高超聲速滑翔再入飛行器的可達區(qū)快速預(yù)測*

吳 楠，王 鋒，趙 敏，孟凡坤

(1.中國人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學(xué) 數(shù)據(jù)與目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州 450001;2.中國人民解放軍95894部隊，北京 102211)

高超聲速滑翔再入飛行器[1-2](Hypersonic Glide Reentry Vehicle,HGRV)的可達區(qū)是指在某些約束條件下，飛行器在地球表面上可達范圍的邊界曲線[3]?？蛇_區(qū)作為飛行器縱橫向機動能力和打擊區(qū)域的反映，其計算具有重要意義。

可達區(qū)計算的內(nèi)容包括兩個方面，一是最大橫程的計算方法，二是邊界的獲取方式。其中前者的關(guān)鍵是獲得傾側(cè)角的變化規(guī)律，目前有三種方法：①通過偽譜[4-5]或粒子群[6]等數(shù)值優(yōu)化方法獲得傾側(cè)角的變化規(guī)律；②利用最優(yōu)化原理[7]或再入走廊邊界[8]推出傾側(cè)角的控制律表達式；③將傾側(cè)角設(shè)置為常值[9]。這三種方法的精度、運算量和依賴的先驗信息量是逐漸減小的。可達區(qū)邊界的獲取目前有兩種方法：①遍歷法，即通過計算不同縱程或傾側(cè)角條件下的最大橫程彈道，將末段點連接構(gòu)成邊界；②橢圓近似法，即將可達區(qū)近似為橢圓形，利用最大縱程和最大橫程三個末端點計算橢圓參數(shù)形成邊界[10]。相比之下遍歷法計算的邊界與實際更為符合，但帶來的問題是運算量急劇增加。

傳統(tǒng)的可達區(qū)計算方法通常為上述方法的不同組合，在計算精度和運算量上具有較大差異，但均是從飛行器設(shè)計方的角度，即在已知詳細(xì)的參數(shù)和約束條件下進行構(gòu)建，重視準(zhǔn)確性而忽略時效性，通常用于飛行器的彈道設(shè)計與性能分析。然而對于防御方，對來襲的HGRV進行預(yù)警和威脅評估也需要對其可達區(qū)進行預(yù)測，而傳統(tǒng)的可達區(qū)計算方法不太適用，原因為：一方面，此時HGRV作為非合作目標(biāo)，相關(guān)參數(shù)和約束是未知的；另一方面，可達區(qū)計算作為針對HGRV的“預(yù)警—探測—預(yù)判—攔截”中重要一環(huán)，要求需具有準(zhǔn)實時性，傳統(tǒng)方法具有依賴先驗信息偏多、耗時較長的缺陷。

本文在僅已知目標(biāo)當(dāng)前時刻的位置、速度和最大升阻比參數(shù)(可基于雷達探測數(shù)據(jù)通過實時彈道估計獲得)條件下，對文獻[11]中的傾側(cè)角最優(yōu)控制律進行簡化和改進，并引入平衡滑翔和最大升阻比滑翔假設(shè)，建立簡化的飛行程序控制模型，分別通過一次數(shù)值積分獲得最大縱程和橫程彈道，基于橢圓近似法利用三個末端點構(gòu)建可達區(qū)橢圓邊界，以實現(xiàn)對可達區(qū)的準(zhǔn)實時計算。

1 彈道計算方程的簡化

HGRV的三自由度彈道計算方程通常如式(1)所示。

(1)

當(dāng)飛行器飛至中末段或飛行器升阻比有限，而使得剩余飛行時間較短時，可以忽略地球自轉(zhuǎn)，式(1)可簡化為

(2)

2 基于最大升阻比平衡滑翔的最大縱程

飛行器最大縱程的計算可以利用三個條件：①傾側(cè)角ν=0，即飛行器在縱向平面運動，不進行橫向滾轉(zhuǎn)機動；②平衡滑翔(Equilibrium Glide,EG)假設(shè)，彈道平穩(wěn)便于控制，且過程約束容易滿足；③最大升阻比滑翔的近似最優(yōu)性，與最大縱程優(yōu)化結(jié)果誤差小于2%。

平衡滑翔[12]是指飛行器升力與重力達到某種平衡，從而實現(xiàn)平穩(wěn)滑翔的狀態(tài)，其優(yōu)點是利用該假設(shè)可顯著降低彈道計算的復(fù)雜度，提高運算速度，且計算所得的彈道通常滿足飛行過程中的動壓、熱流和過載等約束條件，經(jīng)常用于再入飛行器滑翔彈道的設(shè)計與分析。

平衡滑翔的條件為

(3)

對于最大縱程，ν=0，并綜合式(2)和式(3)可得平衡滑翔條件下的升力表達式為

(4)

可以看出，平衡滑翔條件下的升力隨著目標(biāo)的速度、高度和速度傾角變化而變化，但不一定與最大升阻比對應(yīng)的升力相等，說明平衡滑翔條件可使彈道較為平穩(wěn)，但射程不一定最大。為獲得最大縱程，本文提出一種“最大升阻比平衡滑翔”的虛擬狀態(tài)，該狀態(tài)的升力由平衡滑翔條件計算，而氣動阻力則由升力和最大升阻比常數(shù)表示

(5)

由于Kmax為目標(biāo)升阻比的極大值，因此Dmin為實際氣動阻力的極小值，“最大升阻比平衡滑翔”的本質(zhì)就是恒定氣動阻力極小值條件下的平衡滑翔，從而融合平衡滑翔和最大升阻比滑翔的優(yōu)勢，達到既滿足過程約束又近似最大縱程的目的。

將式(5)代入式(2)可得

(6)

將式(4)和式(6)代入式(2)，可得基于最大升阻比平衡滑翔條件下的最大縱程簡化計算的積分方程

(7)

(8)

式中，S和q分別為目標(biāo)的截面積和動壓。

給定某一終端速度約束Vf，便可以利用式(7)通過數(shù)值積分算法計算獲得最大縱程的終點坐標(biāo)(λ1,φ1)。

3 基于最優(yōu)解擬合公式的最大橫程計算

基于最優(yōu)化原理，文獻[11]推導(dǎo)出橫程的埃格斯公式

(9)

可以看出，橫程僅為最大升阻比Kmax和傾側(cè)角ν的函數(shù)，如果忽略掉級數(shù)項，使橫程取得極大值的傾側(cè)角為ν=45°，這也是工程中常用ν=45°的常值傾側(cè)角控制來獲得近似最大橫程的原因。當(dāng)最大升阻比較大時，忽略級數(shù)項會帶來較大誤差，實際上最優(yōu)的傾側(cè)角控制律中，傾側(cè)角是時變的，且與最大升阻比有關(guān)。此時最優(yōu)傾側(cè)角的計算公式可表示為

(10)

式中：βC為橫程角，初始為0，隨著橫程增加而增大；σ-σ0表征速度矢量與飛行縱向平面的夾角，初始為0，逐漸增加至約90°。整體來看，傾側(cè)角隨著速度矢量與縱向平面夾角的增加而減小，且在速度矢量與縱向平面垂直前減小至0，防止航程回旋而導(dǎo)致橫程減小。而最大升阻比則決定了初始傾側(cè)角的大小，最大升阻比越大，初始傾側(cè)角也越大，說明飛行器用于橫向機動的偏轉(zhuǎn)能力越大。

當(dāng)傾側(cè)角不為0時，將平衡滑翔約束式(3)代入式(2)可得此時的升力表達式

(11)

(12)

仍然基于“最大升阻比平衡滑翔”，可得傾側(cè)角不為0時氣動阻力用最大升阻比表示的表達式

(13)

將式(11)和式(13)代入式(2)可得最大橫程計算的積分方程

(14)

式(10)和式(14)構(gòu)成了閉合的最大橫程彈道計算方程，方程中仍只有一個未知參數(shù)即最大升阻比，采用數(shù)值積分算法，即可分別計算左向和右向兩條最大橫程彈道，彈道終點坐標(biāo)分別為(λ2,φ2)和(λ3,φ3)。

4 可達區(qū)橢圓計算

根據(jù)球面幾何，已知球面上三點計算球面上的橢圓區(qū)域是非常復(fù)雜的，考慮到本文研究的飛行器可達區(qū)域遠小于軌道飛行器的可達區(qū)，因此假設(shè)飛行器的可達區(qū)近似在以落點為中心、經(jīng)度軸為橫軸、緯度軸為縱軸的二維平面區(qū)域。

在該經(jīng)緯度二維平面內(nèi)，定義可達區(qū)為以(λ2,φ2)和(λ3,φ3)間的線段為短軸、(λ1,φ1)到(λ2,φ2)和(λ3,φ3)連線中點的距離為半長軸的半橢圓區(qū)域。

橢圓中心的坐標(biāo)為

(15)

橢圓的長半軸和短半軸為

(16)

該橢圓相當(dāng)于坐標(biāo)在原點的標(biāo)準(zhǔn)橢圓先旋轉(zhuǎn)Φ角度，然后再將中心平移至(λ0,φ0)。Φ的計算公式為

(17)

可達區(qū)橢圓滿足公式

(18)

5 仿真分析

假設(shè)地面雷達對某來襲HGRV進行一段穩(wěn)定跟蹤后，通過濾波和實時彈道估計，獲得其當(dāng)前狀態(tài)參數(shù)估計值如表1所示。

表1 目標(biāo)當(dāng)前時刻狀態(tài)參數(shù)估計值Tab.1 State estimation of target at current time

首先將當(dāng)前狀態(tài)參數(shù)估計轉(zhuǎn)化為本文算法所需的初值，即

[r,φ,λ,V,Θ,σ]=f([X,Y,Z,VX,VY,VZ])

(19)

利用式(7)和式(14)進行數(shù)值積分，根據(jù)目標(biāo)打擊通常對終端速度的要求，定Vf=1 800 m/s為積分終止條件，便可獲得縱程終點坐標(biāo)和兩個橫程終點坐標(biāo)，進而計算可達區(qū)橢圓，本文算法計算的HGRV最大縱程、橫程以及可達區(qū)橢圓結(jié)果如表2和圖1所示。

表2 可達區(qū)橢圓參數(shù)Tab.2 Parameters of footprint ellipse 單位：(°)

圖1 最大縱程和橫程地面航跡與可達區(qū)橢圓邊界Fig.1 Ground track of maximum downrange and crossrange and elliptical boundary of footprint

從結(jié)果可以看出，對于本文算例中的HGRV(初始速度約為3 800 m/s，最大升阻比為3)，其最大縱程約1 960 km，最大橫程約為650 km，可達區(qū)面積(橢圓的前半段)仍可達9×105km2。

為檢驗本文算法的準(zhǔn)確性和有效性，分別采用工程中常用的數(shù)值優(yōu)化方法和常傾側(cè)角方法[14]計算可達區(qū)進行比較。其中，數(shù)值優(yōu)化方法計算精度高(但需要利用目標(biāo)充分的總體參數(shù)信息)，可作為結(jié)果準(zhǔn)確度驗證的依據(jù)。

數(shù)值優(yōu)化方法參數(shù)設(shè)置：目標(biāo)質(zhì)量、幾何和氣動參數(shù)參考文獻[14]，最大動壓約束為1.8×105Pa，最大法向過載約束為6，最大駐點熱流密度約束為6×105W/m2。攻角最大值為30°，傾側(cè)角最大值為85°，分別計算最大縱程、縱程為最大縱程的0.9、0.8、0.7、0.6、0.5和0.4倍條件下的最大橫程共13條優(yōu)化彈道，對應(yīng)終點連接構(gòu)成數(shù)值優(yōu)化方法計算的可達區(qū)邊界。

常傾側(cè)角方法參數(shù)設(shè)置：攻角采用給定的標(biāo)稱攻角曲線，分別計算傾側(cè)角為0°、15°、25°、35°、45°、55°和65°的13條彈道，對應(yīng)終點連接構(gòu)成常傾側(cè)角方法計算的可達區(qū)邊界。

將三種方法計算的可達區(qū)邊界進行比較，如圖2所示。

圖2 三種方法計算的可達區(qū)邊界Fig.2 Footprint boundaries by three algorithms

通過比較可以看出，本文算法計算的最大縱程和橫程與優(yōu)化結(jié)果相近(最大縱程誤差約1.9%，最大橫程誤差約3%)，可達區(qū)邊界的橢圓形近似較為合理，可達區(qū)橢圓邊界幾乎與優(yōu)化的可達區(qū)邊界重合，由此本文算法的準(zhǔn)確性和有效性得到驗證。本文算法結(jié)果接近了滿足過程約束的數(shù)值優(yōu)化結(jié)果，這是因為：①最大升阻比滑翔的假設(shè)保證其最大射程的近似最優(yōu)性；②平衡滑翔的假設(shè)則保證了所算彈道通常滿足過程約束。通過比較本文和數(shù)值優(yōu)化方法計算的最大橫程對應(yīng)的傾側(cè)角變化規(guī)律(如圖3所示)可以看出，本文構(gòu)造的傾側(cè)角變化曲線在動壓較大的滑翔段基本逼近了數(shù)值優(yōu)化結(jié)果，也側(cè)面驗證了本文計算結(jié)果的近似最優(yōu)性。

圖3 最大橫程對應(yīng)的傾側(cè)角變化曲線Fig.3 Bank angle curves corresponding maximum crossrange

相比之下，常傾側(cè)角方法計算的可達區(qū)邊界雖在面積和形狀上與其他兩種結(jié)果相近，但存在向初始點方向的整體性偏移，這說明：①常傾側(cè)角45°的控制律確實可以近似獲得最大橫程，具有較高的工程應(yīng)用價值；②攻角采用標(biāo)稱曲線，縱程沒有優(yōu)化，導(dǎo)致其射程偏小，造成了可達區(qū)邊界的整體性前移。

在相同軟硬件環(huán)境(Core i7 雙核處理器，MATLAB2016軟件)下，對三種算法耗時進行測量，結(jié)果為：數(shù)值優(yōu)化方法約231 s，常傾側(cè)角方法約1.04 s，本文算法0.24 s?？梢钥闯觯瑪?shù)值優(yōu)化方法耗時最長，且依賴目標(biāo)的先驗信息量較大，不太適用于防御方的目標(biāo)實時預(yù)警；常傾側(cè)角方法和本文方法由于不需要優(yōu)化迭代，耗時較短，但由于常傾側(cè)角方法計算彈道條數(shù)較多，因此其耗時略大于本文方法。

本文算法依賴較少的目標(biāo)先驗信息，且具有較高的運算精度和速度，可對HGRV類目標(biāo)進行準(zhǔn)實時連續(xù)的可達區(qū)預(yù)測，適用于防御方針對HGRV類目標(biāo)的實時預(yù)警。隨著HGRV飛行速度的逐漸減小，所計算的可達區(qū)橢圓邊界精度會逐漸提高，可達區(qū)面積逐漸收縮，為目標(biāo)威脅評估和防御決策提供的信息也更為準(zhǔn)確。另外，可達區(qū)橢圓邊界計算的準(zhǔn)確程度也強依賴于前期對HGRV狀態(tài)參數(shù)和氣動參數(shù)估計的準(zhǔn)確程度。

6 結(jié)論

本文基于平衡滑翔和最優(yōu)化飛行準(zhǔn)則，在獲得有限的HGRV彈道估計參數(shù)(基于雷達探測數(shù)據(jù)通過實時彈道估計獲得目標(biāo)當(dāng)前時刻的位置、速度和最大升阻比參數(shù))條件下，提出了一種適用于防御方進行HGRV類目標(biāo)預(yù)警的可達區(qū)邊界快速計算方法。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)方法相比，本文方法具有利用先驗信息少、精度較高和運算量小的優(yōu)點，可以滿足實時性需求，可為針對HGRV類目標(biāo)的威脅判斷和防御決策提供有效的數(shù)據(jù)支持。