正前角雙圓弧諧波傳動柔輪滾刀設計與齒形誤差分析

王仕璞,宋朝省,朱才朝,楊勇,黎新子,廖德林

(1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室,400044,重慶;2.深圳市大族精密傳動科技有限公司,518057,廣東深圳)

與傳統漸開線齒形諧波減速器相比,雙圓弧齒形諧波減速器具有承載能力大、嚙合齒數多、扭轉剛度高、嚙合側隙小、傳動精度高等優點[1-3]。在工業機器人、醫療器械與航空航天等領域得到了廣泛應用[4-5]。柔輪齒廓的加工精度是影響諧波傳動嚙合性能的重要因素,但企業在保證柔輪精度的同時需要提升柔輪的生產效率,降低生產成本。同零前角滾刀相比,正前角滾刀切削齒輪時可以減小切屑的變形,進一步使得前刀面與切屑的摩擦減小,從而減少了切削力,降低了切削溫度,提高了表面光潔度以及加工生產率,增加了刀具使用壽命,降低了生產成本。但由于正前角雙圓弧諧波傳動柔輪滾刀(DFHP)與傳統漸開線滾刀存在明顯差異,兩者嚙合方式也不盡相同,因而有必要建立DFHP法向齒形與前刀面的數學模型,并深入研究DFHP的設計方法與齒形誤差。由于傳統正前角滾刀加工誤差較大,因此提出了無理論誤差的DFHP設計方法。

諧波減速器關鍵部件的結構參數對其嚙合性能影響較大,Chen等提出了一種雙圓弧齒形設計方法并研究了其參數變化對諧波減速器嚙合間隙的影響,另外為研究輪齒對柔輪齒圈裝配應力的影響,建立了包含實際齒廓的實體單元柔輪齒圈有限元模型,根據有限元分析結果,分析最大周向應力隨齒根倒圓半徑的變化規律,獲得了最佳齒根倒圓半徑[6-7];董慧敏等為提高諧波傳動的嚙合性能,提出一種基于輪齒瞬心線的成對雙圓弧齒形設計方法,避免了諧波傳動齒頂干涉,不再需要圓弧擬合與齒形優化[8];Li等建立了基于支撐函數的波發生器輪廓優化數學模型,并通過有限元方法分析了不同波發生器輪廓作用下,諧波減速器柔輪與波發生器的裝配應力[9];姜歌東等針對剛輪凸圓弧段共軛齒廓不確定問題,提出了一種基于柔輪和剛輪齒形聯合共軛計算的雙圓弧齒形雙向共軛設計方法,能夠實現多點嚙合,有利于減小嚙合力、降低齒面磨損,并提出了諧波減速器時變可靠度評估方法,能準確預估諧波減速器疲勞失效壽命[10-11]。

國內外學者針對諧波減速器柔輪加工制造進行了相關研究。Iulian等提出了齒輪滾刀的參數化設計方法,將計算程序與構建三維模型的CAD軟件集成,減少設計周期,提升了加工精度[12];Hu等采用漸開線鑲齒精切滾刀解決阿基米德齒形滾刀的加工誤差問題,提出了一種便于鑲齒精切滾刀的設計方法,降低了生產成本[13];Ray等通過優化滾刀幾何結構,減小了加工出齒輪的齒根應力[14];Yang等建立磨前滾刀刀齒齒廓理論方程,優化工業滾刀相關參數,建立滾刀三維模型,提高了齒輪加工的效率[15];Wu等推導了雙圓弧齒輪滾刀的參數方程,得到了無理論誤差滾刀法向齒形[16];張海龍等建立了DFHP齒面數學模型,采用包絡法求出加工出齒輪的齒形方程后與實際齒形進行比較,驗證結果的正確性[17];劉熙剛等建立了通過齒廓法線法求解剛、柔輪的共軛齒廓數學模型,通過Matlab軟件驗證了所設計齒形的可行性[18];陳鵬等根據滾刀齒形利用齒廓法線法和包絡法求解柔輪齒形并將所得結果進行了數值比較[19]。

綜上所述,針對漸開線滾刀、阿基米德滾刀的模型設計,滾齒加工的相關研究已較為成熟,但是對于DFHP的研究多停留在滾刀理論齒形的推導計算上,而對DFHP等效齒形的齒形誤差和加工出柔輪的齒形誤差的變化規律研究較少;文獻[16]中Wu等雖然推導了無理論誤差滾刀法向齒形,但是對于DFHP來說仍不能用于實際加工,需要進一步深入研究。

本文根據雙圓弧柔輪齒形,采用齒廓法線法推導出了DFHP法向齒廓,并通過坐標轉換求出了DFHP前刀面切削刃齒形,建立了DFHP加工仿真數學模型。分析了DFHP各個結構參數之間的數量關系,通過CERO建立了DFHP刀齒三維實體模型。分析了滾刀前角和頂刃后角對DFHP等效齒形的齒形誤差及其加工出柔輪的齒形誤差的影響。為減小DFHP加工誤差,提出了無理論誤差的DFHP設計方法。

1 正前角雙圓弧柔輪滾刀齒面建模

1.1 正前角雙圓弧柔輪滾刀法向齒廓

滾刀加工柔輪的過程可視為齒條與齒輪嚙合[19],因此采用齒廓法線法求解正前角滾刀法向齒廓。在加工過程中,柔輪轉角為φ2、柔輪分度圓半徑為r2時,滾刀齒條移動的距離為r2φ2。根據嚙合原理柔輪與滾刀的嚙合方程為

(1)

圖1 柔輪加工坐標系

雙圓弧柔輪各段齒廓如圖2所示。xcd、ycd分別為齒頂圓圓心橫、縱坐標;rcd為齒頂圓半徑;xtc、ytc分別為凸齒廓段圓心橫、縱坐標;rtc為凸齒廓段圓半徑;xgq、ygq分別為公切段圓心橫、縱坐標;rgq為公切段圓半徑;xac、yac分別為凹齒廓段圓心橫、縱坐標;rac為凹齒廓段圓半徑;xcg、ycg分別為齒根過渡段圓心橫、縱坐標;rcg為齒根過渡段半徑。

圖2 雙圓弧柔輪齒廓及局部坐標系

齒頂圓弧段表達式為

(2)

式中:u為滾刀上任一點對應的滾刀弧長;β1為齒頂圓段圓心角;l1為齒頂圓總弧長。

凸齒廓段表達式為

(3)

式中:l2為齒頂圓與凸齒廓段總弧長;β2為凸齒廓段圓心角。

公切段表達式為

(4)

式中:l3為齒頂圓弧段、凸齒廓段與公切段總弧長;β3為公切段圓心角。

凹齒廓段表達式為

(5)

式中:l4為齒頂圓弧段、凸齒廓段、公切段與凹齒廓段總弧長;β4為凹齒廓段圓心角。

齒根過渡段表達式為

(6)

式中:l5為齒頂圓弧段、凸齒廓段、公切段、凹齒廓段弧長和齒根過渡段總弧長。

設柔輪齒廓上任一點m2(x2,y2)處的切線與x2軸的夾角為

(7)

柔輪轉角為

(8)

坐標系S2(x2o2y2)中柔輪齒面接觸點的位矢為

rrl=x2i2+y2j2

(9)

根據式(1)(9)可以求得柔輪在轉動過程中的一系列接觸點,接觸點在坐標系S1(x1o1y1)中即為滾刀齒廓數值解

rg=m12·rrl

(10)

從柔輪坐標系轉到滾刀坐標系的變換矩陣為

(11)

DFHP法向齒廓方程為

(12)

以某型號諧波柔輪為例,基本設計參數見表1。

表1 柔輪基本設計參數

采用Matlab編寫程序,柔輪理論齒廓如圖3所示,生成DFHP法向齒廓如圖4所示。

圖3 柔輪理論齒廓

圖4 DFHP法向齒廓

1.2 正前角雙圓弧柔輪滾刀前刀面齒形

將平面坐標系S1(x1o1y1)擴展為空間坐標系S1(x1y1z1),DFHP軸向投影如圖5所示,在o1y1z1平面內已知點坐標(xa1,ya1,za1)和正前角大小γq,則直線AA1的方程為

圖5 DFHP軸向投影

(13)

已知∠Ao1B的角度θ,則直線o1B的方程為

(14)

設前刀面A-A1與任一軸截面o1-B相交于點Q1,則聯立式(13)(14)求解Q點,坐標(yQ,zQ)為

(15)

根據Q1點縱坐標與任一截面o1B內滾刀齒形方程,即可求得Q1點坐標為

(16)

(17)

式中:Kb為滾刀任一截面o1-B內滾刀的齒頂鏟背量。任一截面o1-B內滾刀齒形如圖6所示。

圖6 截面o1-B內滾刀齒形

2 正前角雙圓弧柔輪滾刀幾何參數設計

2.1 正前角雙圓弧柔輪滾刀前角

正前角滾刀切削齒輪時可以減少切屑變形及其流經前刀面上的摩擦,從而減少切削力,降低切削溫度,提高表面光潔度和加工生產率以及改善刀具耐用度。對于正前角螺旋槽滾刀前刀面偏位值為e時,滾刀齒頂處正前角γq[20]為

(18)

式中da0為滾刀外圓直徑。

則分度圓上滾刀前角[20]為

(19)

式中r0為滾刀分圓半徑。

2.2 正前角雙圓弧柔輪滾刀頂刃后角

滾刀經齒頂鏟背形成頂刃后角。頂刃后角大小直接影響加工表面的質量、刀具耐用度和生產率。當滾刀齒頂鏟背量為K,滾刀頂刃后角αe求解公式[20]為

(20)

式中zg為滾刀齒數。

頂刃后角使刃磨后滾刀外徑隨螺旋線逐漸減小。如圖5所示,DFHP前刀面切削刃頂點A處外徑為da0,則刃磨后DFHP前刀面切削刃頂點處,外徑daq求解公式為

(21)

2.3 正前角雙圓弧柔輪滾刀側刃后角

阿基米德螺旋線滾刀壓力角恒定,通常阿基米德螺旋線滾刀側刃后角求解公式[20]為

tanαch=tanαesinαn

(22)

式中:αch為側刃后角;αn為壓力角。

DFHP法向齒形的壓力角變化較大,不能將其視為定值,因此將DFHP刀齒齒形分解為微元切削刃,每一個微元刃等效為壓力角恒定的阿基米德齒形滾刀。隨著微元刃齒形位置變化,等效滾刀的外圓直徑de1隨之變化,則等效滾刀所對應的頂刃后角αe1為

(23)

等效滾刀側刃后角αch1為

tanαch1=tanαe1sinαn

(24)

DFHP壓力角與側刃后角隨滾刀弧長的變化如圖7所示,壓力角αn最大值在齒頂過渡段與齒根過渡段,側刃后角αch1最大值出現在齒根過渡段。壓力角與側刃后角最小值在公切段與凹齒廓段的臨界交點處;壓力角與側刃后角在齒根過渡段增加得最快,在齒頂過渡段減小得最快,在公切段減小得最慢;壓力角與側刃后角在凹齒廓段的變化規律與在齒根過渡段內的變化趨勢基本相同。

圖7 DFHP壓力角與側刃后角隨滾刀弧長的變化

2.4 正前角雙圓弧柔輪滾刀齒形角

正前角滾刀齒形角為滾刀側鏟面的軸向齒形角。通常軸向齒形角反應該處切線的斜率。軸向齒形角與滾刀壓力角、分度圓螺旋升角、鏟背量、前角等滾刀參數相關。工程上直槽滾刀運用較為普遍,則根據螺旋槽滾刀算法,將螺旋槽滾刀的螺旋槽導程設為無窮大,可得滾刀齒形角求解方程[20]為

(25)

式中σ為滾刀分圓螺旋升角。

2.5 基于刃磨的正前角雙圓弧柔輪滾刀刀齒實體建模

齒輪滾刀相當于蝸桿,只是在蝸桿上切出了容屑槽以形成切削刃,刀齒經過鏟背形成了后角以及各個刀面,同時滾刀磨損后需要刃磨以提高滾刀使用壽命。滾刀刃磨后,新的前刀面移至任一刃磨后位置P,切削刃沿滾刀軸向移動距離Δ,且滾刀外圓半徑減小,滾刀各個刀面的位置及刃磨后前刀面位置如圖8所示。當滾刀刃磨量極小時可將滾刀刀齒離散為一系列微元前刀面,不同微元前刀面切削刃齒形相當于變位系數逐漸減小的齒輪齒形。將微元前刀面按滾刀螺旋線排列合并可得到DFHP刀齒。DFHP刀齒模型如圖9所示。

圖8 DFHP各刀面及刃磨后前刀面位置分布

圖9 DFHP刀齒模型

3 正前角雙圓弧滾刀齒形誤差分析

DFHP繞自身軸線旋轉與柔輪不斷嚙合。分析DFHP齒形誤差,需將DFHP切削刃齒形旋轉投影至滾刀法截面內作為等效齒形。首先將滾刀前刀面齒形投影至滾刀軸截面后,通過坐標轉換投影至滾刀法截面內。為求出滾刀軸截面與法截面內前刀面齒形轉換方程,建立滾刀基準軸截面坐標系Sz(xzyzzz),基準法截面坐標系Sf(xfyfzf),兩者縱坐標軸均按照右手定則確定,如圖10所示。將DFHP切削刃上各點繞滾刀軸線旋轉投影至基準軸截面,滾刀切削刃法截面投影坐標方程為

(26)

圖10 滾刀法截面與軸截面坐標系

式中:αz為軸截面與法截面夾角;(xf,yf,zf)為DFHP法截面投影坐標;(xz,yz,zz)為DFHP軸截面投影坐標。

為研究正前角對DFHP齒形誤差的影響規律,取滾刀后角為10°,滾刀前角為3°、4°、5°、6°、7°,將DFHP等效齒形與理論齒形(γq=0°)進行比較。不同前角的DFHP等效齒形如圖11a所示,DFHP等效齒形相對于理論齒形齒厚減小,齒高增加;不同正前角滾刀等效齒形頂點與滾刀理論齒形頂點重合;隨著滾刀弧長增加,滾刀等效齒形與理論齒形差別增大。

(a)不同前角滾刀等效齒形

(b)不同前角滾刀齒形誤差圖11 正前角對DFHP齒形與齒形誤差的影響

DFHP等效齒形與理論滾刀齒形之間齒形的誤差稱為滾刀齒形誤差。不同正前角滾刀等效齒形的齒形誤差如圖11b所示,隨著弧長增加,等效齒形的齒形誤差從0逐漸增加到最大值;隨正前角增大,滾刀前刀面齒形誤差逐漸增大;DFHP不同齒段齒形誤差對正前角大小變化敏感性不同,齒頂過渡段最小,齒根過渡段最大。

為研究滾刀正前角對柔輪齒形誤差的影響,根據嚙合方程,推導出不同前角滾刀加工出的柔輪齒形,并將柔輪齒形與理論柔輪齒形(γq=0°)之間的齒形誤差稱為柔輪齒形誤差,圖12給出了正前角對柔輪齒形與齒形誤差的影響。不同前角DFHP加工出的柔輪齒形相對于理論齒形齒厚窄、齒高大、節圓半徑小;隨著正前角增大,柔輪齒形誤差隨之逐漸增大;滾刀前角變化對柔輪不同齒段齒形誤差的影響不同:對柔輪齒頂圓弧影響較小,而對柔輪齒根圓弧影響最大。

(a)不同前角下柔輪齒形

(b)不同前角下柔輪齒形誤差圖12 正前角對柔輪齒形與齒形誤差的影響

圖13給出了頂刃后角對DFHP齒形與齒形誤差的影響,取滾刀前角為5°,滾刀后角為10°、12°和14°。不同后角DFHP等效齒形相對于理論齒形齒厚、節園半徑減小,齒高大;隨著頂刃后角增大,滾刀齒形誤差增大;頂刃后角僅改變DFHP齒形誤差的大小,不影響DFHP齒形誤差的變化規律。

(a)不同后角下滾刀等效齒形

(b)不同后角下滾刀齒形誤差圖13 頂刃后角對DFHP齒形與齒形誤差的影響

如圖14所示,不同后角DFHP加工出的柔輪齒形相對于理論齒形齒厚、節圓半徑小,齒高大;頂刃后角增大,柔輪齒形誤差隨之增大;不同后角的DFHP加工出的柔輪齒形誤差趨勢相同,皆是齒頂圓弧處最小,隨弧長增加,凸齒廓段、公切線段、凹齒廓段和齒根過渡段的齒形誤差逐漸增大且變化速率逐漸增大;隨頂刃后角增大,柔輪齒形誤差越來越大;頂刃后角變化不改變柔輪齒形誤差的變化趨勢。

(a)不同后角下柔輪齒形

(b)不同后角下柔輪齒形誤差圖14 頂刃后角對柔輪齒形與齒形誤差的影響

綜上,傳統正前角滾刀加工出柔輪實際齒形與理論齒形相比,在齒頂處沒有誤差,但隨著柔輪弧長增加,柔輪齒形誤差逐漸增加至最大值。滾刀正前角和頂刃后角對DFHP等效齒形和柔輪的齒形誤差影響規律相似;滾刀正前角、頂刃后角越大,正前角滾刀齒形誤差越大,加工出柔輪齒形誤差越大。根據柔輪齒形推出滾刀理論齒形后,將滾刀理論齒形作為DFHP法向齒廓的滾刀設計方法所設計出的滾刀存在齒形誤差,滾刀加工出的柔輪同樣存在齒形誤差。因此為減小正前角滾刀導致的齒形誤差,本文提出新的DFHP齒形設計方法。

4 無理論誤差正前角雙圓弧柔輪滾刀前刀面齒形設計

為改進以柔輪齒形推導出滾刀法向齒形的傳統DFHP設計方法,將由柔輪齒形推出的滾刀法向齒形作為DFHP的等效齒形,在滾刀空間坐標系S1(x1y1z1)中,可推導出軸截面o1-A內滾刀軸向理論齒形。軸向理論齒形在o1y1z1平面內繞o1旋轉,其與正前角前刀面AA1的交點Q(yQ,zQ)的表達式為

(27)

式中ygz為理論齒形上任一點縱坐標。

由于整個理論齒形在平面o1y1z1內旋轉,不改變其齒形的橫坐標,因此將ygz代入理論齒形Gz的方程中可求得xQ,得到無誤差DFHP前刀面切削刃齒形。3°前角無理論誤差DFHP加工出柔輪實際齒形如圖15所示,加工出柔輪的齒形誤差如圖16所示,最大值為0.14 μm,遠小于傳統3°正前角滾刀加工出的柔輪齒形誤差,因此新的DFHP設計方法可以明顯改善滾刀加工時由正前角引起的柔輪齒形誤差。

圖16 無理論誤差DFHP加工出柔輪的齒形誤差分布

正前角滾刀切削齒輪時可以減小切屑的變形,從而減少了切削力,降低切削溫度,提高表面光潔度以及加工生產率,增加了刀具使用壽命,但傳統正前角滾刀加工誤差較大,不適用于精密加工。新的滾刀設計方法有效降低了正前角滾刀的加工誤差,這對于正前角滾刀應用于精密加工具有重要意義。

5 結 論

為解決DFHP的結構參數設計復雜與加工誤差較大的問題,建立了DFHP刀齒三維模型,分析了滾刀前角與頂刃后角對DFHP等效齒形齒形誤差與柔輪齒形誤差的影響,提出了無理論誤差DFHP設計方法,得出以下結論。

(1)DFHP前角越大,偏位值越大;齒頂鏟背量越大,頂刃后角越大,刃磨后滾刀外徑減小地越快;DFHP側刃后角隨壓力角、側后角增大而增大,隨弧長增加而變化;滾刀齒形角隨滾刀壓力角、滾刀分圓螺旋升角增大而增大。基于刃磨的DFHP刀齒幾何設計方法可準確地建立DFHP刀齒三維模型。

(2)DFHP等效齒形與其對應的柔輪齒形相對于各自的理論齒形均齒寬減小、齒高增大;DFHP等效齒形的齒形誤差、柔輪齒形誤差隨正前角、頂刃后角增加而增加;滾刀、柔輪不同齒段的齒形誤差對正前角、頂刃后角變化敏感性不同;采用無理論誤差的DFHP前刀面齒形設計方法可明顯降低正前角滾刀導致的柔輪齒形誤差。