信道SVD的混合預編碼算法，且復雜度更低。

符號說明：| ?|表示取模，||?||F表示矩陣的F?范數，(?)H表示矩陣的共軛轉置，tr(?)表示求跡，E[?]表示取期望，angle(?)表示取相位，A(i,j)表示矩陣A第i行j列的元素。

2 系統模型

接收端經過譯碼處理的信號可以表示為：

其中，H∈CNr×Nt為信道矩陣；WRF∈CNr×NRF為模擬組合矩陣， 需要滿足恒模約束：為數字組合矩陣；ρ為接收信號的平均功率；n∈Nr×1為加性高斯白噪聲，服從均值為0、方差為1 的復高斯分布，即n～CN（ 0,1）。

毫米波信道可以建模為擴展的Saleh-Valenzuela信道模型[14]，信道矩陣表示為：

其中，L為收發端傳播路徑數 ,αl為第l條傳播路徑的復增益，φl∈[0,2π]和θl∈[0,2π]分別表示第l條路徑的接收角和發送角。φr(φl)和φt(θl)分別代表接收端和發送端的天線陣列矢量。對于含有N個元素的ULA（uniform linear array，均勻線性陣列）響應向量，其可以分別表示為：

其中，k=2π/λ，λ為毫米波波長，d為每兩根天線在空間上的距離[14]。

圖1 毫米波大規模MIMO 系統結構

3 混合預編碼矩陣與組合矩陣的設計

3.1 問題描述

針對第2 章所描述的系統模型，毫米波大規模MIMO 系統的頻譜效率可表示為：

假設發送端和接收端均已知CSI（channel state information，信道狀態信息），混合預編碼矩陣（FRF,FBB） 和組合矩陣（WRF,WBB） 的設計目標是使得系統的頻譜效率最大化，則設計問題等效于：

然而，式（7）的求解是含有非凸約束的四變量聯合優化問題，很難直接求解以獲得其全局最優解。因此，本文對其收發端的模擬部分和數字部分分別進行設計，在保證系統性能的同時，降低了運算復雜度。下文的工作便是基于此思路設計混合預編碼矩陣和組合矩陣，實現系統頻譜效率最大化。

3.2 模擬預編碼矩陣和組合矩陣的設計

首先設計收發端模擬預編碼矩陣FRF和模擬組合矩陣WRF，根據式（7）中的表達形式，將模擬預編碼矩陣FRF、模擬組合矩陣WRF和信道矩陣H作為一個整體，構造等效信道He，使得：

（FRF,WRF）的設計目標是使等效信道增益達到最大化，即：

式（11）中，Σ為信道矩陣H的奇異值按降序排列組成的對角陣，U與V分別為其左右奇異向量組成的矩陣。則將式（11）代入式（10）中，可得其最優解分別為U、V的前NRF列，即：

考慮到模擬預編碼矩陣FRF和模擬組合矩陣WRF的恒模約束，無法直接應用其最優解，因此，取式（12）相位可得模擬預編碼矩陣FRF和模擬組合矩陣WRF，表示為：

3.3 數字預編碼矩陣和組合矩陣的設計

本節在第3.2 節中收發端模擬部分的基礎上，對數字預編碼矩陣FBB和數字組合矩陣WBB進行設計。由參考文獻[10]可知，最優全數字組合矩陣Wopt和最優全數字預編碼矩陣Fopt分別為信道矩陣H進行SVD 后的左右酉陣的前Ns列，即：

因此對于數字預編碼矩陣FBB和數字組合矩陣WBB的設計，可以分別等效于求其與最優全數字預編碼矩陣Fopt和全數字組合矩陣Wopt的歐氏距離最小值，即：

由式（15）、式（16）可知數字預編碼矩陣FBB和數字組合矩陣WBB的設計過程完全一樣，且接收端WBB無須考慮功率約束。因此，本文重點介紹數字預編碼矩陣FBB的求解過程，此過程同樣適用于數字組合矩陣WBB。

將數字預編碼矩陣FBB按列寫成分塊矩陣的形式，式（17）中的fBBn表示數字預編碼矩陣FBB的第n列：

將最優全數字預編碼矩陣Fopt按列寫成分塊矩陣的形式，式（18）中的vn表示全數字預編碼矩陣Fopt的第n列：

將式（17）、式（18）代入式（15），并進一步推導，得：

由式（19）可知，對數字預編碼矩陣FBB的求解可以轉化為對其每一列fBBn依次求解。因此，最優的數字預編碼矩陣第n列的求解可以表示為：

對式（20）展開可得：

最終求得數字預編碼矩陣FBB。

數字組合器WBB可采用同樣的方法獲得，在此不再贅述。

4 復雜度分析

表1 各算法復雜度對比

5 仿真與分析

5.1 完美CSI 下各算法性能對比

本節在完美CSI 下對所提算法的性能進行了仿真。分別對比了參考文獻[9]所提OMP 算法、參考文獻[12]所提基于信道SVD 的混合預編碼算法、純模擬預編碼算法以及最優全數字預編碼算法。對比文獻均采用全數字接收。本文Saleh-Valenzuela 信道參數設置如下：考慮一個點對點大規模MIMO 下行鏈路，收發端均采用ULA天線陣列。假設信道中散射簇的個數Ncl= 5，每個簇中射線數Nray=25，路徑總數為NclNray=125。發送角AOD 與接收角AOA 均在[0,2π]上服從均勻分布，角度擴展為10°。路徑增益αl服從均值為0、方差為σl2的復高斯分布，滿足此外，仿真圖上每一個點均通過1 000 次循環后取平均獲得。

天線數Nt×Nr=128 × 8、Ns=NRF= 4的毫米波大規模MIMO 系統，各算法頻譜效率與信噪比關系如圖2 所示，數據流數Ns與RF 鏈數量滿足Ns=NRF。由圖2 可以看出，混合預編碼算法性能上均遠遠優于純模擬預編碼算法，并且本文所提算法雖略低于全數字預編碼算法，但相較于OMP 算法和基于信道SVD 混合預編碼算法的性能更好，更加接近全數字預編碼的性能。

圖2 各算法頻譜效率與信噪比關系1

天線Nt×Nr=256 × 16、NRF= 8、Ns= 6的毫米波大規模MIMO 系統，各算法頻譜效率與信噪比關系如圖3 所示，數據流數Ns與RF 鏈數量滿足Ns

圖3 各算法頻譜效率與信噪比關系2

Nt=128、NRF=Ns= 8、SNR = 0的毫米波大規模MIMO 系統，各算法性能與接收端天線數關系如圖4 所示。由圖4 可以看出，當接收端天線數較少時，本文所提算法與最優全數字預編碼算法以及OMP 算法性能相同，高于基于信道SVD混合預編碼算法，隨著接收端天線數的增加，基于信道SVD 分混合預編碼算法性能逐漸優于OMP 算法。本文所提算法隨著接收端天線數的增加逐漸低于最優全數字預編碼方案，但仍優于OMP 算法以及基于信道SVD 混合預編碼算法。

5.2 不完美CSI 下各算法容錯性與性能分析

上述仿真基于完美的CSI，然而在實際的應用中，由于信道估計存在誤差，往往不能獲得完美的CSI，因此本節將在不完美的CSI 下，對本文所提的算法進行評估。根據MMSE 準則信道估計，不完美CSI 下的信道矩陣H可以表示為[15]：

圖4 各算法性能與接收端天線數關系

其中，λ為進行信道估計的準確性因子，滿足0≤λ≤1 。E為誤差矩陣，服從均值為0、方差為1 的復高斯分布。

圖5～圖7 分別表示Nt×Nr=128 ×8、NRF=8、Ns= 4毫米波大規模MIMO 系統 ，各算法在不完美CSI 下所能達到的頻譜效率。當λ=0.9時各算法性能損失均不大，僅為1～2 dB。但隨著信道估計誤差的增加，各算法性能損失逐漸增加。當λ=0.7時，本文所提算法達到完美CSI 下頻譜效率的85.3%，OMP 算法與基于信道SVD 算法分別為81.2%和76.3%；當λ=0.5時，本文所提算法達到完美CSI 下頻譜效率的71.8%，OMP 算法與基于信道SVD 算法分別為62.5%和57.5%。本文所提算法容錯性優于OMP 算法與基于信道SVD 算法。

Nt×Nr=256 ×16、NRF=Ns=8毫米波大規模MIMO 系統，本文所提算法在不完美CSI 下所能達到的頻譜效率如圖8 所示。從圖8 中可以看出，隨著收發端天線數以及數據流的增加，本文算法的頻譜效率相應增加。當λ=0.9時，頻譜效率損失2～3 dB；當λ=0.7和λ=0.5時，可以分別達到完美CSI 頻譜效率的83.4%和71.7%。對比圖5 與圖8 可知，本文所提算法的容錯性穩定，不會因收發端天線數的增加或數據流的改變而發生較大的變化，在信道估計存在較大誤差時，依舊能保持較好的性能。

圖5 N t×Nr=128 ×8、NRF=8、Ns =4本文算法在不同CSI 下的系統性能

圖6 N t×Nr=128 ×8、NRF=8、Ns =4OMP 算法在不同CSI 下的系統性能

圖7 N t×Nr=128 ×8、NRF=8、Ns =4基于信道SVD算法在不同CSI 下的系統性能

圖8 N t×Nr=256 ×16、NRF=Ns =8本文算法在不同CSI 下的系統性能

天線數Nt×Nr=128 × 8、Ns=NRF= 4的毫米波大規模MIMO 系統，各算法在信道估計準確性因子λ=0.5時的性能對比如圖9 所示。對比圖2可以看出，各算法頻譜效率均有損失，其中基于信道SVD 算法的性能損失最大，OMP 算法在完美CSI 下性能低于基于信道SVD 算法，但其容錯性更優。本文所提算法無論性能與容錯性均優于OMP 算法和基于信道SVD 算法，在不完美CSI下，依舊更接近最優全數字預編碼方案。

圖9 N t× Nr=128 ×8、NRF=4、Ns =4、λ=0.5各算法性能對比

6 結束語

本文提出了一種毫米波大規模MIMO 系統全連接混合預編碼方案。仿真結果表明，本文所提算法在并未增加算法復雜度的情況下，與OMP 算法和基于信道SVD 混合預編碼算法相比在系統性能上均更優。同時，本文所提算法的性能不會因信道估計的誤差而受到較大的損失，容錯性較強。