立足起點 關注卡點 突破難點
——《絕對值三角不等式》磨課反思

張 倩

(浙江省湖州市安吉藝術高級中學 313300)

《絕對值三角不等式》是高中數學選修4-5《不等式選講》中的一節(jié)內容.筆者從初次授課的學生思維卡點出發(fā)，立足學生思維起點，關注學生思想建構，以“同課異構”的形式，對本節(jié)內容進行了多次磨課，將本節(jié)課在定理探究、本質挖掘、內在聯系、思想滲透等方面的反思與感悟整理成文.

一、初次教學設計及課堂實錄片段

【創(chuàng)設情境】近日中美貿易戰(zhàn)持續(xù)升級，導致中美兩國關系日益緊張，中方下令加強航空管制，取消一切中美“直飛航班”.原本由M地直飛N地的航班，不得不經停P點.

師：航空管制前后，飛機飛行路程有否變化？位移呢？

生：路程有變,位移不變

師：隨著中轉站P點的改變，航空管制前后飛行路程的大小能否確定？ 何時取到最小值.

生：MP+PN≥MN,當且僅當M、P、N三點共線時取到最小值.

師：上述不等式體現了三角形中怎樣的“三邊關系”？

生：三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊.

師：猜想，向量三角不等式的實數形式是怎樣的？是否正確？

生：學生靜默.

師：那我們帶著這個疑問一起來學習今天的內容.

【溫故已學】

問題1：|a|的代數定義？

問題2：|a|的幾何意義？

問題3：|a-b|的幾何意義?

【探究新知】

環(huán)節(jié)1.幾何探究

師：設a、b為實數，你能確定|a-b|與|a|+|b|兩者間的大小關系嗎？我們借助幾何畫板一起來探究一下.

師：|a-b|、|a|、|b|的幾何意義是什么？

生：A、B兩點間的距離，點A到原點O的距離及點B到原點O的距離.

師：A、B兩點在數軸上的位置能否確定？

生：不確定.

師(操作)：固定A、B兩點，讓點O在數軸上動起來，通過變動點O從而體現A、B兩點在數軸上的變化.

師：觀察點O與AB有幾種位置關系？

生：在AB左側、AB中間、AB右側.

師(操作)：利用幾何畫板，用紅、藍兩種顏色分別表示出|a-b|及|a|、|b|所對應的線段.

師：分別觀察點O在AB左側、AB中間、AB右側三種情況下，紅色線段AB(即|a-b|)與藍色線段OA、OB之和(即|a|+|b|)的大小關系.

生：O在AB左側時，AB長度小于OA、OB之和；

O在AB中間時，AB長度等于OA、OB之和；

O在AB右側時，AB長度小于OA、OB之和；

師：能否用代數式表示上述的大小關系？

生：O在AB左側時，|a-b|<|a|+|b|；

O在AB中間時，|a-b|=|a|+|b|；

O在AB右側時，|a-b|<|a|+|b|；

師：即|a-b|≤|a|+|b|，當且僅當O在AB中間時取“=”.

師：“O在AB中間”能否用數學語言描述？

生：a、b兩者一正一負.

師：即ab≤0.

環(huán)節(jié)2.代數證明

師：至此，我們已經探究得到了|a-b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≤0時取“=”.那能否對其進行證明？

師：處理含有絕對值的式子，我們有哪些方法？

生1：把絕對值去掉.

師：去掉絕對值時要注意什么？

生2：對絕對值內的數進行分類討論.

師：很好！那你們看看上述不等關系中有幾個絕對值？需要對哪些數進行分類討論.

生：共有3個絕對值，分別要對a-b的正負，a的正負，b的正負進行討論.

師：除了去掉絕對值這種方法之外，有沒有更簡潔的方法，可以處理諸如上式這樣的不等號兩邊都有絕對值的式子？

生3：兩邊平方.

師：很好！那請大家嘗試用這種方法嚴密證明下.

生(草稿紙上書寫)：

師(板書引導)：要證：|a-b|≤|a|+|b|

即證：|a-b|2≤(|a|+|b|)2

即：a2-2ab+b2≤|a|2+|b|2+2|a||b|

即要證：-2ab≤2|a||b|,即：|a||b|+ab≥0，ab≤0時上式取“=”.此結論顯然成立，所以原命題得證.

環(huán)節(jié)3.定理剖析

師：至此，我們從幾何和代數角度都證得：

如果a、b是實數，|a-b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≤0時取“=”.

師：如果用○代替不等式中的a，用□代替不等式中的b，則上述不等式具有怎樣的形式特征？

生：|○-□|≤|○|+|□|

師：很好！即“差的絕對值”≤“絕對值之和”！

環(huán)節(jié)4.定理變形

師：嘗試用不同的數或式代換○、□中的值 ，能否得到新的結論？

生：|1-2|≤|1|+|1|；

|1-(-3)|≤|1|+|-3|；

|1-0|≤|1|+|0|；

……

師：能否用更具有一般性的字母代換，如試試用“a”、“-b”分別代換○、□中的值？

生：|a+b|≤|a|+|b|.

師：很好！至此，我們通過變量代換，又得到：

如果a、b是實數，|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≥0時取“=”

師：用“a-b”、“-b”去代換，又有什么新發(fā)現？

生：|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|，即|a|≤|a-b|+|b|

師：很好！即我們得到：

如果a、b是實數，|a-b|≥||a|-|b||.

師：那|a+b|≥||a|-|b||是否成立？如何證明？

生：用“-b”代換|a-b|≥||a|-|b||中的“b”即可.

環(huán)節(jié)5.定理剖析

師：至此，我們探究得到：如果a、b是實數，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

即：‖○|-|□‖≤|○±□|≤|○|+|□|;即：“絕對值之差”≤“和(差)的絕對值”≤“絕對值之和”.

【知識應用】

例1已知m>0，|x-a|

例2兩個施工隊A、B分別被安排在公路路碑10km和20km處.現要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地之間往返一次.要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應該建于何處？

二、起點、卡點、難點——磨課中的取舍與反思

1.起點——先“加式”還是先“減式”

筆者在磨課過程中，都以||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|中的后半組|a±b|≤|a|+|b|作為教學的起點，設計時從不同的角度出發(fā)，分別采用過將|a+b|≤|a|+|b|作為主體和將|a-b|≤|a|+|b|作為主體兩種切入手段.從課堂效果來看，以|a+b|≤|a|+|b|作為首推的不等關系給出，再通過變量代換推得其余三個不等關系，雖然遵循了加法運算的基礎性，但給學生理解其幾何意義設置了障礙.以|a-b|≤|a|+|b|作為首推的不等關系給出，更接近學生認知的起點，能讓學生更直觀的理解絕對值不等式所體現的“兩點間距離”這一幾何本質，有利于后續(xù)新知的展開.

2.卡點——先“幾何”還是先“代數”

幾何和代數是一個事物的兩種呈現形式，“數”往往比較精煉，“形”往往比較直觀.從數的角度切入探究||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，常常采用的手段是由特殊到一般，即由幾組特殊的數值的“和、差的絕對值”與“絕對值之和”、“絕對值之差”間的大小關系的比較，猜想這樣的大小關系是否具有一般性.從形的角度切入探究則可從絕對值的幾何意義入手，借助幾何畫板的動態(tài)演示，讓A、B兩點固定不動，探究當動點O在數軸上運動時，位于何處時距兩定點A、B間的距離最短.從課堂反響來看，選擇從形的角度切入更顯直觀，亦更接近數學的本質.

3.難點——先“數量”還是先“向量”

兩種開篇方式各有利弊，因而，如何更好地建立起實數形式的絕對值三角不等式與向量形式的三角不等式之間的聯系，是筆者百思不得解的一塊內容.