均值GM(1,1)模型在變形預測中的應用★

楊懷義 邱利軍 張 波

(1.中國建筑材料工業地質勘查中心山西總隊,山西 太原 030031； 2.河北建筑工程學院，河北 張家口 075000)

1 概述

建構筑物變形監測貫穿整個施工過程并延續至運營管理階段。而在施工建設階段，由于荷載的不斷增加以及時間的推移，會產生豎直方向的位移，也就是沉降變形。沉降量累計增加，若超限或沉降不均勻則可能發生危險情況，在這種情況下，必須通過測量工作進行監測，以確保施工過程及運營期的安全。而根據已獲得監測數據對未發生變形進行預測，能夠對即將發生的變形有一個初步判斷，若存在危險可能，可以提前制定措施以降低危險。因此，對變形監測數據進行分析及預測是變形監測的重要事項[1]。目前變形預測方法有多種。灰色GM(1,1)方法是由鄧聚龍教授提出的一種用來研究貧信息且小樣本數據的擬合預測方法，該方法已經拓展應用于多個領域[2,3]。多元線性回歸方法也是變形預測中較常用方法之一，該模型以建立的因變量與多自變量的函數方程為預測公式進行預測[4-7]。本文以實際觀測數據為依據，建立GM(1,1)模型進行擬合預測，并與多元線性回歸結果進行比較，得到GM(1,1)模型預測結果較好，對實際工程應用有一定意義。

2 均值GM(1,1)模型與多元線性回歸原理

2.1 均值GM(1,1)模型

設序列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，其中,x(0)(k)≥0，k=1，2,…,n,x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)),x(1)計算公式為：

(1)

其中，k=1,2,…,n。對生成序列建立微分方程為：

(2)

(3)

其中：

(4)

得到擬合或預測函數為：

(5)

若k≤n為模擬，若k>n為預測。

2.2 多元線性回歸的原理

多元線性回歸模型主要用于研究因變量與多個因子之間非確定關系，其數學模型是：

yt=α0+α1xt1+α2xt2+…+αpxtp+δt

(6)

其中，t=1,2,…,n，δt～N(0，σ2),t為因子變量;p為因子個數。

多元線性回歸模型矩陣表示形式為：

y=xa+δ

(7)

其中，y為因變量向量，其形式為：

y=(y1,y2,…,yn)T

(8)

x則是一個n×(p+1)的自變量元素矩陣，其形式為：

(9)

δ是服從同一正態分布的n維隨機向量，其形式為：

δ=(δ1,δ2,…,δn)T

(10)

(11)

3 計算實例及比較分析

以文獻[4]中實際觀測數據為依據，選取前15期實測高程數據為建模數據建立GM(1,1)模型作為擬合項，后5期高程數據作為預測數據項。得到方程為：

模型小誤差概率p=1，后驗差比值C=0.162 45，則根據模型精度等級分類為1級(好)。與文獻中以時間和荷載為影響因素建立的多元線性回歸結果比較如表1，圖1所示。

表1 觀測數據及不同方法數據比較

由表1可得，在擬合數據序列中，多元線性回歸方法預測平均誤差為0.125 mm，其平均相對誤差為0.002 2%；而均值GM(1,1)模型擬合平均誤差為0.096 mm，其平均相對誤差為0.001 7%。因此，前15期實測數據序列GM(1,1)模型擬合數據較多元線性回歸模型擬合數據精度高。在后5期數據預測階段，多元線性回歸模型預測平均誤差為0.491 mm，其平均相對誤差為0.008 6%；而均值GM(1,1)模型預測平均誤差為0.267 mm，其平均相對誤差為0.004 6%。因此，在預測階段均值GM(1,1)模型精度優于多元線性回歸模型。從圖1可以看出，GM(1,1)模型曲線更接近實測數據曲線。

4 結語

建筑物沉降變形的產生會隨著建筑物施工進度一直延續至運營階段。本文變形監測實測高程數據序列為基礎，選取20實測數據進行擬合和預測，結果顯示無論在擬合數據階段還是在預測數據階段，均值GM(1,1)模型所獲得結果均優于以荷載和時間為影響因素建立的多元線性回歸模型，且精度滿足實踐要求。因此，均值GM(1,1)模型在數據序列滿足建模要求的情況下可以應用于變形監測數據預測，可以作為相似工程的參考方法，但由于該模型是以指數函數進行預測，應用上存在部分限制，需要進一步進行研究。