非對稱聲學超材料的各向異性反射特性及等效參數(shù)

徐宜才,吳九匯

(西安交通大學機械工程學院,710049,西安)

聲學超材料是具有亞波長尺寸特征的人工復合結構,其主要的研究目標是設計具有新穎聲學特性的人工超結構[1-6]。最近,非對稱結構的各向異性反射特性成為研究熱點,該特性是由于非對稱結構具有Willis耦合效應。彈性波的Willis耦合是指應力與速度或者動量與應變的耦合[7]。Willis首次在不均勻彈性介質的動態(tài)響應中描述了這種耦合特性,從此研究者把這種耦合關系稱為Willis耦合[7]。Muhlestein等推導了假設Willis材料具有互易性、被動性和因果性時,材料特性所受到的約束條件[7]。Xiang等證明了非均勻預應力材料的線彈性行為可以用Willis方程來描述[8]。Liu等在實驗中實現(xiàn)了彎曲波的Willis耦合,他們利用懸臂梁的彎曲共振證明了Willis耦合引起非對稱的反射幅值和反射相位[9]。Liu等利用被動宇稱-時間對稱超材料晶體在二維空間實現(xiàn)了單向波矢量的操縱[10]。被動宇稱-時間對稱系統(tǒng)的不對稱反射特性類似于Willis耦合形成的各向異性。Merkel等將聲Willis耦合與宇稱-時間對稱系統(tǒng)的特性統(tǒng)一在同一框架下,表明一個簡并點在任何情況下都具有顯著的散射不對稱性并伴隨著聲波的單向零反射[11]。

許多研究者提出了不同的設計方案來實現(xiàn)聲學超材料的Willis耦合[12-15]。Muhlestein等提出了一維非對稱聲學系統(tǒng),并用實驗和理論證明了非對稱系統(tǒng)的局域行為產(chǎn)生了非對稱的等效參數(shù),他們還提出了改進的反演法來計算非對稱系統(tǒng)的統(tǒng)一等效參數(shù),然而反演法默認求解的模型是質心對稱結構,并不適用于幾何非對稱型聲學超材料[12]。此外Willis耦合還產(chǎn)生各向異性反射特性,而Muhlestein等沒有研究這部分內容。Ma等研究了雙層非對稱聲學超材料的聲學特性,并利用改進的反演法計算了考慮Willis耦合的等效參數(shù)[13]。然而Ma等沒有研究材料損耗對聲學特性的影響,對各向異性反射特性的形成機理也揭示的不清楚。Quan等推導了聲散射體Willis耦合的一般邊界,表明在適當設計的散射體中可以達到這些邊界,并為最大各向異性內含物的實現(xiàn)勾勒出一個系統(tǒng)的場所[14]。Craig等利用反轉對稱破壞的聲光柵系統(tǒng)地實現(xiàn)了非對稱波傳播時壓力場和速度場之間任意給定的各向異性耦合[15]。打破非對稱性不僅會產(chǎn)生各向異性的反射特性,還會產(chǎn)生各向異性的透射特性。Li等利用梯度超表面實現(xiàn)了聲波的各向異性折射,通過局部控制元胞的各向異性響應來確保對折射波的完全控制[16]。Li等還設計了3個折射超表面,可以將法向入射的平面波在透射側分別重新定向到60°、70°和80°方向[16]。

為揭示各向異性反射特性的形成機理,本文研究了材料非對稱、幾何非對稱和共振非對稱3種結構的聲學特性,通過仿真和實驗對比分析了材料損耗對聲學特性的影響。提出了直接法來求解幾何非對稱結構的等效參數(shù),進一步提出了改進的直接法來求解考慮Willis耦合的統(tǒng)一等效參數(shù),并利用透射幅值和被動材料的要求驗證了求解的等效參數(shù)的正確性。

1 材料非對稱型聲學超材料

1.1 幾何模型

典型的雙層薄板聲學超材料如圖1所示,該圖是三維結構在rz平面的截面,該結構是由兩層圓形薄板耦合一層空氣組成[13]。當兩層薄板的材料和尺寸完全相同時,該結構在z軸方向是一個完全對稱結構。雙層薄板聲學超材料的幾何參數(shù)包括:薄板的半徑r0為20 mm,薄板的厚度t為0.2 mm,空氣層厚度d為10 mm。當上層薄板選用聚對苯二甲酸乙二醇酯材料(PET),下層薄板采用尼龍材料,該模型是一個材料非對稱型聲學超材料,對應的材料參數(shù)見表1。

圖1 材料非對稱型聲學超材料

表1 非對稱聲學超材料的材料參數(shù)

1.2 各向異性的反射特性

為探究非對稱聲學超材料兩側聲學特性的差異,利用有限元軟件Comsol Multiphysic分別計算了平面波從結構兩側法向入射的結果。計算時采用二維軸對稱模型,圓形薄板的外邊界設置為固定邊界。通過設置材料的各向同性損耗因子,還研究了材料損耗對聲學特性的影響。

圖2是材料非對稱型聲學超材料無損耗聲學特性的仿真結果。平面波從PET薄板一側法向入射得到的聲學特性記為P側的聲學特性,平面波從尼龍薄板一側法向入射得到的聲學特性記為N側的聲學特性。兩側的反射幅值|R|和透射幅值|T|完全相同,兩側的反射相位arg(R)完全不同。各向異性的反射特性具體是:在透射幅值的第1個峰值處,兩側的反射相位都發(fā)生突變,P側的相位突變?yōu)?π,而N側的相位突變小于2π;在透射幅值的第2個峰值處,只有N側的反射相位發(fā)生2π的突變;在透射幅值的第3個峰值處,只有P側的反射相位發(fā)生2π的突變。上述分析表明材料非對稱型聲學超材料在無材料損耗下具有各向異性的反射相位。

(b)反射相位圖2 材料非對稱型聲學超材料無損耗的聲學特性的仿真結果

將PET材料和尼龍材料的各向同性損耗因子分別設置為0.115和0.15,材料非對稱型聲學超材料有損耗的聲學特性的仿真結果如圖3所示。兩側的透射幅值完全相同,兩側的反射幅值和反射相位完全不同。兩側的透射幅值有無損耗下始終是相同的,這是由于本文研究的非對稱聲學超材料都是線性時不變系統(tǒng),具有互易的傳輸特性。各向異性的反射特性具體是:在透射幅值的第1個峰值處,兩側的反射幅值都出現(xiàn)谷值,但是P側的反射幅值小于N側的反射幅值;兩側的反射相位都發(fā)生突變,P側的相位突變大于N側的相位突變,受材料損耗的影響,P側的相位突變也小于2π。在透射幅值的第2個峰值處,兩側的反射幅值都出現(xiàn)谷值,但是N側的反射幅值遠小于P側的反射幅值;只有N側的反射相位發(fā)生突變,受材料損耗的影響,相位突變小于2π。在透射幅值的第3個峰值處,只有P側的反射幅值出現(xiàn)谷值;也只有P側的反射相位發(fā)生突變,受材料損耗的影響,相位突變小于2π。對比圖2可知,材料損耗產(chǎn)生了各向異性的反射幅值并且減小了反射相位的突變幅值。考慮材料損耗不僅能獲得各向異性的反射幅值,還可獲得各向異性的吸聲特性。在透射幅值的第2個峰值處,N側的反射幅值出現(xiàn)谷值,該處的透射幅值也較小,經(jīng)計算該處的吸聲系數(shù)為0.908,呈現(xiàn)良好的吸聲特性。在透射幅值的第3個峰值處,P側的反射幅值具有較小的谷值,該處的透射幅值也較小,經(jīng)計算該側的吸聲系數(shù)為0.985,呈現(xiàn)完美的吸聲特性[17]。上述計算結果表明材料非對稱型聲學超材料具有各向異性的反射相位,考慮材料損耗下還具有各向異性的反射幅值。

(a)反射和透射幅值

(b)反射相位圖3 材料非對稱型聲學超材料有損耗的聲學特性的仿真結果

透射幅值的峰值是結構的共振形成的,此外,共振還引起了反射相位的突變。為揭示各向異性反射相位的形成原因,圖4給出了材料非對稱型聲學超材料無損耗的特征模態(tài)位移場。由于計算的模型是二維軸對稱模型,特征模態(tài)圖中虛線表示z方向的對稱軸,下層薄板是尼龍材料,上層薄板是PET材料。圖4a是第1階特征模態(tài),對應透射幅值的第1個峰值。圖中上層PET薄板處于一階共振模態(tài),導致該側的反射相位發(fā)生2π的突變;下層尼龍薄板的位移場類似于共振模態(tài),該側也發(fā)生相位突變,但是突變幅值小于2π。PET薄板處于共振模態(tài),其共振位移大于尼龍薄板的共振位移,考慮材料損耗下PET薄板的能耗大于尼龍薄板的能耗,因此P側的反射幅值小于N側的反射幅值。圖4b是第2階特征模態(tài),對應透射幅值的第2個峰值。圖中下層尼龍薄板處于一階共振模態(tài),所以該側的反射相位發(fā)生2π的突變;上層PET薄板處于非共振模態(tài),位移場是以半徑中點S點為對稱點的反共振模態(tài),該側的反射相位不發(fā)生突變。尼龍薄板處于共振模態(tài),考慮材料損耗下其變形能耗遠大于PET薄板的變形能耗,因此N側的反射幅值出現(xiàn)谷值。圖4c是第3階特征模態(tài),對應透射幅值的第3個峰值。圖中下層尼龍薄板處于非共振模態(tài),該側的反射相位不發(fā)生突變;上層PET薄板處于二階共振模態(tài),該側的反射相位發(fā)生2π的突變。PET薄板處于共振模態(tài),考慮材料損耗下其變形能耗遠大于尼龍薄板的變形能耗,因此P側的反射幅值出現(xiàn)谷值。共振模態(tài)還影響著透射幅值,兩層薄板都處于共振模態(tài)時,結構具有較高的透射幅值,如第1個透射峰值遠大于另外兩個透射峰值;高階共振模態(tài)的透射能力低于低階共振模態(tài)的透射能力,如第3個透射峰值小于第2個透射峰值。由特征模態(tài)分析可知,反射相位在薄板的共振頻率處發(fā)生突變,結構兩側不同的共振模態(tài)導致了各向異性的反射相位,考慮材料損耗下共振模態(tài)的能耗遠大于非共振模態(tài)的能耗,進一步產(chǎn)生了各向異性的反射幅值。

(a)第1階特征模態(tài)位移場

(b)第2階特征模態(tài)位移場

(c)第3階特征模態(tài)位移場圖4 材料非對稱型聲學超材料無損耗的特征模態(tài)位移場

2 幾何非對稱型聲學超材料

材料非對稱型聲學超材料所用的幾何模型在z軸方向是完全對稱的。本節(jié)將非對稱角引入薄板結構中設計幾何非對稱型聲學超材料,其模型圖和聲學測試圖如圖5所示,該模型是折板結構,圖5a是三維結構在rz平面的截圖。折板的厚度t為1 mm,折板的外徑r1為50 mm、內徑r2為30 mm,折板與半徑方向的夾角θ是結構的非對稱角,θ為π/18。兩層折板結構組成的幾何非對稱型聲學超材料如圖5b所示,兩層折板間的距離d為10 mm,折板的外邊界為固定邊界。利用3D打印技術對如圖5d所示的三維幾何模型進行加工,加工的樣件如圖5c所示,選用的材料為光敏樹脂,具體的材料參數(shù)見表1。由于采用方形阻抗管測量樣件的聲學特性,為了便于在實驗中安裝樣件,樣件的外框架是方形。圖5e是阻抗管測試系統(tǒng)示意圖,該系統(tǒng)包括計算機發(fā)聲和處理軟件、信號采集卡、功率放大器、揚聲器、前管、后管和傳感器等。利用前管中安裝的兩個傳感器來測試反射系數(shù),利用后管中安裝的傳感器來測試透射系數(shù),測試樣件安裝在前、后管之間。

(a)元胞示意圖 (b)計算雙側聲學特性的示意圖

(c)實驗樣件(d)幾何模型

(e)阻抗管測試系統(tǒng)示意圖圖5 幾何非對稱型聲學超材料及阻抗管測試系統(tǒng)示意圖

2.1 幾何模型及實驗測試系統(tǒng)

2.2 各向同性的反射特性及實驗驗證

圖6是幾何非對稱型聲學超材料有損耗的聲學特性,仿真中光敏樹脂材料的各向同性損耗因子為0.06。平面波從凹側法向入射得到的聲學特性記為左側,平面波從凸側法向入射得到的聲學特性記為右側。仿真和實驗結果均表明幾何非對稱型聲學超材料具有各向同性的反射和透射幅值。考慮材料損耗下該結構具有各向同性的反射幅值,這說明結構兩側的共振特性完全相同。由此可知,如果幾何非對稱不能形成共振非對稱,就不能獲得各向異性的反射特性。對比材料非對稱型聲學超材料的研究結果,進一步明確了非對稱的共振特性是形成各向異性反射特性的根本原因。

(a)反射和透射幅值的仿真結果

(b)反射和透射幅值的實驗結果圖6 幾何非對稱型聲學超材料有損耗的聲學特性

2.3 直接法求解等效參數(shù)

等效參數(shù)是描述聲學超材料物理特性的一種有效手段,它從材料參數(shù)角度揭示了特殊聲學特性的形成原因。本文中采用直接法求解幾何非對稱型聲學超材料的等效參數(shù),該方法是根據(jù)材料參數(shù)的定義推導而來[18-19]。

等效質量密度ρeff的表達式為

(1)

(2)

(3)

式中:p是模型受到的壓力;r是模型的半徑;L1和L2分別是模型反射側和透射側的積分邊界;S是模型的外表面面積。

等效體積模量κeff的表達式為

κeff=-VTc/ΔV

(4)

其中法向壓力Tc和體積變化量ΔV的具體形式分別為

(5)

(6)

式中:w是模型的位移。

等效阻抗比Zeff和等效折射率neff分別為

(7)

(8)

式中:ρ0是空氣的質量密度;c0是空氣中聲速。

圖7是利用直接法計算的幾何非對稱型聲學超材料有損耗的等效參數(shù)。計算結果表明幾何非對稱型聲學超材料具有完全對稱的等效參數(shù)。等效質量密度在400～604 Hz范圍內為負值,等效體積模量在712～1 200 Hz范圍內為負值。聲學超材料的等效參數(shù)特性和聲學特性間具有一定的對應關系:零值等效質量密度對應透射幅值的第1個峰值,零值等效體積模量對應透射幅值的第2個峰值。零值等效質量密度是由偶極共振產(chǎn)生的,因此透射幅值的第1個峰值也是由偶極共振形成的;零值等效體積模量是由單極共振產(chǎn)生的,因此透射幅值的第2個峰值也是由單極共振形成的。被動材料要求阻抗的實部為正值,聲速的虛部為正值。該要求也可以表示為等效阻抗比的實部為正值,等效折射率的虛部為負值。如圖7b所示,雙側等效阻抗比的實部完全相同并且始終為正值,雙側等效折射率的虛部完全相同并且始終為負值,計算的等效參數(shù)完全滿足被動材料的要求。上述分析說明直接法計算的等效參數(shù)是準確的、有意義的,因此該方法對于求解幾何非對稱型聲學超材料的等效參數(shù)具有指導意義。

(a)等效質量密度和等效體積模量的實部

(b)等效阻抗比的實部和等效折射率的虛部圖7 幾何非對稱型聲學超材料有損耗的等效參數(shù)

3 共振非對稱型聲學超材料

3.1 幾何模型

在2.3節(jié)研究的基礎上,設計了共振非對稱型聲學超材料,圖8是其結構示意圖,右側折板的厚度是左側折板的2倍,其他的幾何參數(shù)和幾何非對稱型聲學超材料相同。共振非對稱型聲學超材料中兩側的厚度不同,所以具有非對稱的共振特性。

圖8 共振非對稱型聲學超材料結構示意圖

3.2 各向異性的反射特性及實驗驗證

圖9是共振非對稱型聲學超材料無損耗聲學特性的仿真結果。平面波從較薄折板一側法向入射得到的聲學特性記為左側,從較厚折板一側法向入射得到的聲學特性記為右側。兩側的反射和透射幅值完全相同,兩側的反射相位完全不同。在透射幅值的第1個峰值處,左側的反射相位發(fā)生2π的突變,在透射幅值的第2個峰值處,右側的反射相位發(fā)生2π的突變。根據(jù)前面特征模態(tài)分析可知,左側的相位突變是左側的折板發(fā)生共振引起的,右側的相位突變是右側的折板發(fā)生共振引起的。雖然非對稱的共振特性產(chǎn)生了各向異性的反射相位,但是不考慮材料損耗下兩側的反射幅值是相同的。

(a)反射和透射幅值

(b)反射相位圖9 共振非對稱型聲學超材料無損耗的聲學特性的仿真結果

圖10是共振非對稱型聲學超材料有損耗聲學特性的仿真結果。兩側的透射幅值完全相同,兩側的反射幅值和反射相位完全不同。在透射幅值的第1個峰值處,左側的反射幅值出現(xiàn)谷值,左側的反射相位發(fā)生突變;在透射幅值的第2個峰值處,右側的反射幅值出現(xiàn)谷值,右側的反射相位發(fā)生突變。折板的共振引起了反射相位突變,考慮材料損耗下折板共振位移變小,所以兩側反射相位突變的幅值都小于2π。考慮材料損耗下折板共振將產(chǎn)生能耗,左側折板共振時,左側折板的能耗高于右側折板,所以左側產(chǎn)生反射幅值的谷值;右側折板共振時,右側折板的能耗高于左側折板,所以右側產(chǎn)生反射幅值的谷值。圖11是實驗測得的共振非對稱型聲學超材料有損耗的聲學特性,實驗結果驗證了該結構中具有各向異性的反射幅值和反射相位。仿真和實驗結果均表明,僅當幾何非對稱形成共振非對稱時,結構中才會產(chǎn)生各向異性的反射相位,考慮材料損耗下還能獲得各向異性的反射幅值。

(a)反射和透射幅值

(b)反射相位圖10 共振非對稱型聲學超材料有損耗的聲學特性的仿真結果

(a)反射和透射幅值

(b)反射相位圖11 共振非對稱型結構有損耗的聲學特性的實驗結果

3.3 各向異性的等效參數(shù)

圖12是利用直接法求解的共振非對稱型聲學超材料有損耗的等效參數(shù)。共振非對稱型聲學超材料具有各向異性的等效參數(shù)。左側等效質量密度在400～656 Hz范圍內和1 346～1 400 Hz范圍內是負值,右側等效質量密度在400～665 Hz和705～1 029 Hz范圍內是負值。左側等效體積模量在658～1 400 Hz范圍內是負值,右側等效體積模量在1 031～1 400 Hz范圍內是負值。左側的等效參數(shù)在657 Hz都為0,該頻率對應著透射幅值的第1個峰值,這是由于左側折板在該處產(chǎn)生共振;右側的等效參數(shù)在1 030 Hz都為0,該頻率對應著透射幅值的第2個峰值,這是由于右側折板在該處產(chǎn)生共振。上述分析表明各向異性的等效參數(shù)也是由非對稱的共振特性形成的,然而各向異性的等效參數(shù)違背了被動材料的一般要求,即被動材料的材料參數(shù)是一個統(tǒng)一值[12]。

(a)等效質量密度的實部

(b)等效體積模量的實部圖12 共振非對稱型聲學超材料有損耗的等效參數(shù)

圖13是共振非對稱型聲學超材料有損耗的等效阻抗比和等效折射率。雙側等效阻抗比的實部均為正值,滿足被動材料的要求;然而左側等效折射率的虛部在391～451 Hz范圍內為正值,不滿足被動材料的要求。等效參數(shù)的計算結果表明共振非對稱型聲學超材料的等效參數(shù)受到入射方向的影響,雙側的等效參數(shù)是各向異性的,不滿足被動材料的要求。需要將平面波入射方向的影響考慮到等效參數(shù)的求解中,給出統(tǒng)一的等效參數(shù),并使得求解的結果滿足被動材料的要求。

(a)等效阻抗比的實部

(b)等效折射率的虛部圖13 共振非對稱型結構有損耗的等效阻抗比和折射率

3.4 求解統(tǒng)一等效參數(shù)

為獲得共振非對稱型聲學超材料的統(tǒng)一等效參數(shù),需要對直接法進行改進。考慮到等效參數(shù)受平面波入射方向的影響,將模型在兩個入射方向下的應力場和位移場都帶入等效參數(shù)的計算。統(tǒng)一的等效參數(shù)可寫為

(9)

(10)

圖14是利用改進的直接法計算的共振非對稱型聲學超材料的統(tǒng)一等效參數(shù)。統(tǒng)一等效質量密度在400～656 Hz和896～1 028 Hz范圍內為負值,統(tǒng)一等效體積模量在658～834 Hz和1 030～1 400 Hz范圍內為負值。統(tǒng)一等效參數(shù)在657 Hz和1 029 Hz都為0,這是由于該頻率處單極共振和偶極共振產(chǎn)生了疊加。零值等效參數(shù)對應著透射幅值的峰值,這個對應關系確保求解的等效參數(shù)是正確的。如圖14b所示,統(tǒng)一等效阻抗比的實部始終為正值,統(tǒng)一等效折射率的虛部始終為負值,兩者都滿足被動材料的要求。

(a)等效質量密度和等效體積模量的實部

(b)等效阻抗比的實部和等效折射率的虛部圖14 共振非對稱型聲學超材料有損耗的統(tǒng)一等效參數(shù)

4 結 論

本文研究了非對稱聲學超材料的聲學特性及等效參數(shù),利用材料非對稱、幾何非對稱和共振非對稱3種模型揭示了非對稱共振特性是形成各向異性反射特性和等效參數(shù)的根本原因。仿真和實驗結果表明非對稱共振特性產(chǎn)生了各向異性的反射相位和等效參數(shù),考慮材料損耗下還可獲得各向異性的反射幅值。本文還提出了改進的直接法用于計算非對稱結構的統(tǒng)一等效參數(shù)。求解的統(tǒng)一等效參數(shù)和透射幅值間有對應關系并且滿足被動材料的要求,驗證了該方法的正確性。本研究工作對設計具有各向異性反射特性的聲學超材料具有指導意義,并提供了一種新方法來求解非對稱幾何結構的等效參數(shù)。