微型導彈縱向擾動抑制控制系統設計*

李 彤，孟志鵬，呂 良，張士峰

(1.軍事科學院 國防科技創新研究院，北京 100071；2.國防科技大學 空天科學學院，湖南 長沙 410073)

微型戰術精確制導武器是現代軍事兵器發展的重點方向之一，也是未來軍事智能無人作戰體系的重要組成部分。在現代戰爭中和反恐戰場上，為滿足單兵高精度小附帶損傷的靈活戰術打擊需求，保護士兵自身不受突發威脅影響，同時結合無人機和無人車等無人作戰系統形成察打一體功能，便攜式微型精確制導導彈得到了各國軍方的廣泛關注[1]。然而由于單兵手持發射及無人機載發射的擾動較大，其控制系統設計存在一定挑戰。

近年來，擾動估計與抑制控制因其高精度和低成本特點受到廣泛關注，許多學者從不同方面對該類方法進行了綜述[2-5]，介紹了包括擾動觀測器(Disturbance OBserver，DOB)控制、擴張狀態觀測器(Extended State Observer，ESO)控制、等效輸入擾動(Equivalent-Input-Disturbance，EID)控制、未知輸入觀測器(Unknown Input Observer，UIO)控制、擾動估計器(Uncertainty and Disturbance Estimator，UDE)控制等多種控制方法。該類方法核心在于將控制系統性能和魯棒性之間的設計矛盾分離成兩個獨立問題：控制器設計僅基于標稱模型；觀測器用于估計“集總擾動”，即實際模型與標稱模型間的偏差和擾動。

然而，擾動估計與抑制控制方法在工程實踐中仍存在諸多不足：①經典線性設計方法和頻域分析因其簡潔可靠在工程領域不可替代，且具有豐富設計經驗，而現有的擾動估計與抑制控制方法研究大多集中于非線性方法和時域設計[6-8]；②很多擾動估計與抑制控制方法，如擴張狀態觀測器控制，無法充分利用系統建模信息，而是將系統轉換為積分鏈形式，并將建模誤差視為“集總擾動”一部分，因此難以滿足擾動有界條件[4]；③實際系統擾動絕大多數是非匹配的，即不直接存在于輸入通道，雖然較多研究致力于解決該問題，但均會使控制系統設計更為復雜和非線性[5,9]；④在非線性設計條件下，分離原理將不再適用，控制器和觀測器的單獨設計將無法保證系統穩定性。

針對以上問題，本文結合H∞綜合和等效輸入擾動理論，對擾動抑制估計與控制方法進行改進，從而應用于微型導彈縱向控制系統設計。H∞優化與綜合在故障診斷識別與容錯控制中應用廣泛[10-12]，通過權函數設計將頻域分析應用于故障和擾動的識別與估計，同時H∞魯棒控制理論可以保證控制系統設計的穩定性。等效輸入擾動理論則可以很好解決非匹配干擾問題，充分利用系統建模信息，且不依賴系統模型變換、全狀態可用性或擾動先驗信息[13-15]。兩者的結合能夠充分繼承傳統經典頻域設計方法，同時，將擾動估計與抑制控制方法應用于微型導彈縱向控制系統設計，保證微型導彈飛行性能。

1 微型導彈縱向模型建立與變換

1.1 導彈縱向動力學建模

微型導彈飛行高度在近地面200 m以內，飛行馬赫數為0.6左右，根據導彈動力學建模的剛化原理、小擾動假設、凍結系數及大地平面等基本假設[16-17]，導彈縱向動力學模型通過式(1)[18-19]進行描述。

(1)

式中：M代表馬赫數；α代表攻角，單位為rad；q代表俯仰角速率，單位為rad/s；θ代表速度傾角，單位為rad；m代表導彈質量；IZ代表俯仰方向轉動慣量；S代表彈體特征面積；D代表彈體特征長度；P0代表大氣壓力；VS代表聲速；g代表重力加速度；CD0、Cn和Cm分別代表零攻角阻力系數、無因次法向力系數和俯仰力矩系數。

(2)

其中：ai，bi，ci，di(i=m,n)和em為常系數；δ為控制舵偏，單位為rad。

舵機執行機構視為一階慣性系統。

(3)

式中，ωa為舵機帶寬，δc為舵機控制指令。舵機舵偏及轉速需滿足如下非線性飽和約束：

(4)

表1給出了微型導彈相關參數取值。

將攻角作為系統輸出和唯一觀測量，將舵偏控制指令作為系統輸入，即y=α，u=δc，由此保證系統輸入輸出的零動態穩定性[19]。在工程實踐中，攻角值通過導航解算偽攻角獲取。控制系統設計目標是令系統能夠快速準確地跟蹤攻角指令αc，同時具有較好的抗擾能力。

1.2 等效輸入擾動系統建立

標準的單輸入單輸出非線性系統如下：

(5)

其中，h(x,u)表示系統內外擾動和不確定性。

假設該系統表示為特征點上的線性化形式如下：

(6)

其中，f(x)=Ax+Δf(x)，g(x)=B+Δg(x)。

則定義一個相對系統如下：

(7)

這里需對以上兩個系統狀態空間做如下假設：

假設1系統矩陣(A,B)能控，(A,C)能觀。

假設2系統矩陣(A,B,C)在虛軸上沒有零點。

假設1是控制系統設計的基本要求，即所研究對象為常規系統；假設2則是確保系統穩定的必要條件。若對于所有t>0，系統輸出均滿足y(t)≡y′(t)，則稱d(t)為等效輸入擾動，系統(7)則稱為系統(5)的等效輸入擾動系統。為做進一步補充說明，這里需給出引理1[13]。

引理1令

Φ={pi(t)sin(ωit+φi)}i=0,1,…,n;n<∞

(8)

式中，ωi(ωi>0)和φi為常數，pi(t)代表關于時間的任意多項式。在假設1和假設2成立的條件下，如果系統(6)輸出軌跡在Δf(x)+Δg(x)u+h(x,u)作用下屬于Φ，則在系統控制輸入通道上一定存在一個匹配的等效輸入擾動，使得系統(7)產生相同的輸出軌跡。

根據傅里葉分析可知，絕大部分實際系統的輸出信號滿足狄利克雷條件，即連續有界條件，均能通過傅里葉變換而屬于Φ，因此，引理1保證了實際應用中等效輸入擾動的存在性。從而建立等效輸入擾動系統，并根據系統輸入輸出對擾動進行估計。值得注意的是，等效輸入擾動系統與原系統是不同的，僅針對系統輸入輸出，即除了y′(t)≡y(t)，其余狀態與原系統狀態均不相同，也沒有任何物理意義。

對于式(1)～(3)，選定系統狀態為x=[α,q,δ]T，從而將系統線性化，并轉換為如式(9)所示的包含等效輸入擾動的狀態空間模型。

(9)

顯然，系統狀態空間矩陣(A,B,C)滿足假設條件。由此，完成微型導彈縱向等效輸入擾動系統建模。

2 微型導彈魯棒縱向控制系統設計

為將經典頻域設計方法應用于微型導彈縱向擾動抑制控制設計中，引入H∞魯棒控制，并結合等效輸入擾動理論，以提高經典控制系統設計性能。

2.1 H∞擾動濾波器設計

根據上文所建立的微型導彈等效輸入擾動系統，可得系統傳遞函數為：

G(s)=C(sI-A)-1B

(10)

基于此設計擾動濾波器對等效輸入擾動進行估計和補償。擾動濾波器H∞回路結構如圖1所示，H(s)即為所設計擾動濾波器，Wu(s)為施加在系統輸入上的權重，通常代表執行機構模型。擾動濾波器的H∞綜合主要通過Wd(s)和Wed(s)兩個權函數對系統頻域性能進行規劃。權函數利用頻域設計經驗和信息進行設計，分別對等效輸入擾動及其觀測誤差加權約束，以實現魯棒快速準確的擾動估計性能。Wact(s)代表執行機構對輸入信號的限制約束，且Wact(s)=[Wacts(s),Wactr(s)]T，Wacts(s)和Wactr(s)分別為執行機構幅值約束和速率約束權函數，體現了擾動補償在輸入通道內的限制。由此，擾動濾波器求解問題轉化為若干性能指標以進行優化綜合。

圖1 擾動濾波器H∞回路結構Fig.1 H∞ interconnection of disturbance filter

擾動濾波器的回路結構關系描述為：

(11)

其中，

(12)

擾動估計值表示為：

(13)

通過對增廣系統P(s)進行線性分式變換(Linear Fractional Transformation，LFT)Fl(P,H)，可得：

M(s)=Fl(P,H)

=P11(s)+P12(s)[I-H(s)P22(s)]-1H(s)P21(s)

(14)

從而可得擾動觀測誤差為：

(15)

對于系統輸入約束的權函數Wu(s)和Wact(s)，在舵機模型基礎上進行設計。其中，Wu(s)由于代表執行機構對輸入的作用，直接選取舵機模型；而Wact(s)反映了舵機對舵偏和轉速的非線性約束，通過幅值限制方式對其進行設計。因此，系統輸入相關權函數設計如下：

(16)

其中，Gact(s)舵偏可達到的最大幅值和最大轉速。對于擾動估計相關權函數Wd(s)和Wed(s)，采用如式(17)所示權函數設計形式。

(17)

(18)

而后通過對式(19)進行H∞綜合優化求解，可得擾動濾波器H(s)。

(19)

由此可知，不同于其他擾動估計方法，以上設計方式直接將頻域分析與設計方法通過權函數設計應用于擾動觀測和估計，并獲得預期性能，同時，H∞優化也保證了濾波器穩定性。

2.2 H∞復合控制器設計

為實現穩定的跟蹤性能，復合控制器設計需考慮包含擾動濾波器在內的全系統，從而形成閉環反饋跟蹤控制。H∞復合控制器回路結構如圖2所示，其中K(s)為需要設計的復合控制器，而H(s)則代表已知的完成設計的擾動濾波器，可見復合控制器設計是在包含擾動濾波器的整體系統基礎上，通過設計跟蹤誤差權函數We(s)而實現對復合控制器的H∞綜合優化。由We(s)對跟蹤誤差進行性能規劃約束是H∞控制器設計的典型特征，但與常規魯棒控制不同的是，H∞回路結構中并沒有考慮不確定性，這是由于擾動濾波器所估計的等效輸入擾動已包含系統不確定性，并且會通過輸入通道進行補償。

圖2 復合控制器H∞回路結構Fig.2 H∞ interconnection of composite controller

復合控制器的回路結構關系描述為：

(20)

其中，

(21)

類似于擾動濾波器設計，通過對增廣系統Q(s)進行下LFT，即Fl(Q,K)，可得：

N(s)=Fl(Q,K)

=Q11(s)+Q12(s)[I-K(s)Q22(s)]-1K(s)Q21(s)

(22)

從而可得跟蹤誤差及輸入信號關系：

(23)

復合控制器閉環帶寬通常取為擾動估計誤差權函數Wed(s)帶寬的1/10，即跟蹤誤差權函數We(s)帶寬ωR取5 rad/s，為保證足夠的跟蹤性能，K1和K2取值分別為100和10，以實現對控制帶寬內的低頻帶較大加權，對高頻帶較小加權。因而可得跟蹤誤差權函數為：

(24)

通過對式(25)進行H∞綜合優化求解，可得復合控制器。

(25)

考慮到工程要求，在優化求解后，H∞擾動濾波器和復合控制器均按照實際應用進行降階處理，以實現簡化目的。

圖3 設計權函數頻域響應Fig.3 Frequency responses of designed weight functions

3 數值仿真驗證

3.1 標稱系統仿真分析

3.1.1 標稱系統頻域仿真

根據所設計的微型導彈縱向控制系統，首先針對線性標稱系統的頻域響應進行仿真分析。在H∞擾動濾波器和復合控制器作用下，系統閉環頻域特性曲線如圖4所示。

圖4 閉環系統頻域特性曲線Fig.4 Frequency responses of closed-loop system

由圖4可知，擾動濾波器和復合控制器設計均位于權函數設計約束內，頻域響應幅值均在權函數之下，且設計裕度較大，同時擾動d至擾動估計誤差ed和參考指令αc至跟蹤誤差e的帶寬也滿足相應權函數設計需求，擾動濾波器帶寬大于復合控制器。參考指令αc至擾動估計誤差ed和擾動d至跟蹤誤差e的幅值均小于0，滿足了擾動估計與閉環控制交叉影響較小的要求。

3.1.2 標稱非線性系統時域仿真

系統標稱非線性模型仿真基于MATLAB/ Simulink進行，積分計算方法采用定步長Runge-Kutta法，步長為1 ms。仿真起始條件為：M0= 0.7，α0= 0，q0= 0，θ0= 0，δ0= 0。攻角跟蹤指令設計為：

(26)

微型導彈縱向控制系統標稱非線性系統仿真結果如圖5所示。在圖5(a)中，攻角跟蹤較為快速和精確，穩定時間約為0.7 s無超調，驗證了控制系統設計的有效性。由馬赫數、俯仰角速率和速度傾角曲線可知，跟蹤過渡過程穩定，所設計的控制系統性能成功克服了系統非線性動力學和執行機構非線性約束。此外，圖5(f)中的等效輸入擾動估計也反映出系統非線性動力學參數變化。值得注意的是，為實現較高跟蹤精度，等效輸入擾動補償對控制面偏轉有較大影響。綜上，仿真結果在理論上充分論證了控制系統設計方法在標稱系統非線性動力學影響下的有效性。

圖5 標稱非線性系統仿真曲線Fig.5 Simulation results of nominal nonlinear system

3.2 性能對比分析

為進一步驗證所設計的控制系統的性能，本節將選取擾動估計方法中經典的擴張狀態觀測器控制方法和擾動觀測器控制方法進行對比分析。在文獻[19]中，擴張狀態觀測器方法已通過與反饋線性化、預測控制和滑模控制的對比表現出更好的性能優勢。因此，選取上述兩種設計方法進行對比具有說服力和可行性。下面將對兩種方法進行簡要介紹。

3.2.1 擴張狀態觀測器控制方法

擴張狀態觀測器控制方法主要基于文獻[19]。系統縱向模型以攻角微分形式進行反饋線性化，并根據小擾動假設，將系統動力學表示為：

(27)

式中，dESO為系統擴張狀態，代表系統的“集總擾動”，擴張狀態系統采用積分鏈形式。

(28)

e=αc-α

(29)

設計系統閉環跟蹤動態特性為：

(30)

式中，m1，m2和m3為閉環反饋增益，通過將系統閉環動態特性極點設計為3/τc獲得(τc=0.2)。將擴張狀態觀測器極點設計為4/τo(τo=τc/60)。最終可得擴張狀態觀測器控制方法的控制律為：

(31)

3.2.2 擾動觀測器控制方法

擾動觀測器控制方法主要采用文獻[20]的傳統線性設計方法。該方法的擾動估計主要通過系統輸出做系統逆變換后的計算輸入與系統實際輸入的差值獲取。一般應用濾波器將擾動估計限制于適當頻段內，同時保證擾動估計傳遞函數的有理性。對于所建立的等效輸入擾動系統，將擾動濾波器和低通濾波器等效為降階擴張狀態觀測器，系統觀測狀態為：

(32)

類似地，觀測器極點配置為4/τ′o(τ′o=τc/5)。控制器設計獨立于觀測器設計，采用經典單位反饋和常值前饋增益。假設單位反饋C(s)和系統G(s)表示為如式(33)所示的傳遞函數形式。

(33)

其中，NG(s)和DG(s)為互質的。極點配置問題即轉換為求解特征多項式F(s)。因此，總的閉環傳遞函數為：

(34)

式中，p為前饋增益。系統閉環極點設計為5/τc。前饋增益設計需滿足GCL(s)s=0=1。

最終可得擾動觀測器控制方法的控制律為：

(35)

3.2.3 頻域對比分析

圖6給出了3種控制器設計的頻域響應特性對比。由圖6(a)可以看出，除了超低頻(<0.1 Hz)外，3種控制器均在主頻帶內擁有類似的閉環頻域響應。相對于其他兩個控制器，H∞等效輸入擾動控制器在低頻帶具有常值幅值特性是由權函數設計引起，對閉環系統動態特性沒有明顯影響。另外，在圖6(b)中的控制器擾動估計頻率響應中，幅值特性在達到高頻帶時略有不同。通過頻域響應對比，3個控制器帶寬相對一致，說明了3種方法在設計上的可行性。然而，應注意到圖6中H∞等效輸入擾動控制器從低頻域到高頻域的過渡過程比其他兩個控制器更快，這是因為通過權函數設計優化能夠精確地將擾動估計與高頻干擾分開，這種細微差異將在下一步時域仿真對比中表現出更加顯著的性能區別。

(a) 閉環頻域響應曲線(r至e)(a) Frequency responses of closed-loop dynamics (r to e)

3.2.4 時域對比分析

時域對比分析采用拉偏數值仿真的形式，同時考慮擾動和不確定性，主要設計以下4種情形：

1)僅涉及氣動不確定性，考慮+30%cn和+30%cm；

2)考慮氣動不確定性+30%cn和-30%cm，同時，在輸入通道中引入風干擾作為外部擾動，將其建模為幅度為8°且頻率為0.25 Hz的正弦信號；

3)考慮氣動不確定性-30%cn、+30%cm和風干擾，且考慮舵機非線性特性和不確定性，除飽和及限速特性外，將引入10 ms舵機響應延時、0均值1°標準差1 ms采樣頻率舵偏噪聲以及-30%舵機帶寬ωa；

4)考慮氣動不確定性-30%cn、-30%cm、風干擾和舵機特性，同時考慮傳感器噪聲，引入0均值0.1°標準差1 ms采樣頻率攻角觀測噪聲。

時域拉偏對比仿真結果如圖7所示。在圖7(a)中，3種控制器均具有較好跟蹤性能，在正向氣動偏差下，魯棒性較好，其中擾動觀測器控制器上升時間比其他控制器短，但也存在一定超調，說明控制能力存在冗余。在圖7(b)中，由于負向力矩系數偏差和風干擾，各控制器過渡過程均存在較小振蕩，擴張狀態觀測器控制器受影響最小，因為其在設計中具有較大控制力矩冗余，而另外兩個控制器控制效率則略有下降。在圖7(c)中，負向氣動力偏差執行機構特性對擴張狀態觀測器控制器產生顯著影響，存在較大振蕩，而其他兩個控制器幾乎不受影響，說明時域設計雖保證了較好的跟蹤性能，但在執行機構非線性尤其舵機帶寬下降條件下，魯棒性較差，無法實現預期的控制性能。在圖7(d)中，擴張狀態觀測器控制器已經發散，其積分鏈結構放大了傳感器噪聲對擾動估計的影響，而擾動觀測器控制器跟蹤過程也存在較大振蕩，在負向氣動作用偏差下對噪聲較為敏感，因此，兩種方式在實際工程應用中仍存在一定局限性。然而，H∞等效輸入擾動控制器卻表現出較強的擾動抑制能力，通過權函數設計的擾動估計能夠精確地分離高頻干擾，使其能夠在工程實踐中擁有較高應用價值。

(a) 考慮+30%cn和+30%cm(a) +30%cn and +30%cm considered

盡管H∞等效輸入擾動方法在對比分析中得到驗證且具有一定優勢，但目前線性擾動抑制控制方法中穩定性分析所依賴的擾動邊界假設，在工程實踐中仍需進一步拓展。另外，該設計方法在H∞綜合中需滿足系統矩陣要求的局限性，將在下一步工作中針對更為復雜的應用情形進行討論。

4 結論

本文研究了一種基于H∞綜合和等效輸入擾動的微型導彈縱向控制系統設計方法。該方法在繼承傳統頻域設計經驗的同時，引入了擾動抑制提高控制系統魯棒性，并通過頻域和時域分析以及拉偏對比仿真，充分驗證了該方法在非線性、擾動及不確定性等條件下的有效性以及較好的跟蹤性能。擾動邊界條件以及H∞系統矩陣局限性要求將在下一步工作中進行討論。對于復雜時變系統的工程應用和飛行試驗，將結合增益調度和線性時變參數系統技術，在未來進行更為深入的研究。