分類討論思想在初中數學解題教學中的應用

費 英

(江蘇省南京市竹山中學 211100)

數學學科的解題方式比較靈活，同一道題可能有多種解題思路，不同題目的解題思路也有可能相同，所以要想采取最合適的方法解決數學問題，就要在平時學習過程中，注重數學思想在解題中的應用.分類討論思想作為一種重要的數學思想，在生活和學習中的應用非常廣泛，能夠幫助學生了解數學知識的體系，對提高學生思維能力和邏輯能力具有重要意義.分類討論思想可以輔助學生對知識點的整理，并能夠探索其內在規律，簡化難題，真正做到舉一反三.

一、分類討論思想在初中數學解題教學的作用

分類討論思想在初中數學解題中的作用現，就是將問題化整為零，對問題進行分解，然后逐一擊破，其本質就是利用了劃分邏輯的思想，為學生提供一種重要的解題策略，幫助學生在解題過程中，簡化問題的難度.同時，這種思想方法也促進學生發現數學中的內在規律，通過自身探索和思考，逐步對知識點進行總結歸納，提高學習解題能力.通過對學習方法的日積月累并付諸于實際應用，就可以保證學生在解題正確的基礎上，提高解題速度.利用這種科學合理的方法，有序的將問題逐一分解，可以提高學生學習的信心，調動學生學習數學的積極性，并且在思考的過程中，促進學生樹立創新和實踐意識，讓學生逐步體會到數學學科的魅力，從而真正意義上的使學生愛上數學，提高思維邏輯能力.

二、分類討論思想的原則

初中數學課程學習中，學生邏輯思維能力的培養是教師關注的重要方面，學生的思維比較活躍，他們對一切新事物都充滿好奇心.根據學生這一特點，教師應在每一節數學課上都需要采用多樣化的教學模式，以此滿足學生的學習需求，來提高學生的課堂教學的參與性與積極性.而分類討論思想在數學教學中的應用，可以促進學生的思維轉換來解決數學問題，特別是在解題中真正做到事半功倍.因此，分類思想運用到求解數學問題過程中，必須把握兩個準則.

第一，把握同一性原則，即保證分類時應采用同一種標準對對象進行分類.而且明確研究對象是應用分類思想的前提，只有明確研究對象的特性，才能為分類奠定基礎.接著選取同一種屬性，將對象進行分類，避免在同一個組別中的對象出現屬性交集，這樣所做的分類就沒有任何實際意義，也就無法簡化題目，所以必須保證組別中的對象是互斥的，屬性不能出現交集.

第二，遵循層次性原則.對于需要多次分類的情況，就必須牢牢把握住層次性這一準則，實現通過概念的差異性，對研究的對象進行逐層分類，此時必須保持頭腦的清醒，思維周全，盡量不要因為忽略對象的某一屬性，導致結果錯誤.

三、分類討論思想在初中數學解題教學中的應用措施

1.注重日常生活中對分類討論思想的培養

思想不僅適用于數學解題中，更能在解決生活問題中，展示出較強的優勢.比如學生在整理自己的生活物品時，都能夠利用分類的思想，所以教師要在生活中做出指導，指引學生將分類思想運用到數學解題中.同時，初中數學的內容區塊化比較嚴重，教師應該做好充足的備課準備，盡可能將內容通過分類后再進行講授，讓學生在聽課過程中就能感受到分類思想，而且通過分模塊講授課程，還能簡化內容的難度，將不容易理解的內容，通過區塊化闡述出來，更好的幫助學生去接受這些知識，同時也能促進學生了解知識的聯系，構建數學知識體系，鍛煉思維能力.

例如，在講授數的概念時，學生會接觸到很多新的概念，為防止混淆，教師可以利用分類思想，根據數的特性，可以分為正有理數，負有理數和零，然后再進行分類講述.經過教師日常利用分類思想的熏陶，學生就能夠逐漸明白分類思想的意義，也能體會到利用分類思想對解題帶來的便利性.在長時間熏陶之后，學生就能逐漸建立分類思考的意識，通過模仿教師進行分類，最終實現該思想的靈活運用.

2.注重分類討論思想解決數學問題時的周密性

初中階段的學生，很容易想當然的去解決問題，在利用分類思想時，不能將各個對象充分的分類，總是會忽略其中的某些特性.為解決這種問題，教師首先應該提高對自己的要求，保證自己在講課過程中，對問題進行全面思考，以身作則.同時，在分類之后的解題過程也要保持清醒的頭腦，理清思路，做到胸有成竹.其次，教師可以利用課堂時間讓學生進行實踐，通過挑選經典題目，讓學生在實踐中理解分類思想的重要性，以及思維周密的必要性.

例如，在講解不等式時，可能會出現這類題目：(a+3)>a2-9，很多學生會想當然的直接將兩邊同時除以a+3，但卻忽視了對正負號和零的考慮.所以教師一定要多多培養學生思維的周密性，可以通過加大練習量以及分類思想的練習來使學生得到提升，提高解題的正確率，當然本題也可以通過數形結合思想利用函數圖像來解決.

3.注重指引學生利用分類思想簡化討論方法

處于初中階段的學生，剛剛接觸數學解題思想，對于一些理念上的東西不能很好的把握，這就影響了思想應用到實際的效果，所以教師要留心學生進行分類時選擇的屬性和方式，通過指引學生對屬性的選擇，才能讓學生的解題步驟更加簡化.

比如初中數學經常遇到的絕對值問題，通常絕對值要分為三種情況，通過將絕對值進行明確的分類討論，分離他們的復雜關系，才能避免思考比較復雜的情況.而且分類時為了進一步討論，教師必須將這一概念傳授給學生，只有做到對問題進行分類思考，才能簡化難題，才能最大程度上避免解題中的失誤.

四、分類討論思想在解題中的應用

1.在函數解題中的應用

初中數學教學中，函數問題占據著很大一個比例，也是考試難點之一.但學生在分類討論時，經常會考慮不周.例如求解有關x的函數問題：y=ax2+2x+3，若a為常數，則保證函數圖像和x軸存在一個交點時，a的取值是多少.其實這道題的本質考察的就是分類討論思想，由于對二次函數概念理解的不準確，很多學生看到這種題就會走入一個誤區，直接將該函數看做二次函數，但二次函數的定義必須保證a不為0，所以這道題目的難點就在于a是否為零.

作為比較經典的題目，可以在初步講授分類思想時，當作例題講給學生聽，首先要讓學生準確的對課本概念進行記憶，明白一次函數和二次函數的區別，其次就是觀察參數所在的位置，當參數處在比較特殊的位置時，一定要特別注意，最后通過分類討論的思想，對題目進行分類討論，主要需要考慮的有兩類，參數a為0和不為0的情況，通過詳細的分析就能快速準確的將題目解答出來.

2.在三角形問題中的應用

和函數問題類似，在解決三角形問題時，仍會有學生考慮不周.比如說給出一道題目：直角三角形的兩個邊長，分別為6和4.這時考慮欠佳的學生就會直接根據勾股定理，將已知的兩個邊長看作直角邊，求出斜邊長度.但這道題并沒有給出已知的邊是直角邊還是斜邊，本題還可以將其中的6作為斜邊，這時需要解答的就是直角邊.所以教師在傳授分類思想時，一定要注重培養學生對問題對象的特性，以及特殊概念和情況的考慮.

綜上所述，分類討論思想作為重要的解題思路，不是通過幾節課的講述就掌握的，這需要教師在日常教學過程中，不斷進行指導，使這種思想逐漸滲透到學生的解題過程.所以，初中階段的數學學習必須加強分類討論思想的灌輸，并不斷培養學生的思維能力和解題的周密性，為討論過程打下堅實的基礎，進一步提高學生的數學思維能力，從而提升數學課堂教學的效率.